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+++ b/notes/tex/automatons.tex	Thu Jul 11 20:42:36 2013 +0200
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+\defineUnit{dfa}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{DFA}
+
+    \begin{definition}[Deterministischer endlicher Automat]
+        Ein \alert{DFA} ist ein Tupel $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ aus einer/einem
+        \begin{itemize}
+            \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$
+            \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$
+            \item totalen \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \to Q$
+            \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$
+            \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$
+        \end{itemize}
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+    \pause
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=]
+            \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
+            \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
+            \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$};
+
+            \draw[->] (q0) edge [loop above] node {0} (q0);
+            \draw[->] (q2) edge [loop above] node {1} (q2);
+            \draw[->] (q0) edge [bend left] node {1} (q1);
+            \draw[->] (q1) edge [bend left] node {1} (q0);
+            \draw[->] (q1) edge [bend left] node {0} (q2);
+            \draw[->] (q2) edge [bend left] node {0} (q1);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{nfa}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{NFA}
+    \begin{definition}[Nicht-Deterministischer endlicher Automat]
+        Ein \alert{NFA} ist ein Tupel $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ mit
+        \begin{itemize}
+            \item $Q, \Sigma, q_0, F$ wie ein DFA
+            \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \to P(Q)$
+        \end{itemize}
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+    \pause
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=]
+            \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
+            \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
+\draw[->] (q0) edge [loop above] node {0,1} (q0); \draw[->] (q0) edge node {1} (q1); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} 
+}
+
+\defineUnit{enfa}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{$\epsilon$-NFA}
+    \begin{definition}[NFA mit $\epsilon$-Übergängen]
+        Ein \alert{$\epsilon$-NFA} ist ein Tupel $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ mit
+        \begin{itemize}
+            \item $Q, \Sigma, q_0, F$ wie ein DFA
+            \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \to P(Q)$
+        \end{itemize}
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+    \pause
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=30, initial text=]
+            \node[state] (q1) {$q_1$};
+            \node[state, initial] (q0) [left of = q1] {$q_0$};
+            \node[state, accepting] (q2) [right of = q1] {$q_2$};
+\draw[->] (q0) edge [red] node {$\epsilon$} (q1); \draw[->] (q1) edge [loop above] node {0,1} (q1); \draw[->] (q1) edge node {1} (q2); \draw[->] (q0) edge [bend right, red] node {$\epsilon$} (q2); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} 
+}
+
+\defineUnit{endlicheautomaten}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Endliche Automaten}
+    \begin{block}{Übergangsfunktionen}
+        Die Automaten $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ unterscheiden sich nur durch ihre Übergangsfunktionen.
+
+        \begin{description}
+            \item[DFA] $\delta : Q \times \Sigma \to Q$
+            \item[NFA] $\delta : Q \times \Sigma \to \alert{P(Q)}$
+            \item[$\epsilon$-NFA] $\delta : Q \times \alert{\left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right)} \to \alert{P(Q)}$
+        \end{description}
+    \end{block}
+
+    \vfill
+
+    \begin{theorem}
+        \alert{DFA}, \alert{NFA} und \alert{$\epsilon$-NFA} sind gleich mächtig und lassen sich ineinander umwandeln.
+    \end{theorem}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{regex}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Reguläre Ausdrücke}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Regulärer Ausdruck]
+        \alert{Reguläre Ausdrücke} sind induktiv definiert
+        \begin{itemize}
+            \item \alert{$\emptyset$} ist ein regulärer Ausdruck
+            \item \alert{$\epsilon$} ist ein regulärer Ausdruck
+            \item Für alle $a \in \Sigma$ ist \alert{$a$} ein regulärer Ausdruck
+            \item Sind $\alpha$ und $\beta$ reguläre Ausdrücke, dann auch
+                \begin{description}
+                    \item[Konkatenation] \alert{$\alpha\beta$}
+                    \item[Veroderung] \alert{$\alpha \mid \beta$}
+                    \item[Wiederholung] \alert{$\alpha^*$}
+                \end{description}
+        \end{itemize}
+        Analoge Sprachdefinition, z.b. $L(\alpha\beta) = L(\alpha)L(\beta)$
+    \end{definition}
+
+    \begin{example}
+        $\alpha = (0|1)^*00$ \hfill $L(\alpha) = \left\{x \mid x \text{ Binärzahl}, x \mod 4 = 0 \right\}$
+    \end{example}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{automatenkonversionen}{%
+\begin{frame}[c]
+    \frametitle{Konversionen}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[node distance=2cm]
+            \node (nfa) {NFA};
+            \node (dfa) [left of=nfa] {DFA};
+            \node (enfa) [right of=nfa] {$\epsilon$-NFA};
+            \node (re) [below of=nfa] {RE};
+
+            \draw [every edge, tumred] (nfa) -- (dfa);
+            \draw [every edge, tumred] (enfa) -- (nfa);
+            \draw [every edge] (dfa) -- (re);
+            \draw [every edge] (nfa) -- (re);
+            \draw [every edge, tumred] (re) -- (enfa);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{rezunfa}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Idee (Kleene)}
+        Für einen Ausdruck \alert{$\gamma$} wird rekursiv mit struktureller Induktion ein $\epsilon$-NFA konstruiert.
+    \end{block}
+
+    \begin{tabu} to \linewidth {XXX}
+        \alert{$\gamma = \emptyset$} & \alert{$\gamma = \epsilon$} & \alert{$\gamma = a \in \Sigma$} \\
+        \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)]
+            \node[state, initial] () {};
+        \end{tikzpicture} &
+
+        \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)]
+            \node[state, initial, accepting] () {};
+        \end{tikzpicture} &
+
+        \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)]
+            \node[state, initial] (i) {};
+            \node[state, accepting] (j) [right of=i] {};
+
+            \draw[->] (i) edge node {$a$} (j);
+        \end{tikzpicture} \\
+        \vspace{2em}
+        \alert{$\gamma = \alpha\beta$} \\
+        \multicolumn3{c}{
+            \begin{tikzpicture}[automaton, small]
+                \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (-0.3, 1) rectangle (1.8, -1);
+                \node[tumgreen] () at (0.75, -1.2) {$N_\alpha$};
+
+                \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (3.7, 1) rectangle (5.8, -1);
+                \node[tumgreen] () at (4.75, -1.2) {$N_\beta$};
+
+                \node[state, initial] (i) at (0, 0) {};
+                \node[state] (j) at (1.5, 0.5) {};
+                \node[state] (k) at (1.5, -0.5) {};
+                \node[state] (l) at (4, 0) {};
+                \node[state, accepting] (m) at (5.5, 0) {};
+
+                \draw[->] (j) edge node {$\epsilon$} (l);
+                \draw[->] (k) edge node {$\epsilon$} (l);
+            \end{tikzpicture}
+        }\\
+    \end{tabu}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{rezuenfabeispiel}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{tabu} to \linewidth {X}
+        \alert{$\gamma = \alpha \mid \beta$} \\
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[automaton, small]
+            \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1.5) rectangle (4.5, 0.5);
+            \node[tumgreen] () at (3.25, 0.3) {$N_\alpha$};
+
+            \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, -0.5) rectangle (4.5, -1.5);
+            \node[tumgreen] () at (3.25, -1.7) {$N_\beta$};
+
+            \node[state, initial] (i) at (0, 0) {};
+
+            \node[state] (j) at (2.5, 1) {};
+            \node[state, accepting] (k) at (4, 1) {};
+            \node[state] (l) at (2.5, -1) {};
+            \node[state, accepting] (m) at (4, -1) {};
+
+            \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j);
+            \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (l);
+        \end{tikzpicture} \\
+        \vfill
+
+        \alert{$\gamma = \alpha^*$} \\
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[automaton, small, bend angle=70]
+            \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1) rectangle (4.5, -1);
+            \node[tumgreen] () at (3.25, -1.2) {$N_\alpha$};
+
+            \node[state, initial, accepting] (i) at (0, 0) {};
+
+            \node[state] (j) at (2.5, 0) {};
+            \node[state, accepting] (k) at (4, 0.5) {};
+            \node[state, accepting] (m) at (4, -0.5) {};
+
+            \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j);
+            \draw[->] (k) edge [bend right] node {$\epsilon$} (j);
+            \draw[->] (m) edge [bend left] node[above] {$\epsilon$} (j);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{tabu}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{enfazunfa}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{$\epsilon$-NFA $\rightarrow$ NFA}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Idee}
+        Entferne $\epsilon$-Kanten durch das Bilden von $\epsilon$-Hüllen.
+        \begin{enumerate}
+            \item<1-> Entferne \alert{unnötige Knoten}.
+            \item<1,3-> Für jeden \alert{Pfad} der Form $\epsilon\ldots\epsilon \alert{a} \epsilon\ldots\epsilon$ verbinde Anfangs- und Endknoten mit einer \alert{$a$}-Kante.
+            \item<1,4-> Entferne alle \alert{$\epsilon$-Kanten} und unerreichbare Knoten.
+            \item<1,5-> Wurde das leere Wort akzeptiert mache den \alert{Anfangszustand} zum Endzustand.
+        \end{enumerate}
+    \end{block}
+
+    \vfill
+
+    \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.1cm]
+        \useasboundingbox (-1.4,2) rectangle (9, -2);
+
+        \node<-4>[state, initial] (q0) {$q_0$};
+        \node[state] (q2) [right = 3.2cm of q0] {$q_2$};
+        \node[state] (q3) [right of = q2] {$q_3$};
+        \node[state, accepting] (q4) [right of = q3] {$q_4$};
+
+        \draw[->] (q2) edge node {$0$} (q3);
+        \draw[->] (q3) edge node {$1$} (q4);
+
+        \draw<1-4>[->] (q3) edge [bend right] node [above] {$\epsilon$} (q2);
+        \draw[->] (q4) edge [bend right] node [above] {$1$} (q3);
+        \draw<1-4>[->] (q0) edge [bend right=20] node [below] {$\epsilon$} (q4);
+
+        \node<1>[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
+        \draw<1>[->] (q0) edge node {$\epsilon$} (q1);
+        \draw<1>[->] (q1) edge node {$1$} (q2);
+
+        \node<2>[state, fill=tumred!20] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
+        \draw<2>[->, tumred] (q0) edge node {$\epsilon$} (q1);
+        \draw<2>[->, tumred] (q1) edge node {$0$} (q2);
+        \draw<2->[->, tumblue] (q0) edge [bend left] node {$0$} (q2);
+
+        \draw<3,4,5>[->, tumred] (q0) edge [bend right=20] node [below] {$\epsilon$} (q4);
+        \draw<3>[->, tumred] (q4) edge [bend right] node [above] {$1$} (q3);
+        \draw<3,4>[->, tumred] (q3) edge [bend right] node [above] {$\epsilon$} (q2);
+        \draw<3->[->, tumgreen] (q0) edge node {$1$} (q2);
+
+        \draw<4->[->, tumgreen] (q2) edge [loop above] node [above] {$0$} (q2);
+        \draw<4->[->, tumgreen] (q3) edge [loop above] node [above] {$0$} (q3);
+        \draw<4->[->, tumgreen] (q0) edge [bend right=20] node [above] {$1$} (q3);
+        \draw<4->[->, tumgreen] (q4) edge [bend right=70] node [above] {$1$} (q2);
+
+        \node<5>[state, initial, accepting, fill=tumgreen!20] (q0) {$q_0$};
+
+        \node<6->[state, initial, accepting] (q0) {$q_0$};
+    \end{tikzpicture}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{nfazudfa}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{NFA $\rightarrow$ DFA}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Idee (Potenzmengenkonstruktion)}
+        Konstruiere aus einem NFA $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ einen DFA $D = (P(Q), \Sigma, \overline{\delta}, \{q_0\}, F_M)$ mit Zuständen aus \alert{$P(Q)$}.
+
+        \begin{itemize}
+            \item $\overline{\delta}: \alert{P(Q)} \times \Sigma \to P(Q)$ \\
+                \[\overline{\delta}(S, a) := \bigcup_{q \in S} \delta(q, a)\]
+            \item $F_M := \left\{S \subseteq Q \mid \alert{S \cap F} \neq \emptyset\right\}$
+        \end{itemize}
+    \end{block}
+
+    \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=20, node distance=2.1cm]
+        \useasboundingbox (-1.4,2) rectangle (9, -2);
+
+        \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
+        \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
+
+        \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$0,1$} (q0);
+        \draw[->] (q0) edge node {$1$} (q1);
+
+        \node<2->(sep) [right of = q1] {$\rightarrow$};
+
+        \node<2->[state, initial, inner sep=1pt] (pq0) [right of = sep] {$q_{\{0\}}$};
+
+        \node<3->[state, accepting, inner sep=0pt] (pq01) [right of = pq0] {$q_{\{0,1\}}$};
+        \draw<3->[->] (pq0) edge [loop above] node {$0$} (pq0);
+        \draw<3->[->] (pq0) edge [bend left] node {$1$} (pq01);
+
+        \draw<4->[->] (pq01) edge [loop above] node {$1$} (pq01);
+        \draw<4->[->] (pq01) edge [bend left] node {$0$} (pq0);
+
+    \end{tikzpicture}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{produktautomat}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{produktautomat}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+    \begin{theorem}
+        sind $m_1 = (q_1, \sigma, \delta_1, s_1, f_1)$ und $m_2 = (q_2, \sigma, \delta_2, s_2, f_2)$ dfas, dann ist der \alert{produkt-automat}
+
+        \begin{align*}
+            m &:= (\alert{q_1 \times q_2}, \sigma, \delta, (s_1, s_2), f_1 \times f_2) \\
+            \delta\left( (q_1, q_2), a \right) &:= \left( \alert{\delta_1}(q_1, a), \alert{\delta_2}(q_2, a) \right)
+        \end{align*}
+
+        ein dfa, der $l(m_1) \cap l(m_2)$ akzeptiert.
+    \end{theorem}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{regexrechnen}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Nochmal Reguläre Ausdrücke}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{theorem}
+        Die regulären Ausdrücke $\mathfrak{R}$ über einem Alphabet $\Sigma$ bilden mit Konkatenation $\circ$ und Veroderung $\mid$ einen \alert{Halbring} $\langle \mathfrak{R}, \mid, \circ, \emptyset, \epsilon \rangle$.
+
+        \begin{itemize}
+            \item \alert{Assoziative} Operationen
+            \item Veroderung \alert{kommutativ}
+            \item \alert{Distributivität}: $\alpha (\beta \mid \gamma) \equiv \alpha\beta \mid \alpha\gamma$
+            \item $\emptyset$ \alert{neutral} bezüglich Oder
+            \item $\epsilon$ \alert{neutral} bezüglich Konkatenation
+        \end{itemize}
+    \end{theorem}
+
+    \begin{example}
+        \[
+            1\psi \mid 0\phi \mid \psi \equiv 0 \phi \mid (1 \mid \epsilon) \psi
+        \]
+    \end{example}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{arden}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Ardens Lemma}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{theorem}[Ardens Lemma]
+        Sind $A$, $B$ und $X$ Sprachen mit $\epsilon \not \in A$, dann gilt
+        \[
+            X = AX \cup B \Longrightarrow X = A^* B
+        \]
+        Speziell gilt für reguläre Ausdrücke
+        \[
+            X \equiv \alpha X \mid \beta \Longrightarrow X \equiv \alpha^* \beta
+        \]
+    \end{theorem}
+
+    \begin{example}
+        \[
+            \psi \equiv 0 \psi \mid (1 \mid \epsilon) \phi \Longrightarrow \psi \equiv 0^*(1\mid \epsilon) \phi
+        \]
+    \end{example}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{nfazure}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{NFA $\rightarrow$ RE}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Idee}
+        Erzeuge ein Gleichungssystem aus allen Zuständen.
+        \begin{enumerate}
+            \item<1,2-> Ausdruck für jeden Zustand
+            \item<1,3-> Auflösen nach $X_0$ mit Algebra und Ardens Lemma
+        \end{enumerate}
+    \end{block}
+    \begin{columns}<2->
+        \begin{column}[b]{.65\textwidth}
+            \begin{align*}
+                X_0 &\equiv 1X_0 \mid 0X_1 \\
+                &\equiv \uncover<4->{1X_0 \mid 00^*(\epsilon \mid 1X_0)} \\
+                &\equiv \uncover<4->{(1 \mid 00^*1) X_0 \mid 00^*} \\
+                &\equiv \uncover<4->{(1 \mid 00^*1)^*(00^*)} \\
+                \\
+                X_1 &\equiv 1X_0 \mid 0X_1 \alt<3->{\mid \epsilon}{\alert{\mid \epsilon}} \\
+                &\equiv \uncover<3-> {0X_1 \mid (\epsilon \mid 1 X_0)}\\
+                &\equiv \uncover<3-> {\alt<-2,4->{0^*(\epsilon \mid 1X_0)}{\alert{0^*(\epsilon \mid 1X_0)}}}
+            \end{align*}
+        \end{column}
+        \begin{column}[t]{.35\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[automaton]
+                \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
+                \node[state, accepting] (q1) [below of=q0] {$q_1$};
+
+                \draw[->] (q0) edge [bend right] node [left] {$0$} (q1);
+                \draw[->] (q1) edge [bend right] node [right] {$1$} (q0);
+                \draw[->] (q0) edge [loop right] node {$1$} (q0);
+                \draw[->] (q1) edge [loop right] node {$0$} (q1);
+            \end{tikzpicture}
+        \end{column}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{rpl}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Pumping Lemma}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{theorem}[Pumping Lemma für reguläre Sprachen]
+        Sei $R \subseteq \Sigma^*$ regulär. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in R$ mit $|z| \geq n$ so in $z = uvw$ zerlegen lässt, dass
+        \begin{itemize}
+            \item $v \neq \epsilon$
+            \item $|uv| \alert{\leq n}$
+            \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iw \in R$
+        \end{itemize}
+    \end{theorem}
+
+    \vfill
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[automaton]
+            \node[state, initial] (q0) {};
+            \node[state, fill=tumred!20] (q1) [right of=q0] {};
+            \node[state, accepting] (q2) [right of=q1] {};
+
+            \draw[->, densely dashed] (q0) edge node {$u$} (q1);
+            \draw[->, tumred] (q1) edge [loop above] node {$v$} (q1);
+            \draw[->, densely dashed] (q1) edge node {$w$} (q2);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{rplanwenden}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Nichtregularität beweisen}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Idee}
+        Gegenbeispiel fürs Pumpinglemma suchen.
+        \[
+            \alert{\forall} n \in \N_0 \alert{\exists} z \in L. |z| \geq n \ \alert{\forall} u,v,w. \ z = uvw \ \text{\alert{nicht} pumpbar}
+        \]
+    \end{block}
+
+    \vfill
+
+    \begin{example}<2->
+        Ist $L = \left\{ a^ib^i \mid i \in \N_0 \right\}$ regulär?
+        \begin{enumerate}
+            \item \alert{Sei $n$} PL-Zahl
+            \item \alert{Wähle} $\alert{z} = a^nb^n$
+            \item Dann ist \alert{$z = uvw$} mit \alert{$|uv| \leq n$}, hier: $v=a^k$ mit $k > 0$
+            \item Dann ist $uv^0w \not \in L$
+            \item Damit ist L \alert{nicht} regulär.
+        \end{enumerate}
+    \end{example}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{aequivalenteZustaende}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Äquivalenzen}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Äquivalente Worte]
+        Jede Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ induziert eine Äquivalenzrelation $\alert{\equiv_L \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*}$:
+        \[
+            u \alert{\equiv_L} v \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{uw} \in L \Leftrightarrow \alert{vw} \in L\right)
+        \]
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+
+    \pause
+
+    \begin{definition}[Äquivalente Zustände]
+        Zwei Zustände im DFA $A$ sind \alert{äquivalent} wenn sie die selbe Sprache akzeptieren.
+
+        \[
+            p \alert{\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{\hat{\delta}(p, w)} \in F \Leftrightarrow \alert{\hat{\delta}(q, w)} \in F \right)
+        \]
+    \end{definition}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{unterscheidbareZustaende}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Unterscheidbare Zustände}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Unterscheidbarkeit]
+        Zwei Zustände sind \alert{unterscheidbar}, wenn sie unterschiedliche Sprachen akzeptieren.
+        \[
+            p \alert{\not\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \exists w \in \Sigma^*. \hat{\delta}(p, w) \alert{\in} F \wedge \hat{\delta}(q, w) \alert{\not\in} F \right)
+        \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{theorem}
+        Sind $\delta(p, a)$ und $\delta(q, a)$ unterscheidbar, dann auch $p$ und $q$.
+    \end{theorem}
+
+    \pause
+
+    \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.5cm]
+        \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
+        \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
+        \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$};
+        \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$};
+
+        \draw[->] (q0) edge node {$a$} (q1);
+        \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2);
+        \draw[->] (q1) edge node {$a$} (q2);
+        \draw[->] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3);
+        \draw[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3);
+        \draw[->] (q3) edge [loop right] node {$a,b$} (q3);
+
+        \node<3>[state, fill=tumred!35] () at (q2) {$q_2$};
+        \node<3->[state, accepting, fill=tumgreen!35] () at (q3) {$q_3$};
+
+        \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q0) {$q_0$};
+        \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q1) {$q_1$};
+        \draw<4>[->, tumred] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2);
+        \draw<4>[->, tumgreen] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3);
+    \end{tikzpicture}
+\end{frame}
+}