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author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Tue, 02 Jul 2013 14:16:16 +0200 |
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\input{preamble.tex} \title{Übung 9: Berechnungsmodelle} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \begin{frame}[c] \frametitle{Chomsky-Hierarchie} \setbeamercovered{dynamic} \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \tikzstyle{rect} = [thick]; \tikzstyle{caption} = [align=left, anchor=north west]; \draw[rect, tumblue, fill=tumblue!10] (5.5, 0) rectangle (-5.5, 7) node[caption] {Berechenbare Funktionen}; \draw[rect, dashed, tumred, fill=tumred!10] (4.5, 0.3) rectangle (-4.5, 6) node[caption] {Typ 0 - Rekursiv aufzählbar\\Turingmaschinen, $\lambda$-Kalkül}; \draw[rect, tumivory, fill=tumivory!10] (3.5, 0.6) rectangle (-3.5, 4.8) node[caption] {Typ 1 - Kontextsensitiv\\CSG}; \draw[rect, tumorange, fill=tumorange!10] (2.5, 0.9) rectangle (-2.5, 3.6) node[caption] {Typ 2 - Kontextfrei\\PDA, CFG}; \draw[rect, tumgreen, fill=tumgreen!10] (1.5, 1.2) rectangle (-1.5, 2.4) node[caption] {Typ 3 - Regulär\\DFA, RE}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Berechenbarkeit} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Intuitive Berechenbarkeit] Eine Funktion $f : \N^k \to \N$ heißt \alert{intuitiv berechenbar}, wenn es einen Algorithmus gibt, der bei Eingabe $(n_1, \ldots, n_k) \in \N^k$ \begin{itemize} \item nach \alert{endlich vielen Schritten} mit Ergebnis $f(n_1, \ldots, n_k)$ hält, falls $f(\ldots)$ definiert ist, \item und \alert{nicht terminiert}, falls $f(\ldots)$ nicht definiert ist. \end{itemize} \end{definition} \vfill \begin{block}{Churchsche These (nicht beweisbar)} Turing-Maschinen können genau \alert{alle} intuitiv berechenbaren Funktionen berechnen. \end{block} \end{frame} \begin{frame}[c] \frametitle{Berechenbarkeit} \setbeamercovered{dynamic} \begin{example}[Berechenbarkeit] Sind die folgenden Funktionen intuitiv berechenbar? \begin{align*} f_1(n) &= \begin{cases} 1 & \text{falls $n$ prim}\\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \\ f_2(n) &= \begin{cases} 1 & \text{falls $n$ die ersten $n$ Ziffern von $\pi$ darstellt}\\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \\ f_3(n) &= \begin{cases} 1 & \text{falls in $\pi$ $n$ Nullen am Stück vorkommen}\\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{align*} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{LOOP-Programme} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[LOOP-Programm] Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\ Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. \begin{align*} P &\rightarrow X := X + C \\ &\mid X := X - C \\ &\mid P; P \\ &\mid \mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END} \\ &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} \end{align*} \end{definition} \begin{itemize} \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. \item $\mathbf{LOOP}\ x_i \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.} \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Primitive Rekursion} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Basisfunktionen] \alert{Primitiv Rekursiv} sind: \begin{itemize} \item Die konstante Funktion \alert{0} \item Die \alert{Nachfolgerfunktion} $s(n) = n + 1$ \item Die \alert{Projektionsfunktion} $\pi_i^k : \N^k \to \N, i \in [k]$ \[ \pi_i^k(x_1, \ldots, x_k) = x_i \] \end{itemize} \end{definition} \begin{definition}[Komposition] Sind $g$ und $h_i$ PR und $\bar{x} = (x_1, \ldots, x_n)$, dann ist auch \alert{$f$} PR: \[ f(\bar{x}) = \alert{g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))} \] \end{definition} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Primitive Rekursion} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Basisfunktionen und Komposition} Schon \alert{PR} sind: \begin{itemize} \item Konstante: $0$ \item Nachfolger: $s(n) = n + 1$ \item Projektion: $\pi_i^k : \N^k \to \N$ \item Komposition: $f(\bar{x}) = g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))$ \end{itemize} \end{block} \begin{definition}[Primitive Rekursion] Das Schema der \alert{primitiven Rekursion} erzeugt aus $g$ und $h$ die Funktion \alert{$f$}: \begin{align*} f(0, \bar{x}) &= g(\bar{x}) \\ f(\alert{m + 1}, \bar{x}) &= h(f(\alert{m}, \bar{x}), \alert{m}, \bar{x}) \end{align*} \end{definition} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{PR-Programme} \setbeamercovered{dynamic} U.a. diese Programme sind laut Vorlesung oder Übung PR: \begin{itemize} \item \alert{$add(x, y) = x + y$} \item \alert{$mult(x, y) = x \cdot y$} \item $pred(x) = \max \left\{ 0, x - 1 \right\}$ \item \alert{$x \dot{-} y = \max \left\{ 0, x - y \right\}$} \item $div(x, y) = x \div y$ (Ganzzahldivision) \item $mod(x, y) = x \mod y$ \vspace{1.5em} \item $tower(n) = 2^{2^{2^{\iddots}}}$ mit $tower(4) = 2^{16}$ \item $sqr(x) = x^2$ \item $twopow(n) = 2^n$ \item $ifthen(n, a, b) = \begin{cases} a & n \neq 0 \\ b & n = 0 \end{cases}$ \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Erweitertes PR-Schema} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema] Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt \begin{align*} f(0, \bar{x}) &= t_0 \\ f(m + 1, \bar{x}) &= t \end{align*} wobei \begin{itemize} \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$ \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$. \end{itemize} \end{definition} \begin{theorem} Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus. \end{theorem} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Programmieren mit TMs} \setbeamercovered{dynamic} Sind $f_1$ und $f_2$ Endzustände von $M$, so bezeichnet \begin{center} \begin{tikzpicture} \node (M) at (0, 0) {$M$}; \node[above right=0.2cm and 1cm of M] (M1) {$M_1$}; \node[below right=0.2cm and 1cm of M] (M2) {$M_2$}; \coordinate[right of=M1] (M1s); \coordinate[right of=M2] (M2s); \draw[every edge] (-1, 0) -- (M); \draw[every edge] (M) -- node[above left] {$f_1$} (M1); \draw[every edge] (M) -- node[below left] {$f_2$} (M2); \draw[every edge] (M1) -- (M1s); \draw[every edge] (M2) -- (M2s); \end{tikzpicture} \end{center} eine \alert{Fallunterscheidung}.\\ \begin{example}[Band=0?] \begin{align*} \delta(q_0, 0) &= (q_0, 0, R) \\ \delta(q_0, \square) &= (ja, \square, L) \\ \delta(q_0, a) &= (nein, a, N) \qquad \text{für} a \neq 0, \square \end{align*} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{WHILE-Programme} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[WHILE-Programm] Syntax von \alert{WHILE-Programmen}.\\ Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. \begin{align*} P &\rightarrow X := X + C \\ &\mid X := X - C \\ &\mid P; P \\ &\mid \alert{\mathbf{WHILE}\ X \neq 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}} \\ &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}} \\ &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} \end{align*} \end{definition} \begin{itemize} \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. \item Semantik wie erwartet. \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{GOTO-Programme} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[GOTO-Programm] Syntax von \alert{GOTO-Programmen}.\\ Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. \\ Alle Anweisungen haben eine Markierung \alert{$M_1 : A_1; M_2 : A_2$}. \begin{align*} P &\rightarrow X := X + C \\ &\mid X := X - C \\ &\mid P; P \\ &\mid \mathbf{GOTO}\ M_i \\ &\mid \mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{GOTO}\ M_i \\ &\mid \mathbf{HALT} \end{align*} \end{definition} \begin{itemize} \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Übersetzungen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{center} \begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm] \node (WH) {WHILE}; \node (GO) [above left of = WH] {GOTO}; \node (TM) [above right of = WH] {TM}; \node (LO) [below of = WH] {LOOP}; \node (PR) [left of = LO] {PR}; \draw [every edge, ->] (LO) -- (WH); \draw [every edge, tumgreen, <->] (LO) -- (PR); \draw [every edge, <->] (WH) -- (GO); \draw [every edge, ->] (WH) -- (TM); \draw [every edge, ->] (TM) -- (GO); \end{tikzpicture} \end{center} \vfill LOOP kann in WHILE \alert{übersetzt} werden, WHILE ist also \alert{mindestens so mächtig} wie LOOP (sogar mächtiger). \end{frame} \end{document}