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\newcommand{\N}       {\mathbb{N}}          % natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}       {\mathbb{Z}}          % ganze Zahlen
\newcommand{\R}       {\mathbb{R}}          % reelle Zahlen
\newcommand{\Prob}    {\mathrm{P}}          % Wahrscheinlichkeit
\newcommand{\Oh}      {\mathcal{O}}         % O-Notation (Landau-Symbole)
\newcommand{\mycite}[1]{\textcolor{tumgreen}{[#1]}}

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\title{Übung 5: CNF und CFL-Pumping Lemma}
\subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013}
\author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{CNF}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Chomsky-Normalform]
        Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form
        \[
            A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC}
        \]
        haben.
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{theorem}
        Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit 
        \[
            L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}}
        \]
    \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{CNF Konstruktion}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Idee}
        Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG.
        \begin{enumerate}
            \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen}
            \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen}
            \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale
            \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$
        \end{enumerate}
    \end{block}

    \vspace{1em}

    \only<2> {
        Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen.
        \begin{align*}
            S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\
            \intertext{neu:}
            S &\rightarrow \alert{b} \\
            A &\rightarrow \alert{aA \mid a}
        \end{align*}
    }

    \only<3> {
        Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole.
        \begin{align*}
            S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\
            \intertext{neu:}
            A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\
            S &\rightarrow \alert{a \mid bS}
        \end{align*}
    }

    \only<4> {
        Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal.
        \begin{align*}
            S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\
            \intertext{neu:}
            S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\
            X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b}
        \end{align*}
    }

    \only<5> {
        Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$.
        \begin{align*}
            S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\
            \intertext{neu:}
            S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\
            T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\
        \end{align*}
    }
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Eigenschaften von Symbolen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}
        Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\
        Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist
        \begin{description}
            \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt}
            \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$
            \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$
        \end{description}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{theorem}
        Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt.
        \[
            S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b
        \]
    \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Pumping Lemma für CFLs}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{theorem}[Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen]
        Sei $L \subseteq \Sigma^*$ kontextfrei. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in L$ mit $|z| \geq n$ so in \alert{$z = uvwxy$} zerlegen lässt, dass
        \begin{itemize}
            \item $vx \alert{\neq \epsilon}$
            \item $|vwx| \alert{\leq n}$
            \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iwx^iy \in L$
        \end{itemize}
    \end{theorem}

    \vfill

    \begin{center}
        \begin{columns}
            \begin{column}{.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \coordinate (outer) at (2, 2.4);
                    \coordinate (middle) at (2.2, 1.2);
                    \coordinate (inner) at (2.2, 0.6);
                    % outer
                    \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0);
                    % middle
                    \draw[fill=tumgreen!40] (1.2, 0) -- (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (3.2, 0) -- (middle) -- (1.2, 0);
                    % inner
                    \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (1.7, 0);

                    % path
                    \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle) -- (inner);
                    \draw[fill] (outer) circle (1pt);
                    \draw[fill] (middle) circle (1pt);
                    \draw[fill] (inner) circle (1pt);

                    % nodes
                    \node[below] at (0.6, 0) {$u$};
                    \node[below] at (1.45, 0) {$v$};
                    \node[below] at (2.2, 0) {$w$};
                    \node[below] at (2.95, 0) {$x$};
                    \node[below] at (3.6, 0) {$y$};
                \end{tikzpicture}
            \end{column}
            \begin{column}{.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \coordinate (outer) at (2, 2.4);
                    \coordinate (middle) at (2.2, 1.2);
                    \coordinate (inner) at (2.2, 0.6);
                    % outer
                    \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0);
                    % inner
                    \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0.6) -- (middle) -- (2.7, 0.6) -- (1.7, 0.6);

                    % path
                    \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle);
                    \draw[fill] (outer) circle (1pt);
                    \draw[fill] (middle) circle (1pt);

                    % nodes
                    \node[below] at (0.6, 0) {$u$};
                    \node[below] at (2.2, 0) {$w$};
                    \node[below] at (3.6, 0) {$y$};
                \end{tikzpicture}
            \end{column}
        \end{columns}
    \end{center}
\end{frame}

\end{document}