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ue11 notes
author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Mon, 08 Jul 2013 23:41:59 +0200 |
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children | 3175d3871752 |
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\input{preamble.tex} \title{Übung 11: Aussagen über TMs und PCP} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Spezielles Halteproblem} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Spezielles Halteproblem] Gegeben ein \structure{Wort} $w \in \left\{ 0, 1 \right\}^*$.\\ Hält \alert{$M_w$} bei Eingabe \alert{$w$}? \[\alert{K} := \left\{ w \mid M_w[w]\downarrow \right\}\] \end{definition} \begin{theorem}[] Das spezielle Halteproblem ist \alert{nicht entscheidbar}. \end{theorem} \vfill \begin{itemize} \item Hält eine Turingmaschine mit sich selbst als Eingabe? \item $w$ ist die \structure{Gödelisierung} von $M_w$. \item $K$ ist semi-entscheidbar, $\overline{K}$ \alert{nicht}. \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Allgemeines Halteproblem} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Allgemeines Halteproblem] Gegeben \structure{Wörter} $w, x \in \left\{ 0, 1 \right\}^*$.\\ Hält \alert{$M_w$} bei Eingabe \alert{$x$}? \[\alert{H} := \left\{ w\#x \mid M_w[x]\downarrow \right\}\] \end{definition} \begin{theorem}[] Das allgemeine Halteproblem ist \alert{nicht entscheidbar}. \end{theorem} \vfill \begin{itemize} \item Es ist $K \leq H$. Warum? \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Rekursive Aufzählbarkeit} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Rekursiv aufzählbar] Eine Menge $A$ heißt \alert{rekursiv aufzählbar} wenn $A = \emptyset$ oder es eine \alert{berechenbare} totale Funktion $f : \N \to A$ gibt, so dass \[A = \left\{ f(0), f(1), \ldots \right\} = \bigcup_{n \in \N} \left\{ f(n) \right\}\] \end{definition} \vfill \structure{Äquivalent:} \begin{itemize} \item $A$ rekursiv aufzählbar \item $A$ semi-entscheidbar, also $\chi'_A$ berechenbar \item $A=L(M)$ für eine TM $M$ \item $A$ ist Bild oder Urbild einer berechenbaren Funktion \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Satz von Rice} \setbeamercovered{dynamic} \begin{theorem}[Rice] Sei $F$ eine Menge berechenbarer Funktionen.\\ Sei weder $F = \emptyset$ noch $F = \text{alle ber. Funktionen}$ (\alert{$F$ nicht trivial}).\\ Dann ist \alert{unentscheidbar}, ob die von einer gegebenen TM $M_w$ berechnete Funktion in $F$ ist, also ob \alert{$\varphi_w \in F$}. \end{theorem} \begin{itemize} \item Nicht-triviale \alert{semantische} Eigenschaften von Programmen sind unentscheidbar. \item \alert{Termination} ist unentscheidbar. \end{itemize} \vfill \structure{Rice-Shapiro:} \begin{itemize} \item Termination ist nicht semi-entscheidbar. \item Nicht-Termination ist nicht semi-entscheidbar. \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{PCP} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Postsches Korrespondenzproblem] Gegeben \structure{endliche Folge} $(x_1, y_1), \ldots, (x_k, y_k)$ mit $x_i, y_i \in \Sigma^+$.\\ Gibt es eine \alert{Folge von Indizes} $i_1, \ldots, i_n \in \left\{ 1, \ldots, k \right\}$ mit \alert{\[x_{i_1}, \ldots, x_{i_n} = y_{i_1}, \ldots, y_{i_n}\]} \end{definition} \vfill \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{scope}[start chain, node distance=2em] \node[tape, active] {\pcp{$x_i$}{$y_i$}}; \node[tape] (a) {\pcp{$001$}{$00$}}; \node[tape] (b) {\pcp{$10$}{$11$}}; \node[tape] (c) {\pcp{$1$}{$10$}}; \end{scope} \node[below of=a] {$1$}; \node[below of=b] {$2$}; \node[below of=c] {$3$}; \end{tikzpicture} \end{center} \vfill \begin{theorem}[] Das PCP ist \alert{unentscheidbar}, aber semi-entscheidbar. \end{theorem} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{PCP lösen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} \alert{Mögliche Lösungen} aufzählen, richtige Lösungen identifizieren \end{block} \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{scope}[start chain, node distance=2em] \node[tape, active] {\pcp{$x_i$}{$y_i$}}; \node[tape] (a) {\pcp{$001$}{$00$}}; \node[tape] (b) {\pcp{$01$}{$10$}}; \node[tape] (c) {\pcp{$1$}{$11$}}; \end{scope} \node[below of=a] {$1$}; \node[below of=b] {$2$}; \node[below of=c] {$3$}; \end{tikzpicture} \vspace{2em} \begin{tikzpicture}[grow=right, level distance = 2cm] \tikzstyle{every node} = [] \tikzstyle{residual} = [rectangular, thin, fill=tumgreen!10, font=\scriptsize] \tikzstyle{edge from parent} = [every edge] \tikzstyle{level 1} = [sibling distance = 1.7cm] \tikzstyle{level 2} = [sibling distance = 1.1cm] \node[residual] {} child { node[residual] {\pcp{$1$}{}} child { node[residual] {\pcp{$1$}{}} child { node[residual] {\pcp{$1$}{}} child { node[residual]{$\ldots$} edge from parent } edge from parent node[below] {$2$} } child { node[residual, active] {\pcp{}{}} edge from parent node[above] {$3$} } edge from parent node[below] {$2$} } child { node[residual, active] {\pcp{}{}} edge from parent node[above] {$3$} } edge from parent node[below] {$1$} } child { node[residual]{\pcp{}{$1$}} child { node[residual]{\pcp{}{$11$}} child { node[residual]{$\ldots$} edge from parent node[above] {$3$} } edge from parent node[above] {$3$} } edge from parent node[above] {$3$} }; \uncover<2>{\node at (10cm, 0) {$L = \left\{ (12^*3)^+ \right\}$};} \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} \end{document}