\input{preamble.tex}

\title{Übung 10: $\mu$Rekursion, Entscheidbarkeit}
\subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013}
\author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{LOOP-Programme}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[LOOP-Programm]
        Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\
        Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$.
        \begin{align*}
            P &\rightarrow X := X + C \\
            &\mid X := X - C \\
            &\mid P; P \\
            &\mid \mathbf{LOOP}\  X \ \mathbf{DO}\  P \ \mathbf{END} \\
            &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\  X = 0 \ \mathbf{DO}\  P \ \mathbf{ELSE}\  Q \ \mathbf{END}}
        \end{align*}
    \end{definition}

    \begin{itemize}
        \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0.
        \item $\mathbf{LOOP}\  x_i \ \mathbf{DO}\  P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Erweitertes PR-Schema}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema]
        Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt
        \begin{align*}
            f(0, \bar{x}) &= t_0 \\
            f(m + 1, \bar{x}) &= t
        \end{align*}
        wobei
        \begin{itemize}
            \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$
            \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$.
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \begin{theorem}
        Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus.
    \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Beschränkte Operationen}
    \setbeamercovered{dynamic}
    \begin{definition}
        Ein Prädikat $P$ ist \alert{PR}, wenn es eine PR Funktion $\hat{P}$ gibt mit 
        \[\hat{P}(x) = 1 \Longleftrightarrow P(x)\]
    \end{definition}

    \begin{definition}[Beschränkte Operationen]
        Ist $P$ PR, dann auch 
        \begin{itemize}
            \item der \alert{beschränkte max-Operator}
                \[\max \left\{ x \alert{\leq n} \mid P(x) \right\}, \quad \max \left\{ \emptyset \right\} = 0\]
            \item der \alert{beschränkte Existenzquantor}
                \[\exists x \alert{\leq n}. P(x)\]
        \end{itemize}
    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{$\mu$-Rekursion}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[$\mu$-Operator]
        Sei $f: \N^{k+1} \to \N$ eine Funktion.\\Der \alert{$\mu$-Operator} definiert eine neue Funktion $\mu f : \N^k \to \N$:
        \[(\mu f)(\bar{x}) := \begin{cases} \min \left\{ n \in \N \mid \alert{f (n, \bar{x}) = 0}\right\} & \text{falls } n \text{ existent\alert{$^*$}} \\ \perp & \text{sonst}\end{cases}\]
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{itemize}
        \item \alert{$^*$}Für alle \alert{$m \leq n$} muss $f$ definiert sein: $f(m, \bar{x}) \neq \perp$
        \item PR + $\mu$ = $\mu$-Rekursion
        \item In Pseudocode:
            \begin{align*}
                \mu f(\bar{x}) &= find(0, \bar{x}) \\
                find(n, \bar{x}) &= \mathbf{if}\  f(n, \bar{x}) = 0 \ \mathbf{then}\  n \ \mathbf{else}\  find(n+1, \bar{x})
            \end{align*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Übersetzungen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm]
            \node (WH) {WHILE};
            \node (GO) [above left of = WH] {GOTO};
            \node (TM) [above right of = WH] {TM};
            \node (LO) [below of = WH] {LOOP};
            \node (PR) [left of = LO] {PR};
            \node (MR) [left of = WH] {$\mu$R};

            \draw [every edge, ->] (LO) -- (WH);
            \draw [every edge, ->] (PR) -- (MR);
            \draw [every edge, tumgreen, <->] (LO) -- (PR);
            \draw [every edge, tumgreen, <->] (WH) -- (MR);
            \draw [every edge, <->] (WH) -- (GO);
            \draw [every edge, ->] (WH) -- (TM);
            \draw [every edge, ->] (TM) -- (GO);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}

    \vfill

    LOOP kann in WHILE \alert{übersetzt} werden, WHILE ist also \alert{mindestens so mächtig} wie LOOP (sogar mächtiger).
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Berechenbarkeit}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Intuitive Berechenbarkeit]
        Eine Funktion $f : \N^k \to \N$ heißt \alert{intuitiv berechenbar}, wenn es einen Algorithmus gibt, der bei Eingabe $(n_1, \ldots, n_k) \in \N^k$
        \begin{itemize}
            \item nach \alert{endlich vielen Schritten} mit Ergebnis $f(n_1, \ldots, n_k)$ hält, falls $f(\ldots)$ definiert ist,
            \item und \alert{nicht terminiert}, falls $f(\ldots)$ nicht definiert ist.
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{block}{Churchsche These (nicht beweisbar)}
        Turing-Maschinen können genau \alert{alle} intuitiv berechenbaren Funktionen berechnen.
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Entscheidbarkeit}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Entscheidbarkeit]
        Eine Menge $A$ heißt \alert{entscheidbar} gdw ihre \alert{charakteristische Funktion}
        \[ \chi_A(x) := \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ 0 & \text{falls } x \not \in A \end{cases} \]
        berechenbar ist.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Semi-Entscheidbarkeit]
        Eine Menge $A$ heißt \alert{semi-entscheidbar} gdw
        \[ \chi'_A(x) := \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ \perp & \text{falls } x \not \in A \end{cases} \]
        berechenbar ist.
    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Reduzierbarkeit}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Reduzierbarkeit]
        Eine Menge $A \subseteq \Sigma^*$ ist \alert{reduzierbar} auf eine Menge $B \subseteq \Gamma^*$ gdw es eine totale und berechenbare Funktion $f:\Sigma^* \to \Gamma^*$ gibt mit
        \[\forall w \in \Sigma^*. w \in A \Longleftrightarrow f(w) \in B\]
        Wir schreiben dann \alert{$A \leq B$}.
    \end{definition}

    \vfill

    \structure{Intuition}:
    \begin{itemize}
        \item $B$ ist \alert{mindestens so schwer} zu lösen wie $A$
        \item Ist $A$ unlösbar, dann auch $B$.
        \item Ist $B$ unlösbar, dann erst recht $A$.
    \end{itemize}
\end{frame}

\end{document}
