# HG changeset patch # User Markus Kaiser # Date 1372719583 -7200 # Node ID 1098749b56457128eb44c1b3905a15c52b9dc8cd # Parent 844698060e1c0e06ef6ba58f73feb9568421d1e8 ue10 notes diff -r 844698060e1c -r 1098749b5645 notes/tex/ue10_notes.tex --- /dev/null Thu Jan 01 00:00:00 1970 +0000 +++ b/notes/tex/ue10_notes.tex Tue Jul 02 00:59:43 2013 +0200 @@ -0,0 +1,182 @@ +\input{preamble.tex} + +\title{Übung 10: $\mu$Rekursion, Entscheidbarkeit} +\subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} +\author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} + +\begin{document} + +\begin{frame} + \titlepage +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{LOOP-Programme} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[LOOP-Programm] + Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\ + Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. + \begin{align*} + P &\rightarrow X := X + C \\ + &\mid X := X - C \\ + &\mid P; P \\ + &\mid \mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END} \\ + &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} + \end{align*} + \end{definition} + + \begin{itemize} + \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. + \item $\mathbf{LOOP}\ x_i \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.} + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Erweitertes PR-Schema} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema] + Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt + \begin{align*} + f(0, \bar{x}) &= t_0 \\ + f(m + 1, \bar{x}) &= t + \end{align*} + wobei + \begin{itemize} + \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$ + \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$. + \end{itemize} + \end{definition} + + \begin{theorem} + Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus. + \end{theorem} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Beschränkte Operationen} + \setbeamercovered{dynamic} + \begin{definition} + Ein Prädikat $P$ ist \alert{PR}, wenn es eine PR Funktion $\hat{P}$ gibt mit + \[\hat{P}(x) = 1 \Longleftrightarrow P(x)\] + \end{definition} + + \begin{definition}[Beschränkte Operationen] + Ist $P$ PR, dann auch + \begin{itemize} + \item der \alert{beschränkte max-Operator} + \[\max \left\{ x \alert{\leq n} \mid P(x) \right\}, \quad \max \left\{ \emptyset \right\} = 0\] + \item der \alert{beschränkte Existenzquantor} + \[\exists x \alert{\leq n}. P(x)\] + \end{itemize} + \end{definition} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{$\mu$-Rekursion} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[$\mu$-Operator] + Sei $f: \N^{k+1} \mapsto \N$ eine Funktion.\\Der \alert{$\mu$-Operator} definiert eine neue Funktion $\mu f : \N^k \mapsto \N$: + \[(\mu f)(\bar{x}) := \begin{cases} \min \left\{ n \in \N \mid \alert{f (n, \bar{x}) = 0}\right\} & \text{falls } n \text{ existent\alert{$^*$}} \\ \perp & \text{sonst}\end{cases}\] + \end{definition} + + \vfill + + \begin{itemize} + \item \alert{$^*$}Für alle \alert{$m \leq n$} muss $f$ definiert sein: $f(m, \bar{x}) \neq \perp$ + \item PR + $\mu$ = $\mu$-Rekursion + \item In Pseudocode: + \begin{align*} + \mu f(\bar{x}) &= find(0, \bar{x}) \\ + find(n, \bar{x}) &= \mathbf{if}\ f(n, \bar{x}) = 0 \ \mathbf{then}\ n \ \mathbf{else}\ find(n+1, \bar{x}) + \end{align*} + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Übersetzungen} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm] + \node (WH) {WHILE}; + \node (GO) [above left of = WH] {GOTO}; + \node (TM) [above right of = WH] {TM}; + \node (LO) [below of = WH] {LOOP}; + \node (PR) [left of = LO] {PR}; + \node (MR) [left of = WH] {$\mu$R}; + + \draw [every edge, ->] (LO) -- (WH); + \draw [every edge, ->] (PR) -- (MR); + \draw [every edge, tumgreen, <->] (LO) -- (PR); + \draw [every edge, tumgreen, <->] (WH) -- (MR); + \draw [every edge, <->] (WH) -- (GO); + \draw [every edge, ->] (WH) -- (TM); + \draw [every edge, ->] (TM) -- (GO); + \end{tikzpicture} + \end{center} + + \vfill + + LOOP kann in WHILE \alert{übersetzt} werden, WHILE ist also \alert{mindestens so mächtig} wie LOOP (sogar mächtiger). +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Berechenbarkeit} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Intuitive Berechenbarkeit] + Eine Funktion $f : \N^k \mapsto \N$ heißt \alert{intuitiv berechenbar}, wenn es einen Algorithmus gibt, der bei Eingabe $(n_1, \ldots, n_k) \in \N^k$ + \begin{itemize} + \item nach \alert{endlich vielen Schritten} mit Ergebnis $f(n_1, \ldots, n_k)$ hält, falls $f(\ldots)$ definiert ist, + \item und \alert{nicht terminiert}, falls $f(\ldots)$ nicht definiert ist. + \end{itemize} + \end{definition} + + \vfill + + \begin{block}{Churchsche These (nicht beweisbar)} + Turing-Maschinen können genau \alert{alle} intuitiv berechenbaren Funktionen berechnen. + \end{block} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Entscheidbarkeit} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Entscheidbarkeit] + Eine Menge $A$ heißt \alert{entscheidbar} gdw ihre \alert{charakteristische Funktion} + \[ \chi_A(x) := \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ 0 & \text{falls } x \not \in A \end{cases} \] + berechenbar ist. + \end{definition} + + \begin{definition}[Semi-Entscheidbarkeit] + Eine Menge $A$ heißt \alert{semi-entscheidbar} gdw + \[ \chi'_A(x) := \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ \perp & \text{falls } x \not \in A \end{cases} \] + berechenbar ist. + \end{definition} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Reduzierbarkeit} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Reduzierbarkeit] + Eine Menge $A \subseteq \Sigma^*$ ist \alert{reduzierbar} auf eine Menge $B \subseteq \Gamma^*$ gdw es eine totale und berechenbare Funktion $f:\Sigma^* \mapsto \Gamma^*$ gibt mit + \[\forall w \in \Sigma^*. w \in A \Longleftrightarrow f(w) \in B\] + Wir schreiben dann \alert{$A \leq B$}. + \end{definition} + + \vfill + + \structure{Intuition}: + \begin{itemize} + \item $B$ ist \alert{mindestens so schwer} zu lösen wie $A$ + \item Ist $A$ unlösbar, dann auch $B$. + \item Ist $B$ unlösbar, dann erst recht $A$. + \end{itemize} +\end{frame} + +\end{document} diff -r 844698060e1c -r 1098749b5645 notes/ue10_notes.pdf Binary file notes/ue10_notes.pdf has changed