# HG changeset patch # User Markus Kaiser # Date 1372111899 -7200 # Node ID d89b21ed9eb47d15b14481ff132a84772342ac8a # Parent cb59a72b2ea1fbd973ca0200130ac4794caa526a ue09 notes diff -r cb59a72b2ea1 -r d89b21ed9eb4 notes/tex/preamble.tex --- a/notes/tex/preamble.tex Tue Jun 25 00:11:35 2013 +0200 +++ b/notes/tex/preamble.tex Tue Jun 25 00:11:39 2013 +0200 @@ -13,6 +13,7 @@ \usepackage{xcolor} \usepackage{tikz} \usepackage{pgfplots} +\usepackage{mathdots} \usetikzlibrary{automata} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{shapes} diff -r cb59a72b2ea1 -r d89b21ed9eb4 notes/tex/ue09_notes.tex --- /dev/null Thu Jan 01 00:00:00 1970 +0000 +++ b/notes/tex/ue09_notes.tex Tue Jun 25 00:11:39 2013 +0200 @@ -0,0 +1,281 @@ +\input{preamble.tex} + +\title{Übung 9: Berechnungsmodelle} +\subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} +\author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} + +\begin{document} + +\begin{frame} + \titlepage +\end{frame} + +\begin{frame}[c] + \frametitle{Chomsky-Hierarchie} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[auto] + \tikzstyle{rect} = [thick]; + \tikzstyle{caption} = [align=left, anchor=north west]; + + \draw[rect, tumblue, fill=tumblue!10] (5.5, 0) rectangle (-5.5, 7) node[caption] {Alle Algorithmen}; + \draw[rect, dashed, tumred, fill=tumred!10] (4.5, 0.3) rectangle (-4.5, 6) node[caption] {Typ 0 - Rekursiv aufzählbar\\Turingmaschinen, $\lambda$-Kalkül}; + \draw[rect, tumivory, fill=tumivory!10] (3.5, 0.6) rectangle (-3.5, 4.8) node[caption] {Typ 1 - Kontextsensitiv\\CSG}; + \draw[rect, tumorange, fill=tumorange!10] (2.5, 0.9) rectangle (-2.5, 3.6) node[caption] {Typ 2 - Kontextfrei\\PDA, CFG}; + \draw[rect, tumgreen, fill=tumgreen!10] (1.5, 1.2) rectangle (-1.5, 2.4) node[caption] {Typ 3 - Regulär\\DFA, RE}; + \end{tikzpicture} + \end{center} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Berechenbarkeit} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Intuitive Berechenbarkeit] + Eine Funktion $f : \N^k \mapsto \N$ heißt \alert{intuitiv berechenbar}, wenn es einen Algorithmus gibt, der bei Eingabe $(n_1, \ldots, n_k) \in \N^k$ + \begin{itemize} + \item nach \alert{endlich vielen Schritten} mit Ergebnis $f(n_1, \ldots, n_k)$ hält, falls $f(\ldots)$ definiert ist, + \item und \alert{nicht terminiert}, falls $f(\ldots)$ nicht definiert ist. + \end{itemize} + \end{definition} + + \vfill + + \begin{block}{Churchsche These (nicht beweisbar)} + Turing-Maschinen können genau \alert{alle} intuitiv berechenbaren Funktionen berechnen. + \end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}[c] + \frametitle{Berechenbarkeit} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{example}[Berechenbarkeit] + Sind die folgenden Funktionen intuitiv berechenbar? + + \begin{align*} + f_1(n) &= \begin{cases} + 1 & \text{falls $n$ prim}\\ + 0 & \text{sonst} + \end{cases} \\ + f_2(n) &= \begin{cases} + 1 & \text{falls $n$ die ersten $n$ Ziffern von $\pi$ darstellt}\\ + 0 & \text{sonst} + \end{cases} \\ + f_3(n) &= \begin{cases} + 1 & \text{falls in $\pi$ $n$ Nullen am Stück vorkommen}\\ + 0 & \text{sonst} + \end{cases} + \end{align*} + \end{example} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Programmieren mit TMs} + \setbeamercovered{dynamic} + + Sind $f_1$ und $f_2$ Endzustände von $M$, so bezeichnet + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \node (M) at (0, 0) {$M$}; + \node[above right=0.2cm and 1cm of M] (M1) {$M_1$}; + \node[below right=0.2cm and 1cm of M] (M2) {$M_2$}; + \coordinate[right of=M1] (M1s); + \coordinate[right of=M2] (M2s); + + \draw[every edge] (-1, 0) -- (M); + \draw[every edge] (M) -- node[above left] {$f_1$} (M1); + \draw[every edge] (M) -- node[below left] {$f_2$} (M2); + \draw[every edge] (M1) -- (M1s); + \draw[every edge] (M2) -- (M2s); + \end{tikzpicture} + \end{center} + eine \alert{Fallunterscheidung}.\\ + \begin{example}[Band=0?] + \begin{align*} + \delta(q_0, 0) &= (q_0, 0, R) \\ + \delta(q_0, \square) &= (ja, \square, L) \\ + \delta(q_0, a) &= (nein, a, N) \qquad \text{für} a \neq 0, \square + \end{align*} + \end{example} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{LOOP-Programme} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[LOOP-Programm] + Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\ + Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. + \begin{align*} + P &\rightarrow X := X + C \\ + &\mid X := X - C \\ + &\mid P; P \\ + &\mid \mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END} \\ + &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} + \end{align*} + \end{definition} + + \begin{itemize} + \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. + \item $\mathbf{LOOP}\ x_i \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.} + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Primitive Rekursion} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Basisfunktionen] + \alert{Primitiv Rekursiv} sind: + \begin{itemize} + \item Die konstante Funktion \alert{0} + \item Die \alert{Nachfolgerfunktion} $s(n) = n + 1$ + \item Die \alert{Projektionsfunktion} $\pi_i^k : \N^k \mapsto \N, i \in [k]$ + \[ \pi_i^k(x_1, \ldots, x_k) = x_i \] + \end{itemize} + \end{definition} + + \begin{definition}[Komposition] + Sind $g$ und $h_i$ PR und $\bar{x} = (x_1, \ldots, x_n)$, dann ist auch \alert{$f$} PR: + \[ f(\bar{x}) = \alert{g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))} \] + \end{definition} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Primitive Rekursion} + \setbeamercovered{dynamic} + \begin{block}{Basisfunktionen und Komposition} + Schon \alert{PR} sind: + \begin{itemize} + \item Konstante: $0$ + \item Nachfolger: $s(n) = n + 1$ + \item Projektion: $\pi_i^k : \N^k \mapsto \N$ + \item Komposition: $f(\bar{x}) = g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))$ + \end{itemize} + \end{block} + + \begin{definition}[Primitive Rekursion] + Das Schema der \alert{primitiven Rekursion} erzeugt aus $g$ und $h$ die Funktion \alert{$f$}: + \begin{align*} + f(0, \bar{x}) &= g(\bar{x}) \\ + f(\alert{m + 1}, \bar{x}) &= h(f(\alert{m}, \bar{x}), \alert{m}, \bar{x}) + \end{align*} + \end{definition} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{PR-Programme} + \setbeamercovered{dynamic} + + U.a. diese Programme sind laut Vorlesung oder Übung PR: + \begin{itemize} + \item \alert{$add(x, y) = x + y$} + \item \alert{$mult(x, y) = x \cdot y$} + \item $pred(x + 1) = \max \left\{ 0, x \right\}$ + \item \alert{$x \dot{-} y = \max \left\{ 0, x - y \right\}$} + \item $div(x, y) = x \div y$ (Ganzzahldivision) + \item $mod(x, y) = x \mod y$ + \vspace{1.5em} + \item $tower(n) = 2^{2^{2^{\iddots}}}$ mit $tower(4) = 2^{16}$ + \item $sqr(x) = x^2$ + \item $twopow(n) = 2^n$ + \item $ifthen(n, a, b) = \begin{cases} a & n = 0 \\ b & n \neq 0 \end{cases}$ + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Erweitertes PR-Schema} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema] + Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt + \begin{align*} + f(0, \bar{x}) &= t_0 \\ + f(m + 1, \bar{x}) &= t + \end{align*} + wobei + \begin{itemize} + \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$ + \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$. + \end{itemize} + \end{definition} + + \begin{theorem} + Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus. + \end{theorem} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{WHILE-Programme} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[WHILE-Programm] + Syntax von \alert{WHILE-Programmen}.\\ + Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. + \begin{align*} + P &\rightarrow X := X + C \\ + &\mid X := X - C \\ + &\mid P; P \\ + &\mid \alert{\mathbf{WHILE}\ X \neq 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}} \\ + &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}} \\ + &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} + \end{align*} + \end{definition} + + \begin{itemize} + \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. + \item Semantik wie erwartet. + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{GOTO-Programme} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[GOTO-Programm] + Syntax von \alert{GOTO-Programmen}.\\ + Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. \\ + Alle Anweisungen haben eine Markierung \alert{$M_1 : A_1; M_2 : A_2$}. + \begin{align*} + P &\rightarrow X := X + C \\ + &\mid X := X - C \\ + &\mid P; P \\ + &\mid \mathbf{GOTO}\ M_i \\ + &\mid \mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{GOTO}\ M_i \\ + &\mid \mathbf{HALT} + \end{align*} + \end{definition} + + \begin{itemize} + \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Übersetzungen} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm] + \node (WH) {WHILE}; + \node (GO) [above left of = WH] {GOTO}; + \node (TM) [above right of = WH] {TM}; + \node (LO) [below of = WH] {LOOP}; + \node (PR) [left of = LO] {PR}; + + \draw [every edge, ->] (LO) -- (WH); + \draw [every edge, tumgreen, <->] (LO) -- (PR); + \draw [every edge, <->] (WH) -- (GO); + \draw [every edge, ->] (WH) -- (TM); + \draw [every edge, ->] (TM) -- (GO); + \end{tikzpicture} + \end{center} + + \vfill + + LOOP kann in WHILE \alert{übersetzt} werden, WHILE ist also \alert{mindestens so mächtig} wie LOOP (sogar mächtiger). +\end{frame} + +\end{document} diff -r cb59a72b2ea1 -r d89b21ed9eb4 notes/ue09_notes.pdf Binary file notes/ue09_notes.pdf has changed