Mercurial > 13ss.theoinf
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| author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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--- a/notes/tex/ue01_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue01_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,220 +1,18 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 1: Sprachen und Automaten} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Organisatorisches} - - \begin{itemize} - \item Mail: \href{mailto:tutor@zfix.org}{tutor@zfix.org} - \item Web: \href{tutor.zfix.org}{tutor.zfix.org} - \vfill - \item Wann? - \begin{itemize} - \item Dienstag 10:15-11:45 00.08.038 - \item Dienstag 12:05-13:35 00.08.038 - \end{itemize} - \item Übungsablauf, Aufgabentypen - \item Hausaufgaben - \begin{itemize} - \item Abgabe am Montag 14h, \alert{allein} - \item Rückgabe in der \alert{richtigen} Übung - \item Notenbonus für 40\% der Punkte, 40\% in der zweiten Hälfte - \end{itemize} - \item Klausur - \begin{itemize} - \item Endterm: Mi 31.07. 11.30-14h - \item Wiederholung: Do 26.09. 11-13.30h - \end{itemize} - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Was ist Theoinf?} - - Aus der VL - \vspace{1em} - - \begin{itemize} - \item Automatentheorie - \begin{itemize} - \item Rechner mit endlichem oder kellerartigem Speicher - \end{itemize} - \vspace{0.5em} - \item Grammatiken - \begin{itemize} - \item Syntax von Programmiersprachen - \end{itemize} - \vspace{0.5em} - \item Berechenbarkeitstheorie - \begin{itemize} - \item Untersuchung der Grenzen, was Rechner prinzipiell können - \end{itemize} - \vspace{0.5em} - \item Komplexitätstheorie - \begin{itemize} - \item Untersuchung der Grenzen, was Rechner mit begrenzten Ressourcen können - \end{itemize} - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Grundlegendes} - - \begin{definition} - \begin{itemize} - \item Ein \alert{Alphabet} $\Sigma$ ist eine endliche Menge. - \item Ein \alert{Wort} über $\Sigma$ ist eine endliche Folge von Zeichen. - \item Eine Teilmenge $L \subseteq \Sigma^*$ ist eine \alert{formale Sprache} - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{definition}[Operationen auf Sprachen] - \begin{itemize} - \item $\alert{AB} = \left\{ uv \mid u \in A \wedge v \in B \right\}$ - \item $\alert{A^n} = \left\{w_1 \ldots w_n \mid w_1 \ldots w_n \in A \right\}$,\qquad $A^0 = \{\epsilon\}$ - \item $\alert{A^*} = \bigcup_{n \in \N_0} A^n$ - \end{itemize} - \end{definition} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{DFA} - - \begin{definition}[Deterministischer endlicher Automat] - Ein \alert{DFA} ist ein Tupel $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ aus einer/einem - \begin{itemize} - \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$ - \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$ - \item totalen \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \to Q$ - \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$ - \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$ - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - \pause - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=] - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$}; - - \draw[->] (q0) edge [loop above] node {0} (q0); - \draw[->] (q2) edge [loop above] node {1} (q2); - \draw[->] (q0) edge [bend left] node {1} (q1); - \draw[->] (q1) edge [bend left] node {1} (q0); - \draw[->] (q1) edge [bend left] node {0} (q2); - \draw[->] (q2) edge [bend left] node {0} (q1); - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{NFA} - \begin{definition}[Nicht-Deterministischer endlicher Automat] - Ein \alert{NFA} ist ein Tupel $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ mit - \begin{itemize} - \item $Q, \Sigma, q_0, F$ wie ein DFA - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \to P(Q)$ - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - \pause - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=] - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - - \draw[->] (q0) edge [loop above] node {0,1} (q0); - \draw[->] (q0) edge node {1} (q1); - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{$\epsilon$-NFA} - \begin{definition}[NFA mit $\epsilon$-Übergängen] - Ein \alert{$\epsilon$-NFA} ist ein Tupel $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ mit - \begin{itemize} - \item $Q, \Sigma, q_0, F$ wie ein DFA - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \to P(Q)$ - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - \pause - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=30, initial text=] - \node[state] (q1) {$q_1$}; - \node[state, initial] (q0) [left of = q1] {$q_0$}; - \node[state, accepting] (q2) [right of = q1] {$q_2$}; - - \draw[->] (q0) edge [red] node {$\epsilon$} (q1); - \draw[->] (q1) edge [loop above] node {0,1} (q1); - \draw[->] (q1) edge node {1} (q2); - \draw[->] (q0) edge [bend right, red] node {$\epsilon$} (q2); - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Automaten} - \begin{block}{Übergangsfunktionen} - Die Automaten $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ unterscheiden sich nur durch ihre Übergangsfunktionen. - - \begin{description} - \item[DFA] $\delta : Q \times \Sigma \to Q$ - \item[NFA] $\delta : Q \times \Sigma \to \alert{P(Q)}$ - \item[$\epsilon$-NFA] $\delta : Q \times \alert{\left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right)} \to \alert{P(Q)}$ - \end{description} - \end{block} - - \vfill - - \begin{theorem} - \alert{DFA}, \alert{NFA} und \alert{$\epsilon$-NFA} sind gleich mächtig und lassen sich ineinander umwandeln. - \end{theorem} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Tutoraufgabe 3} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=] - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state, accepting] (q1) [above right of = q0] {$q_1$}; - \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$}; - \node[state] (q3) [below right of = q0] {$q_3$}; - \node[state] (q4) [right of = q3] {$q_4$}; - - \draw[->] (q0) edge node {0} (q1); - \draw[->] (q0) edge node {1} (q3); - - \draw[->] (q1) edge [loop above] node {0} (q1); - \draw[->] (q2) edge [loop right] node {1} (q2); - \draw[->] (q4) edge [loop right] node {0} (q4); - - \draw[->] (q1) edge [bend left] node {1} (q2); - \draw[->] (q2) edge [bend left] node {0} (q1); - \draw[->] (q3) edge [bend left] node {0,1} (q4); - \draw[->] (q4) edge [bend left] node {1} (q3); - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{organisatorisches} +\showUnit{wasisttheo} +\showUnit{alphabet} +\showUnit{dfa} +\showUnit{nfa} +\showUnit{enfa} +\showUnit{automatenkonversionen} +\showUnit{name} \end{document}
--- a/notes/tex/ue02_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue02_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,259 +1,16 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 2: Konversion RE $\rightarrow$ DFA} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \setbeamercovered{dynamic} - \frametitle{Reguläre Ausdrücke} - - \begin{definition}[Regulärer Ausdruck] - \alert{Reguläre Ausdrücke} sind induktiv definiert - \begin{itemize} - \item \alert{$\emptyset$} ist ein regulärer Ausdruck - \item \alert{$\epsilon$} ist ein regulärer Ausdruck - \item Für alle $a \in \Sigma$ ist \alert{$a$} ein regulärer Ausdruck - \item Sind $\alpha$ und $\beta$ reguläre Ausdrücke, dann auch - \begin{description} - \item[Konkatenation] \alert{$\alpha\beta$} - \item[Veroderung] \alert{$\alpha \mid \beta$} - \item[Wiederholung] \alert{$\alpha^*$} - \end{description} - \end{itemize} - Analoge Sprachdefinition, z.b. $L(\alpha\beta) = L(\alpha)L(\beta)$ - \end{definition} - - \begin{example} - $\alpha = (0|1)^*00$ \hfill $L(\alpha) = \left\{x \mid x \text{ Binärzahl}, x \mod 4 = 0 \right\}$ - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame}[c] - \setbeamercovered{dynamic} - \frametitle{Konversionen} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[node distance=2cm] - \node (nfa) {NFA}; - \node (dfa) [left of=nfa] {DFA}; - \node (enfa) [right of=nfa] {$\epsilon$-NFA}; - \node (re) [below of=nfa] {RE}; - - \draw [every edge, tumred] (nfa) -- (dfa); - \draw [every edge, tumred] (enfa) -- (nfa); - \draw [every edge] (dfa) -- (re); - \draw [every edge] (nfa) -- (re); - \draw [every edge, tumred] (re) -- (enfa); - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \setbeamercovered{dynamic} - \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA} - - \begin{block}{Idee (Kleene)} - Für einen Ausdruck \alert{$\gamma$} wird rekursiv mit struktureller Induktion ein $\epsilon$-NFA konstruiert. - \end{block} - - \begin{tabu} to \linewidth {XXX} - \alert{$\gamma = \emptyset$} & \alert{$\gamma = \epsilon$} & \alert{$\gamma = a \in \Sigma$} \\ - \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)] - \node[state, initial] () {}; - \end{tikzpicture} & - - \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)] - \node[state, initial, accepting] () {}; - \end{tikzpicture} & - - \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)] - \node[state, initial] (i) {}; - \node[state, accepting] (j) [right of=i] {}; - - \draw[->] (i) edge node {$a$} (j); - \end{tikzpicture} \\ - \vspace{2em} - \alert{$\gamma = \alpha\beta$} \\ - \multicolumn3{c}{ - \begin{tikzpicture}[automaton, small] - \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (-0.3, 1) rectangle (1.8, -1); - \node[tumgreen] () at (0.75, -1.2) {$N_\alpha$}; - - \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (3.7, 1) rectangle (5.8, -1); - \node[tumgreen] () at (4.75, -1.2) {$N_\beta$}; - - \node[state, initial] (i) at (0, 0) {}; - \node[state] (j) at (1.5, 0.5) {}; - \node[state] (k) at (1.5, -0.5) {}; - \node[state] (l) at (4, 0) {}; - \node[state, accepting] (m) at (5.5, 0) {}; - - \draw[->] (j) edge node {$\epsilon$} (l); - \draw[->] (k) edge node {$\epsilon$} (l); - \end{tikzpicture} - }\\ - \end{tabu} -\end{frame} - -\begin{frame} - \setbeamercovered{dynamic} - \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA} - - \begin{tabu} to \linewidth {X} - \alert{$\gamma = \alpha \mid \beta$} \\ - \centering - \begin{tikzpicture}[automaton, small] - \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1.5) rectangle (4.5, 0.5); - \node[tumgreen] () at (3.25, 0.3) {$N_\alpha$}; - - \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, -0.5) rectangle (4.5, -1.5); - \node[tumgreen] () at (3.25, -1.7) {$N_\beta$}; - - \node[state, initial] (i) at (0, 0) {}; - - \node[state] (j) at (2.5, 1) {}; - \node[state, accepting] (k) at (4, 1) {}; - \node[state] (l) at (2.5, -1) {}; - \node[state, accepting] (m) at (4, -1) {}; - - \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j); - \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (l); - \end{tikzpicture} \\ - \vfill - - \alert{$\gamma = \alpha^*$} \\ - \centering - \begin{tikzpicture}[automaton, small, bend angle=70] - \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1) rectangle (4.5, -1); - \node[tumgreen] () at (3.25, -1.2) {$N_\alpha$}; - - \node[state, initial, accepting] (i) at (0, 0) {}; - - \node[state] (j) at (2.5, 0) {}; - \node[state, accepting] (k) at (4, 0.5) {}; - \node[state, accepting] (m) at (4, -0.5) {}; - - \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j); - \draw[->] (k) edge [bend right] node {$\epsilon$} (j); - \draw[->] (m) edge [bend left] node[above] {$\epsilon$} (j); - \end{tikzpicture} - \end{tabu} -\end{frame} - -\begin{frame} - \setbeamercovered{dynamic} - \frametitle{$\epsilon$-NFA $\rightarrow$ NFA} - - \begin{block}{Idee} - Entferne $\epsilon$-Kanten durch das Bilden von $\epsilon$-Hüllen. - \begin{enumerate} - \item<1-> Entferne \alert{unnötige Knoten}. - \item<1,3-> Für jeden \alert{Pfad} der Form $\epsilon\ldots\epsilon \alert{a} \epsilon\ldots\epsilon$ verbinde Anfangs- und Endknoten mit einer \alert{$a$}-Kante. - \item<1,4-> Entferne alle \alert{$\epsilon$-Kanten} und unerreichbare Knoten. - \item<1,5-> Wurde das leere Wort akzeptiert mache den \alert{Anfangszustand} zum Endzustand. - \end{enumerate} - \end{block} - - \vfill - - \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.1cm] - \useasboundingbox (-1.4,2) rectangle (9, -2); - - \node<-4>[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state] (q2) [right = 3.2cm of q0] {$q_2$}; - \node[state] (q3) [right of = q2] {$q_3$}; - \node[state, accepting] (q4) [right of = q3] {$q_4$}; - - \draw[->] (q2) edge node {$0$} (q3); - \draw[->] (q3) edge node {$1$} (q4); - - \draw<1-4>[->] (q3) edge [bend right] node [above] {$\epsilon$} (q2); - \draw[->] (q4) edge [bend right] node [above] {$1$} (q3); - \draw<1-4>[->] (q0) edge [bend right=20] node [below] {$\epsilon$} (q4); - - \node<1>[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - \draw<1>[->] (q0) edge node {$\epsilon$} (q1); - \draw<1>[->] (q1) edge node {$1$} (q2); - - \node<2>[state, fill=tumred!20] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - \draw<2>[->, tumred] (q0) edge node {$\epsilon$} (q1); - \draw<2>[->, tumred] (q1) edge node {$0$} (q2); - \draw<2->[->, tumblue] (q0) edge [bend left] node {$0$} (q2); - - \draw<3,4,5>[->, tumred] (q0) edge [bend right=20] node [below] {$\epsilon$} (q4); - \draw<3>[->, tumred] (q4) edge [bend right] node [above] {$1$} (q3); - \draw<3,4>[->, tumred] (q3) edge [bend right] node [above] {$\epsilon$} (q2); - \draw<3->[->, tumgreen] (q0) edge node {$1$} (q2); - - \draw<4->[->, tumgreen] (q2) edge [loop above] node [above] {$0$} (q2); - \draw<4->[->, tumgreen] (q3) edge [loop above] node [above] {$0$} (q3); - \draw<4->[->, tumgreen] (q0) edge [bend right=20] node [above] {$1$} (q3); - \draw<4->[->, tumgreen] (q4) edge [bend right=70] node [above] {$1$} (q2); - - \node<5>[state, initial, accepting, fill=tumgreen!20] (q0) {$q_0$}; - - \node<6->[state, initial, accepting] (q0) {$q_0$}; - \end{tikzpicture} -\end{frame} - -\begin{frame} - \setbeamercovered{dynamic} - \frametitle{NFA $\rightarrow$ DFA} - - \begin{block}{Idee (Potenzmengenkonstruktion)} - Konstruiere aus einem NFA $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ einen DFA $D = (P(Q), \Sigma, \overline{\delta}, \{q_0\}, F_M)$ mit Zuständen aus \alert{$P(Q)$}. - - \begin{itemize} - \item $\overline{\delta}: \alert{P(Q)} \times \Sigma \to P(Q)$ \\ - \[\overline{\delta}(S, a) := \bigcup_{q \in S} \delta(q, a)\] - \item $F_M := \left\{S \subseteq Q \mid \alert{S \cap F} \neq \emptyset\right\}$ - \end{itemize} - \end{block} - - \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=20, node distance=2.1cm] - \useasboundingbox (-1.4,2) rectangle (9, -2); - - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - - \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$0,1$} (q0); - \draw[->] (q0) edge node {$1$} (q1); - - \node<2->(sep) [right of = q1] {$\rightarrow$}; - - \node<2->[state, initial, inner sep=1pt] (pq0) [right of = sep] {$q_{\{0\}}$}; - - \node<3->[state, accepting, inner sep=0pt] (pq01) [right of = pq0] {$q_{\{0,1\}}$}; - \draw<3->[->] (pq0) edge [loop above] node {$0$} (pq0); - \draw<3->[->] (pq0) edge [bend left] node {$1$} (pq01); - - \draw<4->[->] (pq01) edge [loop above] node {$1$} (pq01); - \draw<4->[->] (pq01) edge [bend left] node {$0$} (pq0); - - \end{tikzpicture} -\end{frame} - -\begin{frame} - \setbeamercovered{dynamic} - \frametitle{Produktautomat} - \begin{theorem} - Sind $M_1 = (Q_1, \Sigma, \delta_1, s_1, F_1)$ und $M_2 = (Q_2, \Sigma, \delta_2, s_2, F_2)$ DFAs, dann ist der \alert{Produkt-Automat} - - \begin{align*} - M &:= (\alert{Q_1 \times Q_2}, \Sigma, \delta, (s_1, s_2), F_1 \times F_2) \\ - \delta\left( (q_1, q_2), a \right) &:= \left( \alert{\delta_1}(q_1, a), \alert{\delta_2}(q_2, a) \right) - \end{align*} - - ein DFA, der $L(M_1) \cap L(M_2)$ akzeptiert. - \end{theorem} - -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{regex} +\showUnit{rezuenfa} +\showUnit{rezuenfazwei} +\showUnit{enfazunfa} +\showUnit{nfazudfa} +\showUnit{produktautomat} \end{document}
--- a/notes/tex/ue03_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue03_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,185 +1,16 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 3: Ardens- und Pumpinglemma} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Nochmal Reguläre Ausdrücke} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{theorem} - Die regulären Ausdrücke $\mathfrak{R}$ über einem Alphabet $\Sigma$ bilden mit Konkatenation $\circ$ und Veroderung $\mid$ einen \alert{Halbring} $\langle \mathfrak{R}, \mid, \circ, \emptyset, \epsilon \rangle$. - - \begin{itemize} - \item \alert{Assoziative} Operationen - \item Veroderung \alert{kommutativ} - \item \alert{Distributivität}: $\alpha (\beta \mid \gamma) \equiv \alpha\beta \mid \alpha\gamma$ - \item $\emptyset$ \alert{neutral} bezüglich Oder - \item $\epsilon$ \alert{neutral} bezüglich Konkatenation - \end{itemize} - \end{theorem} - - \begin{example} - \[ - 1\psi \mid 0\phi \mid \psi \equiv 0 \phi \mid (1 \mid \epsilon) \psi - \] - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Ardens Lemma} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{theorem}[Ardens Lemma] - Sind $A$, $B$ und $X$ Sprachen mit $\epsilon \not \in A$, dann gilt - \[ - X = AX \cup B \Longrightarrow X = A^* B - \] - Speziell gilt für reguläre Ausdrücke - \[ - X \equiv \alpha X \mid \beta \Longrightarrow X \equiv \alpha^* \beta - \] - \end{theorem} - - - \begin{example} - \[ - \psi \equiv 0 \psi \mid (1 \mid \epsilon) \phi \Longrightarrow \psi \equiv 0^*(1\mid \epsilon) \phi - \] - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{NFA $\rightarrow$ RE} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{block}{Idee} - Erzeuge ein Gleichungssystem aus allen Zuständen. - \begin{enumerate} - \item<1,2-> Ausdruck für jeden Zustand - \item<1,3-> Auflösen nach $X_0$ mit Algebra und Ardens Lemma - \end{enumerate} - \end{block} - \begin{columns}<2-> - \begin{column}[b]{.65\textwidth} - \begin{align*} - X_0 &\equiv 1X_0 \mid 0X_1 \\ - &\equiv \uncover<4->{1X_0 \mid 00^*(\epsilon \mid 1X_0)} \\ - &\equiv \uncover<4->{(1 \mid 00^*1) X_0 \mid 00^*} \\ - &\equiv \uncover<4->{(1 \mid 00^*1)^*(00^*)} \\ - \\ - X_1 &\equiv 1X_0 \mid 0X_1 \alt<3->{\mid \epsilon}{\alert{\mid \epsilon}} \\ - &\equiv \uncover<3-> {0X_1 \mid (\epsilon \mid 1 X_0)}\\ - &\equiv \uncover<3-> {\alt<-2,4->{0^*(\epsilon \mid 1X_0)}{\alert{0^*(\epsilon \mid 1X_0)}}} - \end{align*} - \end{column} - \begin{column}[t]{.35\textwidth} - \begin{tikzpicture}[automaton] - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state, accepting] (q1) [below of=q0] {$q_1$}; - - \draw[->] (q0) edge [bend right] node [left] {$0$} (q1); - \draw[->] (q1) edge [bend right] node [right] {$1$} (q0); - \draw[->] (q0) edge [loop right] node {$1$} (q0); - \draw[->] (q1) edge [loop right] node {$0$} (q1); - \end{tikzpicture} - \end{column} - \end{columns} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Pumping Lemma} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{theorem}[Pumping Lemma für reguläre Sprachen] - Sei $R \subseteq \Sigma^*$ regulär. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in R$ mit $|z| \geq n$ so in $z = uvw$ zerlegen lässt, dass - \begin{itemize} - \item $v \neq \epsilon$ - \item $|uv| \alert{\leq n}$ - \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iw \in R$ - \end{itemize} - \end{theorem} - - \vfill - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[automaton] - \node[state, initial] (q0) {}; - \node[state, fill=tumred!20] (q1) [right of=q0] {}; - \node[state, accepting] (q2) [right of=q1] {}; - - - \draw[->, densely dashed] (q0) edge node {$u$} (q1); - \draw[->, tumred] (q1) edge [loop above] node {$v$} (q1); - \draw[->, densely dashed] (q1) edge node {$w$} (q2); - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Nichtregularität beweisen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{block}{Idee} - Gegenbeispiel fürs Pumpinglemma suchen. - \[ - \alert{\forall} n \in \N_0 \alert{\exists} z \in L. |z| \geq n \ \alert{\forall} u,v,w. \ z = uvw \ \text{\alert{nicht} pumpbar} - \] - \end{block} - - \vfill - - \begin{example}<2-> - Ist $L = \left\{ a^ib^i \mid i \in \N_0 \right\}$ regulär? - \begin{enumerate} - \item \alert{Sei $n$} PL-Zahl - \item \alert{Wähle} $\alert{z} = a^nb^n$ - \item Dann ist \alert{$z = uvw$} mit \alert{$|uv| \leq n$}, hier: $v=a^k$ mit $k > 0$ - \item Dann ist $uv^0w \not \in L$ - \item Damit ist L \alert{nicht} regulär. - \end{enumerate} - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Reguläre Sprachen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[node distance=2cm] - \node (nfa) {NFA}; - \node (dfa) [left of=nfa] {DFA}; - \node (enfa) [right of=nfa] {$\epsilon$-NFA}; - \node (re) [below of=nfa] {RE}; - - \draw [every edge] (nfa) -- (dfa); - \draw [every edge] (enfa) -- (nfa); - \draw [every edge] (dfa) -- (re); - \draw [every edge] (nfa) -- (re); - \draw [every edge] (re) -- (enfa); - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \vfill - \pause - - \begin{theorem} - Für eine Darstellung $D$ einer regulären Sprache ist \alert{entscheidbar}: - \vspace{1em} - \begin{description} - \item[Wortproblem] Gegeben $w$, gilt $w \in L(D)$? - \item[Leerheitsproblem] Ist $L(D) = \emptyset$? - \item[Endlichkeitsproblem] Ist $|L(D)| < \infty$? - \item[Äquivalenzproblem] Gilt $L(D_1) = L(D_2)$? - \end{description} - \end{theorem} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{regexrechnen} +\showUnit{arden} +\showUnit{nfazure} +\showUnit{rpl} +\showUnit{rplanwenden} +\showUnit{regulaeresprachen} \end{document}
--- a/notes/tex/ue04_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue04_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,126 +1,13 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 4: Minimale DFAs} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Äquivalenzen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Äquivalente Worte] - Jede Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ induziert eine Äquivalenzrelation $\alert{\equiv_L \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*}$: - \[ - u \alert{\equiv_L} v \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{uw} \in L \Leftrightarrow \alert{vw} \in L\right) - \] - \end{definition} - - \vfill - - \pause - - \begin{definition}[Äquivalente Zustände] - Zwei Zustände im DFA $A$ sind \alert{äquivalent} wenn sie die selbe Sprache akzeptieren. - - \[ - p \alert{\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{\hat{\delta}(p, w)} \in F \Leftrightarrow \alert{\hat{\delta}(q, w)} \in F \right) - \] - \end{definition} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Unterscheidbare Zustände} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Unterscheidbarkeit] - Zwei Zustände sind \alert{unterscheidbar}, wenn sie unterschiedliche Sprachen akzeptieren. - \[ - p \alert{\not\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \exists w \in \Sigma^*. \hat{\delta}(p, w) \alert{\in} F \wedge \hat{\delta}(q, w) \alert{\not\in} F \right) - \] - \end{definition} - - \begin{theorem} - Sind $\delta(p, a)$ und $\delta(q, a)$ unterscheidbar, dann auch $p$ und $q$. - \end{theorem} - - \pause - - \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.5cm] - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$}; - \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$}; - - \draw[->] (q0) edge node {$a$} (q1); - \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2); - \draw[->] (q1) edge node {$a$} (q2); - \draw[->] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3); - \draw[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3); - \draw[->] (q3) edge [loop right] node {$a,b$} (q3); - - \node<3>[state, fill=tumred!35] () at (q2) {$q_2$}; - \node<3->[state, accepting, fill=tumgreen!35] () at (q3) {$q_3$}; - - \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q0) {$q_0$}; - \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q1) {$q_1$}; - \draw<4>[->, tumred] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2); - \draw<4>[->, tumgreen] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3); - \end{tikzpicture} -\end{frame} - -\begin{frame}[t] - \frametitle{DFA minimieren} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{block}{Idee} - Erzeuge den \alert{Quotientenautomaten}. - \begin{enumerate} - \item Entferne alle von $q_0$ \alert{nicht erreichbaren} Zustände - \item<1, 3-> Berechne die \alert{unterscheidbaren} Zustände - \item<1, 6-> \alert{Kollabiere} die äquivalenten Zustände - \end{enumerate} - \end{block} - - \vfill - - \begin{columns}[c]<2-> - \begin{column}{.5\textwidth}<3-> - \begin{center} - \begin{tabu}to .8\textwidth{|X[c]|X[c]|X[c]|X} - \multicolumn{2}{l}{0} \\ \tabucline{1-1} - \alt<-4>{}{\textcolor{tumgreen}{$1/a$}} & \multicolumn{2}{l}{1} \\ \tabucline{1-2} - \alt<-4>{}{\textcolor{tumgreen}{$1/a$}} & & \multicolumn{2}{l}{2} \\ \tabucline{1-3} - \alt<-3>{}{\textcolor{tumred}{$\times$}} & \alt<-3>{}{\textcolor{tumred}{$\times$}}& \alt<-3>{} {\textcolor{tumred}{$\times$}}& 3 \\ \tabucline{1-3} - \end{tabu} - \end{center} - \end{column} - \begin{column}{.5\textwidth} - \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=2.5cm] - \useasboundingbox (-0.5, -0.5) rectangle (2, -2); - - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node<-5>[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - \node<-5>[state] (q2) [below of = q0] {$q_2$}; - \node<6>[state, fill=tumred!40] (q12) [right of = q0] {$q_{12}$}; - \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$}; - - \draw<-5>[->] (q0) edge node {$a$} (q1); - \draw<-5>[->] (q0) edge node {$b$} (q2); - \draw<-5>[->] (q1) edge node {$a,b$} (q3); - \draw<-5>[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3); - \draw[->] (q3) edge [loop right] node [above] {$a,b$} (q3); - - \draw<6>[->] (q12) edge node {$a,b$} (q3); - \draw<6>[->] (q0) edge node {$a,b$} (q12); - \end{tikzpicture} - \end{column} - \end{columns} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{aequivalentezustaende} +\showUnit{unterscheidbarezustande} +\showUnit{quotientenautomat} \end{document}
--- a/notes/tex/ue05_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue05_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,99 +1,14 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 5: Kontextfreie Sprachen} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Grammatiken} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Kontextfreie Grammatik] - Eine \alert{kontextfreie Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ ist ein 4-Tupel: - \begin{description} - \item[V] endlich viele \alert{Nichtterminale} (Variablen) - \item[$\Sigma$] ein Alphabet von \alert{Terminalen} - \item[P] endlich viele \alert{Produktionen} $\subseteq V \times \left( V \cup \Sigma \right)^*$ - \item[S] ein \alert{Startsymbol} - \end{description} - \end{definition} - - \begin{example}[Vorbereitung 3] - $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$. Grammatik für alle Wörter ungerader Länge, bei denen alle Nullen vor der ersten Eins stehen und weniger Nullen als Einsen vorhanden sind. - \pause - \[ - S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1 - \] - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Ableitungsrelation} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Ableitungsrelation] - Eine CFG $G$ induziert eine \alert{Ableitungsrelation} $\rightarrow_G$ auf Wörtern über $V \cup \Sigma$: - \[ - \alpha \rightarrow_G \beta - \] - gdw es eine Regel $A \rightarrow \gamma$ in $P$ mit Wörtern $\alpha_1, \alpha_2$ gibt, so dass - \[ - \alpha = \alpha_1\alert{A}\alpha_2 \quad \text{und} \quad \beta = \alpha_1 \alert{\gamma} \alpha_2 - \] - \end{definition} - - \begin{example}[Vorbereitung 3] - Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$: - \begin{align*} - S &\rightarrow_G 0S1 \rightarrow_G 00S11 \rightarrow_G 00S1111 \rightarrow_G 0011111 \\ - \Rightarrow S &\rightarrow_G^* 0011111 - \end{align*} - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame}[c] - \frametitle{Kontextfreie Sprache} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Kontextfreie Sprache] - Eine kontextfreie Grammatik $G = (V, \Sigma, P, S)$ \alert{erzeugt} die Sprache - \[ - L(G) := \left\{ w \in \Sigma^* \mid S \rightarrow_G^* w \right\} - \] - Eine Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ heißt \alert{kontextfrei} gdw es eine kontextfreie Grammatik $G$ gibt mit $L = L(G)$. - \end{definition} - -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Induktive Sprachdefinition} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{block}{Induktive Sprachdefinition} - Die \alert{induktive Definition} ($\Longrightarrow$) erzeugt Wörter \alert{bottom-up}, setzt also kleine Wörter zu größeren zusammen. - \end{block} - - \begin{example}[Vorbereitung 3] - Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$: - - \begin{align*} - 1 &\in L_G(S) \\ - u \in L_G(S) \quad \Longrightarrow \quad 0\alert{u}1 &\in L_G(S) \\ - u \in L_G(S) \quad \Longrightarrow \quad \alert{u}11 &\in L_G(S) - \end{align*} - - Also z.B: - - \[ - 1 \in L_G(S) \Longrightarrow 0\alert{1}0 \in L_G(S) \Longrightarrow \alert{010}11 \in L_G(S) - \] - \end{example} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{grammatik} +\showUnit{ableitung} +\showUnit{cfl} +\showUnit{induktivesprachdefinition} \end{document}
--- a/notes/tex/ue06_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue06_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,184 +1,14 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 6: CNF und CFL-Pumping Lemma} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{CNF} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Chomsky-Normalform] - Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form - \[ - A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC} - \] - haben. - \end{definition} - - \vfill - - \begin{theorem} - Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit - \[ - L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}} - \] - \end{theorem} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{CNF Konstruktion} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{block}{Idee} - Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. - \begin{enumerate} - \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen} - \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen} - \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale - \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$ - \end{enumerate} - \end{block} - - \vspace{1em} - - \only<2> { - Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen. - \begin{align*} - S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\ - \intertext{neu:} - S &\rightarrow \alert{b} \\ - A &\rightarrow \alert{aA \mid a} - \end{align*} - } - - \only<3> { - Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole. - \begin{align*} - S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\ - \intertext{neu:} - A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\ - S &\rightarrow \alert{a \mid bS} - \end{align*} - } - - \only<4> { - Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal. - \begin{align*} - S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\ - \intertext{neu:} - S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\ - X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b} - \end{align*} - } - - \only<5> { - Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$. - \begin{align*} - S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\ - \intertext{neu:} - S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\ - T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\ - \end{align*} - } -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Eigenschaften von Symbolen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition} - Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\ - Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist - \begin{description} - \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt} - \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ - \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$ - \end{description} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{theorem} - Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt. - \[ - S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b - \] - \end{theorem} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Pumping Lemma für CFLs} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{theorem}[Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen] - Sei $L \subseteq \Sigma^*$ kontextfrei. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in L$ mit $|z| \geq n$ so in \alert{$z = uvwxy$} zerlegen lässt, dass - \begin{itemize} - \item $vx \alert{\neq \epsilon}$ - \item $|vwx| \alert{\leq n}$ - \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iwx^iy \in L$ - \end{itemize} - \end{theorem} - - \vfill - - \begin{center} - \begin{columns} - \begin{column}{.4\textwidth} - \begin{tikzpicture} - \coordinate (outer) at (2, 2.4); - \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); - \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); - % outer - \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); - % middle - \draw[fill=tumgreen!40] (1.2, 0) -- (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (3.2, 0) -- (middle) -- (1.2, 0); - % inner - \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (1.7, 0); - - % path - \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle) -- (inner); - \draw[fill] (outer) circle (1pt); - \draw[fill] (middle) circle (1pt); - \draw[fill] (inner) circle (1pt); - - % nodes - \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; - \node[below] at (1.45, 0) {$v$}; - \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; - \node[below] at (2.95, 0) {$x$}; - \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; - \end{tikzpicture} - \end{column} - \begin{column}{.4\textwidth} - \begin{tikzpicture} - \coordinate (outer) at (2, 2.4); - \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); - \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); - % outer - \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); - % inner - \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0.6) -- (middle) -- (2.7, 0.6) -- (1.7, 0.6); - - % path - \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle); - \draw[fill] (outer) circle (1pt); - \draw[fill] (middle) circle (1pt); - - % nodes - \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; - \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; - \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; - \end{tikzpicture} - \end{column} - \end{columns} - \end{center} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{cnf} +\showUnit{cnfkonstruktion} +\showUnit{nuetzlichessymbol} +\showUnit{cfpl} \end{document}
--- a/notes/tex/ue07_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue07_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,183 +1,15 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 7: CYK und Kellerautomaten} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{CYK} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus] - Der \alert{CYK-Algorithmus} entscheidet das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform in $\Oh(n^3)$. \\ - Gegeben eine \alert{Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ in CNF und ein \alert{Wort} $w = a_1 \ldots a_n \in \Sigma^*$. - Mit \[ V_{ij} := \left\{ A \in V \mid A \rightarrow_G^* \alert{a_i \ldots a_j} \right\}\] - ist \[ w \in L(G) \Leftrightarrow S \in V_{\alert{1n}} \] - \end{definition} - - \begin{align*} - V_{ii} &= \left\{ A \in V \mid (A \rightarrow a_i) \in P \right\} \\ - V_{ij} &= \left\{ A \in V \mid \exists k, B \in V_{ik}, C \in V_{k+1,j} \;.\; (A \rightarrow BC) \in P \right\} - \end{align*} - -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{CYK} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{block}{Idee} - Kombiniere \alert{Teilwörter} zum ganzen Wort, wenn möglich. - \begin{enumerate} - \item Initialisiere mit den \alert{$V_{ii}$}. - \item<3-5> Befülle die Tabelle von unten nach oben. - \end{enumerate} - \end{block} - - \[ S \rightarrow AB \mid BC, \quad A \rightarrow BA \mid a, \quad B \rightarrow CC \mid b, \quad C \rightarrow AB \mid a \] - \begin{center} - \extrarowsep=5pt - \begin{tabu}to .8\textwidth{r|X[c]|X[c]|X[c]|X[c]|} - \tabucline{2-2} - 4 & \alt<-4>{}{$S,\ldots$} \\ \tabucline{2-3} - 3 & \alt<-3>{}{$\emptyset$} & \alt<-3>{}{$S, A, C$} \\ \tabucline{2-4} - 2 & \alt<-2>{}{$A$} & \alt<-2>{}{$B$} & \alt<-2>{}{$B$} \\ \tabucline{2-5} - 1 & \alt<-1>{}{$B$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} \\ \tabucline{2-5} - \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{1}{c}{\alert{b}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} \\ - \end{tabu} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Kellerautomaten} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Kellerautomat] - Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem - \begin{itemize} - \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$ - \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$ - \item endlichen \alert{Kelleralphabet} $\Gamma$ - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ - \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$ - \item \alert{Kellerinitialisierung} $Z_0 \in \Gamma$ - \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$ - \end{itemize} - \end{definition} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=4cm] - \node[state] (q0) {$q_i$}; - \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_j$}; - - \draw[every edge] (q0) edge node {$a, X/\gamma$} (q1); - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Kellerautomaten} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Kellerautomat] - Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem - \begin{itemize} - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{definition}[Akzeptanz] - Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit Endzustand} gdw - \[ \exists \alert{f \in F}, \gamma \in \Gamma^*.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (\alert{f}, \epsilon, \gamma) \] - Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit leerem Keller} gdw - \[ \exists q \in Q.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (q, \epsilon, \alert{\epsilon}) \] - \end{definition} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Kellerautomaten} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Kellerautomat] - Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem - \begin{itemize} - - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{example}[] - PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$. - - \centering - \begin{tikzpicture}[automaton] - - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - - \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1); - \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1); - - \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0); - \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0); - - \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1); - \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1); - \end{tikzpicture} - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Kontextfreie Sprachen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[node distance=3cm] - \node (CFG) {CFG}; - \node (CNF) [right of = CFG] {CNF}; - \node (PDAe) [right of = CNF] {PDA$_\epsilon$}; - \node (PDAf) [right of = PDAe] {PDA$_F$}; - - \draw [every edge, <->] (CFG) -- (CNF); - \draw [every edge, <->] (CNF) -- (PDAe); - \draw [every edge, <->] (PDAe) -- (PDAf); - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \pause - \vfill - - \begin{itemize} - \item \alert{Abschlusseigenschaften} - \end{itemize} - \begin{table} - \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|ccccc} - & Schnitt & Vereinigung & Komplement & Produkt & Stern \\ \tabucline{} - REG & ja & ja & ja & ja & ja\\ - CFL & nein & ja & nein & ja & ja - \end{tabu} - \end{table} - - \begin{itemize} - \item \alert{Entscheidbarkeit} - \end{itemize} - \begin{table} - \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|cccc} - & Wortproblem & Leerheit & Äquivalenz & Schnittproblem\\ \tabucline{} - DFA & $\Oh(n)$ & ja & ja & ja \\ - CFG & $\Oh(n^3)$ & ja & nein & nein - \end{tabu} - \end{table} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{cyk} +\showUnit{cykbeispiel} +\showUnit{pda} +\showUnit{pdaakzeptanz} +\showUnit{pdabeispiel} \end{document}
--- a/notes/tex/ue08_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue08_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,184 +1,13 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 8: Turingmaschinen} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Kellerautomat} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Kellerautomat] - Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem - \begin{itemize} - - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{example}[] - PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$. - - \centering - \begin{tikzpicture}[automaton] - - \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; - \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; - - \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1); - \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1); - - \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0); - \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0); - - \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1); - \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1); - \end{tikzpicture} - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Turingmaschinen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Turingmaschine] - Eine deterministische \alert{Turingmaschine (TM)} ist ein Tupel $M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, \square, F)$ aus einer/einem - \begin{itemize} - \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$ - \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$ - \item endlichen \alert{Bandalphabet} $\Gamma$ mit $\Sigma \subset \Gamma$ - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Gamma \to Q \times \Gamma \times \left\{ L, R, N \right\}$ - \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$ - \item \alert{Leerzeichen} $\square \in \Gamma \setminus \Sigma$ - \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$ - \end{itemize} - \end{definition} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Turingmaschinen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Turingmaschine] - Eine deterministische \alert{Turingmaschine (TM)} ist ein Tupel $M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, \square, F)$ aus einer/einem - \begin{itemize} - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Gamma \to Q \times \Gamma \times \left\{ L, R, N \right\}$ - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - % Tape - \begin{scope}[start chain, node distance=0] - \node[on chain] {\ldots}; - \node[tape] {$\square$}; - \node[tape] (l) {$\square$}; - \node[tape] {$0$}; - \node[tape] {$1$}; - \node<1>[tape, active] (a){$0$}; - \node<2>[tape] (a){$1$}; - \node<1>[tape] (b){$0$}; - \node<2>[tape, active] (b){$0$}; - \node[tape] {$\square$}; - \node[on chain] {\ldots}; - \end{scope} - - % Head - \node<1> [head,yshift=-4mm] at (a.south) (head) {$q_0$}; - \node<2> [head,yshift=-4mm] at (b.south) (head) {$q_1$}; - - % Machine - \node[machine, below=1.5cm of l] (machine) {Programm}; - \draw[every edge] (machine) .. controls (3.5, -2) .. (head.south); - - % Example-Transition - \node[yshift=5mm] at (current bounding box.north) {$\delta(q_0, 0) = (q_1, 1, R)$}; - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Turingmaschinen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Konfiguration] - Eine \alert{Konfiguration} ist ein Tripel $(\alpha, q, \beta) \in \Gamma^* \times Q \times \Gamma^*$. \\ - Dies modelliert eine TM mit: - \begin{itemize} - \item \alert{Bandinhalt} $\ldots\square\alpha\beta\square\ldots$ - \item \alert{Zustand} $q$ - \item Kopf auf dem \alert{ersten Zeichen} von $\beta\square$ - \end{itemize} - Die \alert{Startkonfiguration} bei Eingabe $w \in \Sigma^*$ ist $(\epsilon, q_0, w)$. - \end{definition} - - \vfill - - \only<1> { - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - % Tape - \begin{scope}[start chain, node distance=0] - \node[on chain] {\ldots}; - \node[tape] {$\square$}; - \node[tape] (l) {$\square$}; - \node[tape] {$0$}; - \node[tape] {$1$}; - \node[tape] (a){$1$}; - \node[tape, active] (b){$0$}; - \node[tape] {$\square$}; - \node[on chain] {\ldots}; - \end{scope} - - % Head - \node [head,yshift=-4mm] at (b.south) (head) {$q_1$}; - - % Machine - \node[below=1.5cm of l] (machine) {}; - \draw[every edge, dashed] (machine) .. controls (3.5, -2) .. (head.south); - - % Example-Transition - \node[yshift=5mm] at (current bounding box.north) {$(011,q_1,0)$}; - \end{tikzpicture} - \end{center} - } - - \only<2> { - \begin{definition}[Akzeptanz] - Eine TM $M$ \alert{akzeptiert} die Sprache - \[ L(M) = \left\{ w \in \Sigma^* \mid \exists \alert{f \in F}, \alpha, \beta \in \Gamma^* . (\epsilon, q_0, w) \rightarrow_M^* (\alpha, \alert{f}, \beta) \right\} \] - \end{definition} - } -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Nichtdeterministische TM} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Nichtdeterministische Turingmaschine] - Eine \alert{nichtdeterministische} Turingmaschine (TM) ist ein Tupel $M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, \square, F)$ aus einer/einem - \begin{itemize} - \item \ldots - \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Gamma \to \mathcal{P} \left( Q \times \Gamma \times \left\{ L, R, N \right\} \right)$ - \item \ldots - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{theorem} - Zu jeder nichtdeterministischen TM $N$ gibt es eine deterministische TM $M$ mit \alert{$L(N) = L(M)$}. - \end{theorem} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{tmdefinition} +\showUnit{tmvisualisierung} +\showUnit{ndtm} \end{document}
--- a/notes/tex/ue09_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue09_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,281 +1,21 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 9: Berechnungsmodelle} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame}[c] - \frametitle{Chomsky-Hierarchie} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[auto] - \tikzstyle{rect} = [thick]; - \tikzstyle{caption} = [align=left, anchor=north west]; - - \draw[rect, tumblue, fill=tumblue!10] (5.5, 0) rectangle (-5.5, 7) node[caption] {Berechenbare Funktionen}; - \draw[rect, dashed, tumred, fill=tumred!10] (4.5, 0.3) rectangle (-4.5, 6) node[caption] {Typ 0 - Rekursiv aufzählbar\\Turingmaschinen, $\lambda$-Kalkül}; - \draw[rect, tumivory, fill=tumivory!10] (3.5, 0.6) rectangle (-3.5, 4.8) node[caption] {Typ 1 - Kontextsensitiv\\CSG}; - \draw[rect, tumorange, fill=tumorange!10] (2.5, 0.9) rectangle (-2.5, 3.6) node[caption] {Typ 2 - Kontextfrei\\PDA, CFG}; - \draw[rect, tumgreen, fill=tumgreen!10] (1.5, 1.2) rectangle (-1.5, 2.4) node[caption] {Typ 3 - Regulär\\DFA, RE}; - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Berechenbarkeit} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Intuitive Berechenbarkeit] - Eine Funktion $f : \N^k \to \N$ heißt \alert{intuitiv berechenbar}, wenn es einen Algorithmus gibt, der bei Eingabe $(n_1, \ldots, n_k) \in \N^k$ - \begin{itemize} - \item nach \alert{endlich vielen Schritten} mit Ergebnis $f(n_1, \ldots, n_k)$ hält, falls $f(\ldots)$ definiert ist, - \item und \alert{nicht terminiert}, falls $f(\ldots)$ nicht definiert ist. - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{block}{Churchsche These (nicht beweisbar)} - Turing-Maschinen können genau \alert{alle} intuitiv berechenbaren Funktionen berechnen. - \end{block} -\end{frame} - -\begin{frame}[c] - \frametitle{Berechenbarkeit} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{example}[Berechenbarkeit] - Sind die folgenden Funktionen intuitiv berechenbar? - - \begin{align*} - f_1(n) &= \begin{cases} - 1 & \text{falls $n$ prim}\\ - 0 & \text{sonst} - \end{cases} \\ - f_2(n) &= \begin{cases} - 1 & \text{falls $n$ die ersten $n$ Ziffern von $\pi$ darstellt}\\ - 0 & \text{sonst} - \end{cases} \\ - f_3(n) &= \begin{cases} - 1 & \text{falls in $\pi$ $n$ Nullen am Stück vorkommen}\\ - 0 & \text{sonst} - \end{cases} - \end{align*} - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{LOOP-Programme} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[LOOP-Programm] - Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\ - Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. - \begin{align*} - P &\rightarrow X := X + C \\ - &\mid X := X - C \\ - &\mid P; P \\ - &\mid \mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END} \\ - &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} - \end{align*} - \end{definition} - - \begin{itemize} - \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. - \item $\mathbf{LOOP}\ x_i \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.} - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Primitive Rekursion} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Basisfunktionen] - \alert{Primitiv Rekursiv} sind: - \begin{itemize} - \item Die konstante Funktion \alert{0} - \item Die \alert{Nachfolgerfunktion} $s(n) = n + 1$ - \item Die \alert{Projektionsfunktion} $\pi_i^k : \N^k \to \N, i \in [k]$ - \[ \pi_i^k(x_1, \ldots, x_k) = x_i \] - \end{itemize} - \end{definition} - - \begin{definition}[Komposition] - Sind $g$ und $h_i$ PR und $\bar{x} = (x_1, \ldots, x_n)$, dann ist auch \alert{$f$} PR: - \[ f(\bar{x}) = \alert{g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))} \] - \end{definition} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Primitive Rekursion} - \setbeamercovered{dynamic} - \begin{block}{Basisfunktionen und Komposition} - Schon \alert{PR} sind: - \begin{itemize} - \item Konstante: $0$ - \item Nachfolger: $s(n) = n + 1$ - \item Projektion: $\pi_i^k : \N^k \to \N$ - \item Komposition: $f(\bar{x}) = g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))$ - \end{itemize} - \end{block} - - \begin{definition}[Primitive Rekursion] - Das Schema der \alert{primitiven Rekursion} erzeugt aus $g$ und $h$ die Funktion \alert{$f$}: - \begin{align*} - f(0, \bar{x}) &= g(\bar{x}) \\ - f(\alert{m + 1}, \bar{x}) &= h(f(\alert{m}, \bar{x}), \alert{m}, \bar{x}) - \end{align*} - \end{definition} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{PR-Programme} - \setbeamercovered{dynamic} - - U.a. diese Programme sind laut Vorlesung oder Übung PR: - \begin{itemize} - \item \alert{$add(x, y) = x + y$} - \item \alert{$mult(x, y) = x \cdot y$} - \item $pred(x) = \max \left\{ 0, x - 1 \right\}$ - \item \alert{$x \dot{-} y = \max \left\{ 0, x - y \right\}$} - \item $div(x, y) = x \div y$ (Ganzzahldivision) - \item $mod(x, y) = x \mod y$ - \vspace{1.5em} - \item $tower(n) = 2^{2^{2^{\iddots}}}$ mit $tower(4) = 2^{16}$ - \item $sqr(x) = x^2$ - \item $twopow(n) = 2^n$ - \item $ifthen(n, a, b) = \begin{cases} a & n \neq 0 \\ b & n = 0 \end{cases}$ - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Erweitertes PR-Schema} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema] - Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt - \begin{align*} - f(0, \bar{x}) &= t_0 \\ - f(m + 1, \bar{x}) &= t - \end{align*} - wobei - \begin{itemize} - \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$ - \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$. - \end{itemize} - \end{definition} - - \begin{theorem} - Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus. - \end{theorem} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Programmieren mit TMs} - \setbeamercovered{dynamic} - - Sind $f_1$ und $f_2$ Endzustände von $M$, so bezeichnet - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - \node (M) at (0, 0) {$M$}; - \node[above right=0.2cm and 1cm of M] (M1) {$M_1$}; - \node[below right=0.2cm and 1cm of M] (M2) {$M_2$}; - \coordinate[right of=M1] (M1s); - \coordinate[right of=M2] (M2s); - - \draw[every edge] (-1, 0) -- (M); - \draw[every edge] (M) -- node[above left] {$f_1$} (M1); - \draw[every edge] (M) -- node[below left] {$f_2$} (M2); - \draw[every edge] (M1) -- (M1s); - \draw[every edge] (M2) -- (M2s); - \end{tikzpicture} - \end{center} - eine \alert{Fallunterscheidung}.\\ - \begin{example}[Band=0?] - \begin{align*} - \delta(q_0, 0) &= (q_0, 0, R) \\ - \delta(q_0, \square) &= (ja, \square, L) \\ - \delta(q_0, a) &= (nein, a, N) \qquad \text{für} a \neq 0, \square - \end{align*} - \end{example} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{WHILE-Programme} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[WHILE-Programm] - Syntax von \alert{WHILE-Programmen}.\\ - Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. - \begin{align*} - P &\rightarrow X := X + C \\ - &\mid X := X - C \\ - &\mid P; P \\ - &\mid \alert{\mathbf{WHILE}\ X \neq 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}} \\ - &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}} \\ - &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} - \end{align*} - \end{definition} - - \begin{itemize} - \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. - \item Semantik wie erwartet. - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{GOTO-Programme} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[GOTO-Programm] - Syntax von \alert{GOTO-Programmen}.\\ - Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. \\ - Alle Anweisungen haben eine Markierung \alert{$M_1 : A_1; M_2 : A_2$}. - \begin{align*} - P &\rightarrow X := X + C \\ - &\mid X := X - C \\ - &\mid P; P \\ - &\mid \mathbf{GOTO}\ M_i \\ - &\mid \mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{GOTO}\ M_i \\ - &\mid \mathbf{HALT} - \end{align*} - \end{definition} - - \begin{itemize} - \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Übersetzungen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm] - \node (WH) {WHILE}; - \node (GO) [above left of = WH] {GOTO}; - \node (TM) [above right of = WH] {TM}; - \node (LO) [below of = WH] {LOOP}; - \node (PR) [left of = LO] {PR}; - - \draw [every edge, ->] (LO) -- (WH); - \draw [every edge, tumgreen, <->] (LO) -- (PR); - \draw [every edge, <->] (WH) -- (GO); - \draw [every edge, ->] (WH) -- (TM); - \draw [every edge, ->] (TM) -- (GO); - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \vfill - - LOOP kann in WHILE \alert{übersetzt} werden, WHILE ist also \alert{mindestens so mächtig} wie LOOP (sogar mächtiger). -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{chomsky} +\showUnit{berechenbarkeit} +\showUnit{berechenbarkeitbeispiel} +\showUnit{loop} +\showUnit{pr} +\showUnit{prrekursion} +\showUnit{prprogramme} +\showUnit{prerweitert} +\showUnit{tmif} +\showUnit{while} +\showUnit{goto} \end{document}
--- a/notes/tex/ue10_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue10_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,182 +1,17 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 10: $\mu$Rekursion, Entscheidbarkeit} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{LOOP-Programme} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[LOOP-Programm] - Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\ - Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. - \begin{align*} - P &\rightarrow X := X + C \\ - &\mid X := X - C \\ - &\mid P; P \\ - &\mid \mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END} \\ - &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} - \end{align*} - \end{definition} - - \begin{itemize} - \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. - \item $\mathbf{LOOP}\ x_i \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.} - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Erweitertes PR-Schema} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema] - Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt - \begin{align*} - f(0, \bar{x}) &= t_0 \\ - f(m + 1, \bar{x}) &= t - \end{align*} - wobei - \begin{itemize} - \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$ - \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$. - \end{itemize} - \end{definition} - - \begin{theorem} - Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus. - \end{theorem} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Beschränkte Operationen} - \setbeamercovered{dynamic} - \begin{definition} - Ein Prädikat $P$ ist \alert{PR}, wenn es eine PR Funktion $\hat{P}$ gibt mit - \[\hat{P}(x) = 1 \Longleftrightarrow P(x)\] - \end{definition} - - \begin{definition}[Beschränkte Operationen] - Ist $P$ PR, dann auch - \begin{itemize} - \item der \alert{beschränkte max-Operator} - \[\max \left\{ x \alert{\leq n} \mid P(x) \right\}, \quad \max \left\{ \emptyset \right\} = 0\] - \item der \alert{beschränkte Existenzquantor} - \[\exists x \alert{\leq n}. P(x)\] - \end{itemize} - \end{definition} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{$\mu$-Rekursion} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[$\mu$-Operator] - Sei $f: \N^{k+1} \to \N$ eine Funktion.\\Der \alert{$\mu$-Operator} definiert eine neue Funktion $\mu f : \N^k \to \N$: - \[(\mu f)(\bar{x}) := \begin{cases} \min \left\{ n \in \N \mid \alert{f (n, \bar{x}) = 0}\right\} & \text{falls } n \text{ existent\alert{$^*$}} \\ \perp & \text{sonst}\end{cases}\] - \end{definition} - - \vfill - - \begin{itemize} - \item \alert{$^*$}Für alle \alert{$m \leq n$} muss $f$ definiert sein: $f(m, \bar{x}) \neq \perp$ - \item PR + $\mu$ = $\mu$-Rekursion - \item In Pseudocode: - \begin{align*} - \mu f(\bar{x}) &= find(0, \bar{x}) \\ - find(n, \bar{x}) &= \mathbf{if}\ f(n, \bar{x}) = 0 \ \mathbf{then}\ n \ \mathbf{else}\ find(n+1, \bar{x}) - \end{align*} - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Übersetzungen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm] - \node (WH) {WHILE}; - \node (GO) [above left of = WH] {GOTO}; - \node (TM) [above right of = WH] {TM}; - \node (LO) [below of = WH] {LOOP}; - \node (PR) [left of = LO] {PR}; - \node (MR) [left of = WH] {$\mu$R}; - - \draw [every edge, ->] (LO) -- (WH); - \draw [every edge, ->] (PR) -- (MR); - \draw [every edge, tumgreen, <->] (LO) -- (PR); - \draw [every edge, tumgreen, <->] (WH) -- (MR); - \draw [every edge, <->] (WH) -- (GO); - \draw [every edge, ->] (WH) -- (TM); - \draw [every edge, ->] (TM) -- (GO); - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \vfill - - LOOP kann in WHILE \alert{übersetzt} werden, WHILE ist also \alert{mindestens so mächtig} wie LOOP (sogar mächtiger). -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Berechenbarkeit} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Intuitive Berechenbarkeit] - Eine Funktion $f : \N^k \to \N$ heißt \alert{intuitiv berechenbar}, wenn es einen Algorithmus gibt, der bei Eingabe $(n_1, \ldots, n_k) \in \N^k$ - \begin{itemize} - \item nach \alert{endlich vielen Schritten} mit Ergebnis $f(n_1, \ldots, n_k)$ hält, falls $f(\ldots)$ definiert ist, - \item und \alert{nicht terminiert}, falls $f(\ldots)$ nicht definiert ist. - \end{itemize} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{block}{Churchsche These (nicht beweisbar)} - Turing-Maschinen können genau \alert{alle} intuitiv berechenbaren Funktionen berechnen. - \end{block} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Entscheidbarkeit} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Entscheidbarkeit] - Eine Menge $A$ heißt \alert{entscheidbar} gdw ihre \alert{charakteristische Funktion} - \[ \chi_A(x) := \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ 0 & \text{falls } x \not \in A \end{cases} \] - berechenbar ist. - \end{definition} - - \begin{definition}[Semi-Entscheidbarkeit] - Eine Menge $A$ heißt \alert{semi-entscheidbar} gdw - \[ \chi'_A(x) := \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ \perp & \text{falls } x \not \in A \end{cases} \] - berechenbar ist. - \end{definition} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Reduzierbarkeit} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Reduzierbarkeit] - Eine Menge $A \subseteq \Sigma^*$ ist \alert{reduzierbar} auf eine Menge $B \subseteq \Gamma^*$ gdw es eine totale und berechenbare Funktion $f:\Sigma^* \to \Gamma^*$ gibt mit - \[\forall w \in \Sigma^*. w \in A \Longleftrightarrow f(w) \in B\] - Wir schreiben dann \alert{$A \leq B$}. - \end{definition} - - \vfill - - \structure{Intuition}: - \begin{itemize} - \item $B$ ist \alert{mindestens so schwer} zu lösen wie $A$ - \item Ist $A$ unlösbar, dann auch $B$. - \item Ist $B$ unlösbar, dann erst recht $A$. - \end{itemize} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{loop} +\showUnit{prerweitert} +\showUnit{prmax} +\showUnit{murekursion} +\showUnit{berechenbarkeit} +\showUnit{entscheidbarkeit} +\showUnit{breduktion} \end{document}
--- a/notes/tex/ue11_notes.tex Thu Jul 11 21:57:50 2013 +0200 +++ b/notes/tex/ue11_notes.tex Thu Jul 11 22:06:26 2013 +0200 @@ -1,215 +1,16 @@ \input{preamble.tex} +\input{frames.tex} \title{Übung 11: Aussagen über TMs und PCP} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} - -\begin{frame} - \titlepage -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Spezielles Halteproblem} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Spezielles Halteproblem] - Gegeben ein \structure{Wort} $w \in \left\{ 0, 1 \right\}^*$.\\ - Hält \alert{$M_w$} bei Eingabe \alert{$w$}? - \[\alert{K} := \left\{ w \mid M_w[w]\downarrow \right\}\] - \end{definition} - - \begin{theorem}[] - Das spezielle Halteproblem ist \alert{nicht entscheidbar}. - \end{theorem} - - \vfill - - \begin{itemize} - \item Hält eine Turingmaschine mit sich selbst als Eingabe? - \item $w$ ist die \structure{Gödelisierung} von $M_w$. - \item $K$ ist semi-entscheidbar, $\overline{K}$ \alert{nicht}. - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Allgemeines Halteproblem} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Allgemeines Halteproblem] - Gegeben \structure{Wörter} $w, x \in \left\{ 0, 1 \right\}^*$.\\ - Hält \alert{$M_w$} bei Eingabe \alert{$x$}? - \[\alert{H} := \left\{ w\#x \mid M_w[x]\downarrow \right\}\] - \end{definition} - - \begin{theorem}[] - Das allgemeine Halteproblem ist \alert{nicht entscheidbar}. - \end{theorem} - - \vfill - - \begin{itemize} - \item Es ist $K \leq H$. Warum? - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Rekursive Aufzählbarkeit} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Rekursiv aufzählbar] - Eine Menge $A$ heißt \alert{rekursiv aufzählbar} wenn $A = \emptyset$ oder es eine \alert{berechenbare} totale Funktion $f : \N \to A$ gibt, so dass - \[A = \left\{ f(0), f(1), \ldots \right\} = \bigcup_{n \in \N} \left\{ f(n) \right\}\] - \end{definition} - - \vfill - - \structure{Äquivalent:} - \begin{itemize} - \item $A$ rekursiv aufzählbar - \item $A$ semi-entscheidbar, also $\chi'_A$ berechenbar - \item $A=L(M)$ für eine TM $M$ - \item $A$ ist Bild oder Urbild einer berechenbaren Funktion - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{Satz von Rice} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{theorem}[Rice] - Sei $F$ eine Menge berechenbarer Funktionen.\\ - Sei weder $F = \emptyset$ noch $F = \text{alle ber. Funktionen}$ (\alert{$F$ nicht trivial}).\\ - Dann ist \alert{unentscheidbar}, ob die von einer gegebenen TM $M_w$ berechnete Funktion in $F$ ist, also ob \alert{$\varphi_w \in F$}. - \end{theorem} - - \begin{itemize} - \item Nicht-triviale \alert{semantische} Eigenschaften von Programmen sind unentscheidbar. - \item \alert{Termination} ist unentscheidbar. - \end{itemize} - - \vfill - - \structure{Rice-Shapiro:} - \begin{itemize} - \item Termination ist nicht semi-entscheidbar. - \item Nicht-Termination ist nicht semi-entscheidbar. - \end{itemize} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{PCP} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{definition}[Postsches Korrespondenzproblem] - Gegeben \structure{endliche Folge} $(x_1, y_1), \ldots, (x_k, y_k)$ mit $x_i, y_i \in \Sigma^+$.\\ - Gibt es eine \alert{Folge von Indizes} $i_1, \ldots, i_n \in \left\{ 1, \ldots, k \right\}$ mit \alert{\[x_{i_1}, \ldots, x_{i_n} = y_{i_1}, \ldots, y_{i_n}\]} - \end{definition} - - \vfill - - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - \begin{scope}[start chain, node distance=2em] - \node[tape, active] {\pcp{$x_i$}{$y_i$}}; - \node[tape] (a) {\pcp{$001$}{$00$}}; - \node[tape] (b) {\pcp{$10$}{$11$}}; - \node[tape] (c) {\pcp{$1$}{$01$}}; - \end{scope} - \node[below of=a] {$1$}; - \node[below of=b] {$2$}; - \node[below of=c] {$3$}; - \end{tikzpicture} - \end{center} - - \vfill - - \begin{theorem}[] - Das PCP ist \alert{unentscheidbar}, aber semi-entscheidbar. - \end{theorem} -\end{frame} - -\begin{frame} - \frametitle{PCP lösen} - \setbeamercovered{dynamic} - - \begin{block}{Idee} - \alert{Mögliche Lösungen} aufzählen, richtige Lösungen identifizieren - \end{block} - - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - \begin{scope}[start chain, node distance=2em] - \node[tape, active] {\pcp{$x_i$}{$y_i$}}; - \node[tape] (a) {\pcp{$001$}{$00$}}; - \node[tape] (b) {\pcp{$01$}{$10$}}; - \node[tape] (c) {\pcp{$1$}{$11$}}; - \end{scope} - \node[below of=a] {$1$}; - \node[below of=b] {$2$}; - \node[below of=c] {$3$}; - \end{tikzpicture} - - \vspace{2em} - - \begin{tikzpicture}[grow=right, level distance = 2cm] - \tikzstyle{every node} = [] - \tikzstyle{residual} = [rectangular, thin, fill=tumgreen!10, font=\scriptsize] - \tikzstyle{edge from parent} = [every edge] - - \tikzstyle{level 1} = [sibling distance = 1.7cm] - \tikzstyle{level 2} = [sibling distance = 1.1cm] - - \node[residual] {} - child { - node[residual] {\pcp{$1$}{}} - child { - node[residual] {\pcp{$1$}{}} - child { - node[residual] {\pcp{$1$}{}} - child { - node[residual]{$\ldots$} - edge from parent - } - edge from parent - node[below] {$2$} - } - child { - node[residual, active] {\pcp{}{}} - edge from parent - node[above] {$3$} - } - edge from parent - node[below] {$2$} - } - child { - node[residual, active] {\pcp{}{}} - edge from parent - node[above] {$3$} - } - edge from parent - node[below] {$1$} - } - child { - node[residual]{\pcp{}{$1$}} - child { - node[residual]{\pcp{}{$11$}} - child { - node[residual]{$\ldots$} - edge from parent - node[above] {$3$} - } - edge from parent - node[above] {$3$} - } - edge from parent - node[above] {$3$} - }; - - \uncover<2>{\node at (10cm, 0) {$L = \left\{ (12^*3)^+ \right\}$};} - \end{tikzpicture} - \end{center} -\end{frame} - +\showUnit{titel} +\showUnit{spezielleshalteproblem} +\showUnit{halteproblem} +\showUnit{aufzaehlbarkeit} +\showUnit{rice} +\showUnit{pcp} +\showUnit{pcpbeispiel} \end{document}