\defineUnit{zaehlen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Faktorielle}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Fakultät]
        Die \structure{Fakultät $n!$} einer natürlichen Zahl $n \in \N_0$ ist
        \[ n! \defeq \prod_{i=1}^n i = n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 1 \]
        mit $0! \defeq 1$.
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{definition}[Steigende und fallende Faktorielle]
        Für $n, m \in \N_0$ mit $m \leq n$ ist
        {
            \setlength{\belowdisplayskip}{0pt}
            \begin{align}
                n^{\underline m} &\defeq \frac{n!}{(n-m)!} \tag{\structure{fallende Faktorielle}}\\
                &= n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - m + 1) \\
                \intertext{\vspace{1em}}
                n^{\overline m} &\defeq \frac{(n+m-1)!}{(n-1)!} \tag{\structure{steigende Faktorielle}}\\
                &= n \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot (n + m - 1)
            \end{align}
        }
    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Binomialkoeffizient}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Binomialkoeffizient]
        Der \structure{Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$} gibt die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge an.
        \begin{align}
            \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n^{\underline k}}{k!}
        \end{align}
        Man sagt \structure{n über k} oder \structure{k aus n}.
    \end{definition}
    \begin{itemize}
        \item $\binom{n}{k}$ viele Möglichkeiten, $k$ Elemente aus $n$ Elementen zu wählen
        \item Rekursive Definition (hier nicht gezeigt)
    \end{itemize}

    \vfill

    \begin{example}[]
        Forrest hat eine Schachtel mit 10 verschiedenen Pralinen.\\ Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 davon zu essen?
        \begin{itemize}
            \item $\binom{10}{4} = 210$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Multimengen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Multimenge]
        \structure{Multimengen} sind eine Verallgemeinerung gewöhnlicher Mengen.\\
        Elemente können nun mehrfach vorkommen, die Reihenfolge spielt weiterhin keine Rolle.\\
        Sie werden meist auch mit $\left\{ \cdot \right\}$ notiert, alternativ $\{\!\vert \cdot \vert\!\}$.
    \end{definition}

    \begin{theorem}[Anzahl von Multiteilmengen]
        Eine \structure{$k$-Multiteilmenge} von $M$ mit $\abs{M} = n$ ist eine Multimenge, die $k$ (nicht unbedingt verschiedene) Elemente aus $M$ enthält.\\
        Es gibt
        \begin{align}
            \structure{\binom{k + n - 1}{k}} = \binom{k + n - 1}{n - 1}
        \end{align}
        solche Multiteilmengen.
    \end{theorem}

    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $M \defeq \left\{ 1, 2, 2, 2, 3 \right\} = \left\{ 2, 1, 2, 3, 2 \right\} \qquad \abs{M} = 5$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{doppeltesabzaehlen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Doppeltes Abzählen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Doppeltes Abzählen}
        Ermittelt man die \structure{Mächtigkeit} einer Menge auf zwei Arten, so müssen beide Ergebnisse \structure{übereinstimmen}.\\
        Eine so ermittelte Gleichung kann die gesuchte Mächtigkeit festlegen.
    \end{block}

    \begin{example}[Matrizen]
        In einer Matrix müssen Zeilensummen und Spaltensummen übereinstimmen.
    \end{example}

    \begin{example}[Studenten]
        In einer Vorlesung sitzen \structure{64 Studenten} und \alert{n Studentinnen}.\\
        Jeder Student kennt genau \structure{5} Studentinnen und jede Studentin \alert{8}~Studenten.
        Wenn \enquote{bekannt sein} symmetrisch ist, wie viele Studentinnen besuchen die Vorlesung?
        {
            \setlength{\belowdisplayskip}{0pt}
            \begin{align}
                \structure{64 \cdot 5} &= \alert{n \cdot 8}\\
                n &= \frac{64 \cdot 5}{8} = 40
            \end{align}
        }
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{schubfachprinzip}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Schubfachprinzip}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Schubfachprinzip]
        Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung und $\abs{X} > \abs{Y}$.\\
        Dann gilt
        \begin{align}
            \exists y \in Y.\, \abs{f^{-1}(y)} \geq \alert{2}
        \end{align}
        Wenn man \structure{n} Elemente auf \structure{m < m} Fächer verteilt, dann gibt es \structure{mindestens ein Fach}, das mindestens \structure{2} Elemente enthält.
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{definition}[Verallgemeinertes Schubfachprinzip]
        Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung und $\abs{X} > \abs{Y}$.\\
        Dann gilt
        \begin{align}
            \exists y \in Y.\, \abs{f^{-1}(y)} \geq \alert{\left \lceil \frac{\abs{X}}{\abs{Y}}\right \rceil}
        \end{align}
        Wenn man \structure{n} Elemente auf \structure{m < m} Fächer verteilt, dann gibt es \structure{mindestens ein Fach}, das mindestens \structure{$\left\lceil\frac{\abs{X}}{\abs{Y}} \right\rceil$} Elemente enthält.
    \end{definition}
\end{frame}
}
