\defineUnit{mengen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Mengen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Menge]
        Eine \structure{Menge} ist eine \alert{ungeordnete} Sammlung \alert{unterscheidbarer} Objekte.\\
        Mit \structure{Mengenklammern} werden Objekte zusammengefasst.
        \[ A := \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \]
        Man nennt $a$ ein \structure{Element} von $A$, es gilt $a \in A$.
    \end{definition}

    \begin{itemize}
        \item Reihenfolge ist egal
        \item Elemente kommen nicht mehrfach vor
    \end{itemize}

    \vfill

    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $\left\{ a, b, c, a, c \right\} = \left\{ a, b, c \right\} = \left\{ c, a, b \right\}$
            \item $\N := \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$
            \item $\emptyset := \left\{  \right\}$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Schreibweisen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Extensionale Schreibweise]
        Die \structure{extensionale Schreibweise} einer Menge zählt ihre Elemente auf.
        \[ M := \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \]
    \end{definition}
    \vfill
    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$
            \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
            \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Schreibweisen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Intensionale Schreibweise]
        Die \structure{intensionale Schreibweise} beschreibt eine Menge durch charakteristische Eigenschaften.
        \[ M := \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \]
        $M$ enthält alle Elemente im \structure{Universum} $\Omega$ mit der Eigenschaft $P$.
    \end{definition}
    \vfill
    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$
            \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$
            \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{mengenoperationen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Mengenoperationen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Bezeichnungen}
        \begin{itemize}
            \item Objekte in Mengen
                \begin{description}[\qquad\qquad]
                    \item[$a \in A$] $a$ ist Element von $A$
                    \item[$b \not\in A$] $b$ ist kein Element von $A$
                \end{description}
            \item Relationen zwischen Mengen
                \begin{description}[\qquad\qquad]
                    \item[$B \subseteq A$] $B$ ist Teilmenge von $A$, \quad $x \in B \Rightarrow x \in A$
                    \item[$B \subset A$] $B$ ist echte Teilmenge von $A$
                    \item[$B = A$] $B \subseteq A$ und $A \subseteq B$
                \end{description}
        \end{itemize}
    \end{block}

    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $1 \in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $9 \not\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
            \item $\left\{ 1, 2 \right\} \subseteq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $\left\{ 1, 5 \right\} \not\subseteq \left\{ 1, 2 \right\}$
            \item $\emptyset \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Mengenoperationen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Operationen}
        \begin{description}[\qquad\qquad]
            \item[$\setnot{A}$] $:= \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement}
            \item[$A \cup B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung}
            \item[$A \cap B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt}
            \item[$A \setminus B$] $:= A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz}
            \item[$A \setsymdiff B$] $:= \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz}
        \end{description}
    \end{block}
    \vill
    Für mehrere Mengen schreibt man:
    \begin{align}
        \bigcap_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\
        \bigcup_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n
    \end{align}
\end{frame}
}

\defineUnit{potenzmenge}{%
content
}

\defineUnit{tupel}{%
content
}
