\defineUnit{mengen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Mengen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Menge]
        Eine \structure{Menge} ist eine \alert{ungeordnete} Sammlung \alert{unterscheidbarer} Objekte.\\
        Mit \structure{Mengenklammern} werden Objekte zusammengefasst.
        \[ A \defeq \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \]
        Man nennt $a$ ein \structure{Element} von $A$, es gilt $a \in A$.
    \end{definition}

    \begin{itemize}
        \item Reihenfolge ist \alert{egal}
        \item Elemente kommen \alert{nicht} mehrfach vor
    \end{itemize}

    \vfill

    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $\left\{ a, b, c, a, c \right\} = \left\{ a, b, c \right\} = \left\{ c, a, b \right\}$
            \item $\N \defeq \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$
            \item $\emptyset \defeq \left\{  \right\}$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Schreibweisen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Extensionale Schreibweise]
        Die \structure{extensionale Schreibweise} einer Menge zählt ihre Elemente auf.
        \[ M \defeq \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \]
    \end{definition}
    \vfill
    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $A \defeq \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$
            \item $B \defeq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ = [4]
            \item $C \defeq \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$
            \item $D \defeq \left\{ \alpha, a, \smiley, 8, \left\{ 1, 2 \right\}, \N \right\}$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Schreibweisen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Intensionale Schreibweise]
        Die \structure{intensionale Schreibweise} beschreibt eine Menge durch charakteristische Eigenschaften.
        \[ M \defeq \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \]
        $M$ enthält alle Elemente im \structure{Universum} $\Omega$ mit der Eigenschaft $P$.
    \end{definition}
    \vfill
    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $A \defeq \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$
            \item $B \defeq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$
            \item $C \defeq \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{mengenoperationen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Mengenoperationen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Bezeichnungen}
        \begin{itemize}
            \item Objekte in Mengen
                \begin{description}[\qquad\qquad]
                    \item[$a \in A$] $a$ ist Element von $A$
                    \item[$b \not\in A$] $b$ ist kein Element von $A$
                    \item[$\abs{A}$] Anzahl der Elemente in $A$, Kardinalität
                \end{description}
            \item Relationen zwischen Mengen
                \begin{description}[\qquad\qquad]
                    \item[$B \subseteq A$] $B$ ist Teilmenge von $A$, \quad $x \in B \Rightarrow x \in A$
                    \item[$B \subset A$] $B$ ist echte Teilmenge von $A$
                    \item[$B = A$] $B \subseteq A$ und $A \subseteq B$
                \end{description}
        \end{itemize}
    \end{block}

    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $1 \in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $9 \not\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
            \item $\left\{ 1, 2 \right\} \subseteq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $\left\{ 1, 5 \right\} \not\subseteq \left\{ 1, 2 \right\}$
            \item $\emptyset \subseteq [5] \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Mengenoperationen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Operationen}
        \begin{description}[\qquad\qquad]
            \item[$\setnot{A}$] $\defeq \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement}
            \item[$A \cup B$] $\defeq \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung}
            \item[$A \cap B$] $\defeq \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt}
            \item[$A \setminus B$] $\defeq A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz}
            \item[$A \setsymdiff B$] $\defeq \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz}
        \end{description}
    \end{block}
    \vill
    Für mehrere Mengen schreibt man
    \begin{align}
        \bigcap_{i=1}^n A_i &\defeq A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\
        \bigcup_{i=1}^n A_i &\defeq A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n
    \end{align}
\end{frame}
}

\defineUnit{venn}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Venn-Diagramme}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \structure{Venn-Diagramme} visualisieren Mengen $A, B, \ldots$ im Universum $\Omega$.

    {
        \def\universe{(-1.5, -1.25) rectangle (2.5, 1.25) node[anchor=north east, black] {$\Omega$}}
        \def\first{(0, 0) circle (1)}
        \def\second{(1, 0) circle (1)}
        \tikzstyle{universe} = [draw, thick, tumblue, fill=tumlightblue!15]
        \tikzstyle{inset} = [fill=tumred!35]
        \tikzstyle{outline} = [draw, thick, black]
        \begin{columns}
            \begin{column}{.5\textwidth}
                \begin{itemize}
                    \item $A \cup B$
                        \begin{figure}
                            \begin{tikzpicture}
                                \draw[universe] \universe;
                                \fill[inset] \first;
                                \fill[inset] \second;
                                \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
                                \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
                            \end{tikzpicture}
                        \end{figure}
                    \item $A \setminus B$
                        \begin{figure}
                            \begin{tikzpicture}
                                \draw[universe] \universe;
                                \begin{scope}
                                    \clip \first;
                                    \fill[inset, even odd rule] \first \second;
                                \end{scope}
                                \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
                                \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
                            \end{tikzpicture}
                        \end{figure}
                \end{itemize}
            \end{column}
            \begin{column}{.5\textwidth}
                \begin{itemize}
                    \item $A \cap B$
                        \begin{figure}
                            \begin{tikzpicture}
                                \draw[universe] \universe;
                                \begin{scope}
                                    \clip \first;
                                    \fill[inset] \second;
                                \end{scope}
                                \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
                                \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
                            \end{tikzpicture}
                        \end{figure}
                    \item $A \setsymdiff B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$
                        \begin{figure}
                            \begin{tikzpicture}
                                \draw[universe] \universe;
                                \fill[inset, even odd rule] \first \second;
                                \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
                                \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
                            \end{tikzpicture}
                        \end{figure}
                \end{itemize}
            \end{column}
        \end{columns}
    }
\end{frame}
}

\defineUnit{mengenrechenregeln}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Rechnen mit Mengen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{theorem}[De Morgansche Gesetze]
        Sind $A, B$ Mengen, dann gilt
        \begin{alignat}{2}
            \setnot{A \cup B} &= \setnot{A} \cap \setnot{B} \qquad\qquad& \setnot{A \cap B} &= \setnot{A} \cup \setnot{B}\\
            \intertext{Für Mengen $A_i$ gilt}
            \setnot{\bigcup_{i=1}^nA_i} &= \bigcap_{i=1}^n\setnot{A_i} & \setnot{\bigcap_{i=1}^nA_i} &= \bigcup_{i=1}^n\setnot{A_i} & 
        \end{alignat}
    \end{theorem}

    \vfill

    \begin{itemize}
        \item Zusammen mit $\setnot{\setnot{A}} = A$ wichtigste Regel
        \item Gilt auch in der Aussagenlogik
    \end{itemize}
\end{frame}
}

\defineUnit{potenzmenge}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Potenzmenge}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Potenzmenge]
        Die \structure{Potenzmenge} $\powerset{M}$ zu einer Menge $M$ ist die Menge all ihrer Teilmengen.
        \[ \powerset{M} \defeq \left\{ X \mid X \subseteq M \right\} \]
    \end{definition}

    \begin{itemize}
        \item $\powerset{M}$ enthält für endliche Mengen genau $2^{\abs{M}}$ Elemente
        \item Man schreibt deshalb auch $2^M$
        \item Es ist $M \in \powerset{M}$ und $\emptyset \in \powerset{M}$
    \end{itemize}

    \vfill

    \begin{example}[]
        Für $M = \left\{ a, b, c \right\}$ ist
        \[ \powerset{M} = \left\{ 
            \emptyset,
            \left\{ a \right\},
            \left\{ b \right\},
            \left\{ c \right\},
            \left\{ a, b \right\},
            \left\{ a, c \right\},
            \left\{ b, c \right\},
            \left\{ a, b, c \right\}
        \right\} \]
        mit $\abs{\powerset{M}} = 2^3 = 8$
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{tupel}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Tupel}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Tupel]
        Ein \structure{$n$-Tupel} ist eine \alert{geordnete} Sammlung $n$ \alert{beliebiger} Objekte.\\
        Mit \structure{Tupelklammern} werden Objekte zusammengefasst.
        \[ T \defeq \left( t_1, t_2, \ldots, t_n \right)\]
    \end{definition}

    \begin{itemize}
        \item Reihenfolge \alert{nicht} egal
        \item Elemente \alert{dürfen} mehrmals vorkommen
    \end{itemize}

    \vfill

    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item \left( a, b, c \right) \neq \left( c, a, b \right) \neq $\left( a, b, c, a, c \right)$
            \item $\left( 1, 2, 3 \right) \neq \left\{ 3, 2, 1 \right\} = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$
            \item $\left( \left\{ \alpha, \beta \right\}, \emptyset, \N \right)$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Kreuzprodukt}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Kreuzprodukt]
        Sind $A, B$ Mengen, dann ist ihr \structure{kartesisches Produkt} (Kreuzprodukt)
        \begin{align}
            A \times B &\defeq \left\{ \left( a, b \right) \mid a \in A, b \in B \right\}\\
            \intertext{Für Mengen $A_i$ ist}
            A_1 \times \ldots \times A_n &\defeq \left\{ \left(a_1, \ldots, a_n\right) \mid a_1 \in A_1, \ldots, a_n \in A_n \right\}
        \end{align}
    \end{definition}

    \begin{itemize}
        \item Für endliche $A_i$ ist $\abs{A_1 \times \ldots \times A_n} = \abs{A_1} \cdot \ldots \cdot \abs{A_n}$
        \item Man schreibt \structure{$A^n \defeq \underbracket[0.5pt]{A \times \ldots \times A}_{\text{n mal}}$} mit $A^0 = \left\{ \emptyset \right\}$
    \end{itemize}

    \vfill

    \begin{example}[]
        \begin{itemize}
            \item $\left\{ 1, 2 \right\} \times \left\{ a, b \right\} = \left\{ (1, a), (2, a), (1, b), (2, b) \right\}$
            \item $\left\{ \alpha, \beta \right\}^2 = \left\{ (\alpha, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, \alpha), (\beta, \beta) \right\}$
        \end{itemize}
    \end{example}
\end{frame}
}
