# HG changeset patch # User Markus Kaiser # Date 1384212895 -3600 # Node ID 099613ee2f37e2ae65e1014a92bbd3619f4bf469 # Parent b83150706135ae2fd0113f934ce103abc55087c8 fourth slides and sheet diff -r b83150706135 -r 099613ee2f37 ds13-04.pdf Binary file ds13-04.pdf has changed diff -r b83150706135 -r 099613ee2f37 notes/tex/basics.tex --- a/notes/tex/basics.tex Tue Nov 12 00:34:37 2013 +0100 +++ b/notes/tex/basics.tex Tue Nov 12 00:34:55 2013 +0100 @@ -791,3 +791,303 @@ \end{frame} } + +\defineUnit{aussagenlogikaequivalenzen}{% +{ + \newcommand{\true}{1} + \newcommand{\false}{0} + \newcommand{\spc}{\hspace{3em}} + \newcommand{\F}{F} + \newcommand{\G}{G} + \newcommand{\K}{H} + + \begin{frame} + \frametitle{Äquivalenzregeln} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{description}[Triviale Kontradiktion\quad] + \item[Identität] $\F \wedge \true \equiv \F \spc \F \vee \false \equiv \F$ + \item[Dominanz] $\F \vee \true \equiv \true \spc \F \wedge \false \equiv \F$ + \item[Idempotenz] $\F \vee \F \equiv \F \spc \F \wedge \F \equiv \F$ + \item[Doppelte Negation] $\neg \neg \F \equiv \F$ + \item[Triviale Tautologie] $\F \vee \neg \F \equiv \true$ + \item[Triviale Kontradiktion] $\F \wedge \neg \F \equiv \false$ + \bigskip + \item[Kommutativität] $\F \vee \G \equiv \G \vee \F$\\ + $\F \wedge \G \equiv \G \wedge \F$ + \item[Assoziativität] $(\F \vee \G) \vee \K \equiv \F \vee (\G \vee \K)$\\ + $(\F \wedge \G) \wedge \K \equiv \F \wedge (\G \wedge \K)$ + \item[Distributivität] $\F \vee (\G \wedge \K) \equiv (\F \vee \G) \wedge (\F \vee \K)$\\ + $\F \wedge (\G \vee \K) \equiv (\F \wedge \G) \vee (\F \wedge \K)$ + \item[De Morgan] $\neg(\F \wedge \G) \equiv \neg \F \vee \neg \G$\\ + $\neg(\F \vee \G) \equiv \neg\F \wedge \neg\G$ + \bigskip + \item[Implikation] $\F \rightarrow \G \equiv \neg \F \vee \G$ + \item[Bikonditional] $\F \leftrightarrow \G \equiv (\F \rightarrow \G) \wedge (\G \rightarrow \F)$ + \end{description} + \end{frame} + + %\begin{frame} + %\frametitle{Äquivalenzregeln} + %\setbeamercovered{dynamic} + + %\vspace{-2em} + %\begin{align} + %\F \wedge \true &\equiv \F \spc \F \vee \false \equiv \F \tag{\structure{Identität}}\\ + %\F \vee \true &\equiv \true \spc \F \wedge \false \equiv \F \tag{\structure{Dominanz}}\\ + %\F \vee \F &\equiv \F \spc \F \wedge \F \equiv \F \tag{\structure{Idempotenz}}\\ + %\neg \neg \F &\equiv \F \tag{\structure{Doppelte Negation}}\\ + %\F \vee \neg \F &\equiv \true \tag{\structure{Triviale Tautologie}}\\ + %\F \wedge \neg \F &\equiv \false \tag{\structure{Triviale Kontradiktion}}\\ + %\bigskip + %\F \vee \G &\equiv \G \vee \F \tag{\structure{Kommutativität}}\\ + %\F \wedge \G &\equiv \G \wedge \F\\ + %(\F \vee \G) \vee \K &\equiv \F \vee (\G \vee \K) \tag{\structure{Assoziativität}}\\ + %(\F \wedge \G) \wedge \K &\equiv \F \wedge (\G \wedge \K)\\ + %\F \vee (\G \wedge \K) &\equiv (\F \vee \G) \wedge (\F \vee \K) \tag{\structure{Distributivität}}\\ + %\F \wedge (\G \vee \K) &\equiv (\F \wedge \G) \vee (\F \wedge \K)\\ + %\neg(\F \wedge \G) &\equiv \neg \F \vee \neg \G \tag{\structure{De Morgan}}\\ + %\neg(\F \vee \G) &\equiv \neg\F \wedge \neg\G\\ + %\bigskip + %\F \rightarrow \G &\equiv \neg \F \vee \G \tag{\structure{Implikation}}\\ + %\F \leftrightarrow \G &\equiv (\F \rightarrow \G) \wedge (\G \rightarrow \F) \tag{\structure{Bikonditional}}\\ + %\end{align} + %\end{frame} +} +} + +\defineUnit{aussagenlogiknormalformen}{% +\begin{frame}[c] + \frametitle{Literale und Klauseln} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Literal] + Ein \structure{Literal} ist eine Variable $v \in V$ oder die Negation $\neg v$ einer Variable. + \end{definition} + + \begin{definition}[Klausel] + Eine \structure{Klausel} verknüpft mehrere Literale mit einem assoziativen Operator. + \end{definition} + + \vfill + + \begin{example}[] + Seien $a, \neg b, c$ Literale. Dann sind + \begin{itemize} + \item $a \wedge \neg b \wedge c$ + \item $a \vee \neg b \vee c$ + \end{itemize} + Klauseln. + \end{example} +\end{frame} + +{ + \newcommand{\klausel}[2]{\underbracket{(##2)}_{\text{##1-Klausel}}} + \begin{frame} + \frametitle{DNF} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Disjunktive Normalform] + Eine \structure{DNF-Klausel} ist eine Konjunktion von Literalen $L_i$.\\ + Eine Formel $F$, ist in \structure{Disjunktiver Normalform}, wenn sie eine Disjunktion von DNF-Klauseln ist. + \[ F \defeq \bigvee \bigwedge_i L_i \] + \end{definition} + \begin{itemize} + \item Ausnahme: $\textrm{false}$ ist auch in DNF + \end{itemize} + + \begin{example}[] + $F$ ist in DNF. + \[ F \defeq \klausel{DNF}{a \structure{\wedge} b \structure{\wedge} \neg c} \alert{\vee} \klausel{DNF}{\neg b \structure{\wedge} c} \alert{\vee} \klausel{DNF}{\neg a \structure{\wedge} b \structure{\wedge} \neg c} \] + \end{example} + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{KNF} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[Konjunktive Normalform] + Eine \structure{KNF-Klausel} ist eine Disjunktion von Literalen $L_i$.\\ + Eine Formel $F$, ist in \structure{Konjunktiver Normalform}, wenn sie eine Konjunktion von KNF-Klauseln ist. + \[ F \defeq \bigwedge \bigvee_i L_i \] + \end{definition} + \begin{itemize} + \item Ausnahme: $\textrm{true}$ ist auch in KNF + \end{itemize} + + \begin{example}[] + $F$ ist in KNF. + \[ F \defeq \klausel{KNF}{\neg a \alert{\vee} b} \structure{\wedge} \klausel{KNF}{\neg b \alert{\vee} c} \structure{\wedge} \klausel{KNF}{a \alert{\vee} b \alert{\vee} \neg c} \] + \end{example} + \end{frame} +} + +\begin{frame} + \frametitle{Konstruktion der NF} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{itemize} + \item \structure{Jede} nicht-triviale Formel ist in DNF und KNF umwandelbar + \item Durch Äquivalenzumformungen berechenbar (exponentiell groß!) + \item Oder: Konstruktion mit Wahrheitstabellen + \end{itemize} + + \vfill + + \begin{block}{Normalformen aus Wahrheitstabellen} + Gegeben eine Formel $F$ und ihre Wahrheitstabelle + \begin{itemize} + \item DNF + \begin{enumerate} + \item Betrachte Zeilen mit Eintrag \structure{$1$} + \item Bilde \structure{Konjunktion} aus der \structure{Belegung} + \item Bilde \structure{Disjunktion} aller erhaltenen Klauseln + \end{enumerate} + \bigskip + \item KNF + \begin{enumerate} + \item Betrachte Zeilen mit Eintrag \alert{$0$} + \item Bilde \alert{Disjunktion} aus der \alert{Negation} der Belegung + \item Bilde \alert{Konjunktion} aller erhaltenen Klauseln + \end{enumerate} + \end{itemize} + \end{block} +\end{frame} + +{ + \newcommand{\klausel}[4]{(##2 a ##1 ##3 b ##1 ##4 c)} + \begin{frame} + \frametitle{Konstruktion der NF} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{example}[] + Gegeben eine Formel $F$ mit folgender Semantik + \begin{center} + \begin{tabu} to .4\textwidth {ccc|[1.2pt]c} + a & b & c & $F$ \\ \tabucline[1.2pt]{-} + 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 1 \\ + 1 & 0 & 0 & 1 \\ + 1 & 0 & 1 & 1 \\ + 1 & 1 & 0 & 1 \\ + 1 & 1 & 1 & 0 + \end{tabu} + \end{center} + $F$ dargestellt in + \begin{itemize} + \item DNF $\hfill\klausel{\wedge}{\neg}{}{} \vee (a \wedge \neg b) \vee \klausel{\wedge}{}{}{\neg}\hfill$ + \medskip + \item KNF $\hfill(a \vee b) \wedge \klausel{\vee}{\neg}{}{\neg} \wedge \klausel{\vee}{\neg}{\neg}{\neg}\hfill$ + \end{itemize} + \end{example} + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Mengendarstellung der KNF} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{block}{Mengendarstellung der KNF} + Eine Formel $F = \bigwedge \bigvee L_i$ in \structure{KNF} kann in einer \structure{Mengendarstellung} repräsentiert werden. + \begin{itemize} + \item Klauseln werden durch Mengen von Literalen dargestellt + \[\left\{ a, \neg b, c \right\} \text{ steht für } (a \vee \neg b \vee c)\] + \item KNF-Formeln sind Mengen von Klauseln + \[ \left\{ \left\{ \neg a \right\}, \left\{ a, \neg b, c \right\} \right\} \text{ steht für } \neg a \wedge (a \vee \neg b \vee c) \] + \item $\emptyset$ steht für \textrm{true}, $\left\{ \emptyset \right\}$ für \textrm{false} + \end{itemize} + \end{block} + \begin{example}[] + Gegeben $F \defeq (a \vee b) \wedge \klausel{\vee}{\neg}{}{\neg} \wedge \klausel{\vee}{\neg}{\neg}{\neg}$ in KNF. + \[ \left\{ \left\{ a, b \right\}, \left\{ \neg a, b, \neg c \right\}, \left\{ \neg a, \neg b, \neg c \right\} \right\}\] + \end{example} + \end{frame} +} +} + +\defineUnit{DPLL}{% +\begin{frame} + \frametitle{KNF aus Syntaxbaum} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{block}{Idee} + Erzeuge die KNF aus dem Syntaxbaum + \begin{enumerate} + \item<1-> Weise jedem \structure{inneren Knoten} eine Variable zu + \item<1,3-> Variablen sind \structure{abhängig} von ihren Kindern + \item<1,4-> Berechne \structure{kleine} KNFs und führe diese \structure{zusammen} + \end{enumerate} + \end{block} + \begin{columns}[T] + \begin{column}{.7\textwidth} + % FIXME: onlys around A_\vee needed for "correct" fadein + \begin{align} + (x \wedge y) \vee z + \uncover<3->{\equiv &\hphantom{{}\wedge {}}\only<3->{A_\vee}\\ + &\structure{\wedge (A_\vee \leftrightarrow A_\wedge \vee z)}\\ + &\alert{\wedge (A_\wedge \leftrightarrow x \wedge y)}\\} + \uncover<4->{\equiv &\hphantom{{}\wedge {}}\only<4->{A_\vee}\\ + &\structure{\wedge (A_\vee \vee \neg A_\wedge) \wedge (A_\vee \vee \neg z)}\\ + &\qquad\structure{\wedge (\neg A_\vee \vee A_\wedge \vee z)}\\ + &\alert{\wedge (\neg A_\wedge \vee x) \wedge (\neg A_\wedge \vee y)} \\ + &\qquad\alert{\wedge(A_\wedge \vee \neg x \vee \neg y)}} + \end{align} + \end{column} + \begin{column}{.3\textwidth} + \begin{tikzpicture}[grow=down, level distance = 33] + \tikzstyle{op} = [pretty] + \tikzstyle{var} = [pretty, rectangle] + \tikzstyle{edge from parent} = [edge] + + \tikzstyle{level 1} = [sibling distance = 50] + \tikzstyle{level 2} = [sibling distance = 30] + \node at (0, 0) {}; + \node[op] at (0, -1) {\alt<1>{$\vee$}{$A_\vee$}} + child { + node[op] {\alt<1>{$\wedge$}{$A_\wedge$}} + edge from parent + child { + node[var] {$x$} + edge from parent + } + child { + node[var] {$y$} + edge from parent + } + } + child { + node[var] {$z$} + }; + \end{tikzpicture} + \end{column} + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{DPLL} + \setbeamercovered{dynamic} + + \begin{definition}[DPLL-Belegung] + Sei $F$ eine Formel in KNF und $p$ eine Variable von $F$.\\ + Dann bezeichnet \structure{$F[p\backslash\mathrm{true}]$} die Formel, die entsteht, wenn jedes Vorkommnis von $p$ in F durch $\mathrm{true}$ ersetzt und vereinfacht wird. + \end{definition} + + \begin{block}{DPLL} + Gegeben eine Formel $F$ in KNF + \begin{itemize} + \item Wenn $F = \mathrm{true}$ dann antworte \enquote{erfüllbar} + \item Wenn $F = \mathrm{false}$ dann antworte \enquote{unerfüllbar} + \item Sonst + \begin{enumerate} + \item Wähle eine Variable $p$ in $F$ + \item Prüfe ob $F[p\backslash\mathrm{true}]$ oder $F[p\backslash\mathrm{false}]$ erfüllbar + \end{enumerate} + \end{itemize} + \end{block} + \begin{itemize} + \item Schlaue Wahl der Variable beschleunigt Ausführung + \item Wähle Variablen die einzeln stehen (\structure{One-Literal-Rule}) + \end{itemize} +\end{frame} +} diff -r b83150706135 -r 099613ee2f37 notes/tex/ue04_notes.tex --- /dev/null Thu Jan 01 00:00:00 1970 +0000 +++ b/notes/tex/ue04_notes.tex Tue Nov 12 00:34:55 2013 +0100 @@ -0,0 +1,13 @@ +\input{preamble.tex} +\input{frames.tex} + +\title{Übung 4: Aussagenlogik II} +\subtitle{Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014} +\author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} + +\begin{document} +\showUnit{titel} +\showUnit{aussagenlogikaequivalenzen} +\showUnit{aussagenlogiknormalformen} +\showUnit{DPLL} +\end{document} diff -r b83150706135 -r 099613ee2f37 notes/ue04_notes.pdf Binary file notes/ue04_notes.pdf has changed