\defineUnit{alphabet}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Alphabete}

    \begin{definition}
        \begin{itemize}
            \item Ein \structure{Alphabet} $\Sigma$ ist eine endliche Menge.
            \item Ein \structure{Wort} über $\Sigma$ ist eine endliche Folge von Zeichen.
            \item Eine Teilmenge $L \subseteq \Sigma^*$ ist eine \structure{formale Sprache}
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{definition}[Operationen auf Sprachen]
        \begin{itemize}
            \item $\structure{AB} \defeq \left\{ uv \mid u \in A \wedge v \in B \right\}$
            \item $\structure{A^{n+1}} \defeq A^nA $,\qquad\qquad $\structure{A^0} \defeq \{\epsilon\}$
            \item $\structure{A^*} \defeq \bigcup_{n \in \N_0} A^n$
        \end{itemize}
    \end{definition}
\end{frame}
}

\defineUnit{dfa}{%
\begin{frame}
    \frametitle{DFA}

    \begin{definition}[Deterministischer endlicher Automat]
        Ein \structure{DFA} ist ein Tupel $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ aus einer/einem
        \begin{itemize}
            \item endlichen Menge von \structure{Zuständen} $Q$
            \item endlichen \structure{Eingabealphabet} $\Sigma$
            \item totalen \structure{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \to Q$
            \item \structure{Startzustand} $q_0 \in Q$
            \item Menge von \structure{Endzuständen} $F \subseteq Q$
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=]
            \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
            \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
            \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$};

            \draw[->] (q0) edge [loop above] node {0} (q0);
            \draw[->] (q2) edge [loop above] node {1} (q2);
            \draw[->] (q0) edge [bend left] node {1} (q1);
            \draw[->] (q1) edge [bend left] node {1} (q0);
            \draw[->] (q1) edge [bend left] node {0} (q2);
            \draw[->] (q2) edge [bend left] node {0} (q1);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{frame}
}

\defineUnit{nfa}{%
\begin{frame}
    \frametitle{NFA}
    \begin{definition}[Nicht-Deterministischer endlicher Automat]
        Ein \structure{NFA} ist ein Tupel $N = (Q, \Sigma, \delta, S, F)$ mit
        \begin{itemize}
            \item $Q, \Sigma, F$ wie ein DFA
            \item Menge von \structure{Startzuständen} $S \subseteq F$
            \item \structure{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \to \powerset{Q}$
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=]
            \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
            \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
\draw[->] (q0) edge [loop above] node {0,1} (q0); \draw[->] (q0) edge node {1} (q1); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} 
}

\defineUnit{enfa}{%
\begin{frame}
    \frametitle{$\epsilon$-NFA}
    \begin{definition}[NFA mit $\epsilon$-Übergängen]
        Ein \structure{$\epsilon$-NFA} ist ein Tupel $N = (Q, \Sigma, \delta, S, F)$ mit
        \begin{itemize}
            \item $Q, \Sigma, F$ wie ein DFA
            \item Menge von \structure{Startzuständen} $S \subseteq F$
            \item \structure{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \to \powerset{Q}$
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=30, initial text=]
            \node[state] (q1) {$q_1$};
            \node[state, initial] (q0) [left of = q1] {$q_0$};
            \node[state, accepting] (q2) [right of = q1] {$q_2$};
\draw[->] (q0) edge [red] node {$\epsilon$} (q1); \draw[->] (q1) edge [loop above] node {0,1} (q1); \draw[->] (q1) edge node {1} (q2); \draw[->] (q0) edge [bend right, red] node {$\epsilon$} (q2); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} 
}

\defineUnit{endlicheautomaten}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Endliche Automaten}
    \begin{block}{Übergangsfunktionen}
        Die Automaten $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ unterscheiden sich nur durch ihre Übergangsfunktionen.

        \begin{description}
            \item[DFA] $\delta : Q \times \Sigma \to Q$
            \item[NFA] $\delta : Q \times \Sigma \to \alert{\powerset{Q}}$
            \item[$\epsilon$-NFA] $\delta : Q \times \alert{\left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right)} \to \alert{\powerset{Q}}$
        \end{description}
    \end{block}

    \vfill

    \begin{theorem}
        \alert{DFA}, \alert{NFA} und \alert{$\epsilon$-NFA} sind gleich mächtig und lassen sich ineinander umwandeln.
    \end{theorem}
\end{frame}
}

\defineUnit{regex}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Reguläre Ausdrücke}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Regulärer Ausdruck]
        \alert{Reguläre Ausdrücke} sind induktiv definiert
        \begin{itemize}
            \item \alert{$\emptyset$} ist ein regulärer Ausdruck
            \item \alert{$\epsilon$} ist ein regulärer Ausdruck
            \item Für alle $a \in \Sigma$ ist \alert{$a$} ein regulärer Ausdruck
            \item Sind $\alpha$ und $\beta$ reguläre Ausdrücke, dann auch
                \begin{description}
                    \item[Konkatenation] \alert{$\alpha\beta$}
                    \item[Veroderung] \alert{$\alpha \mid \beta$}
                    \item[Wiederholung] \alert{$\alpha^*$}
                \end{description}
        \end{itemize}
        Analoge Sprachdefinition, z.b. $L(\alpha\beta) = L(\alpha)L(\beta)$
    \end{definition}

    \begin{example}
        $\alpha = (0|1)^*00$ \hfill $L(\alpha) = \left\{x \mid x \text{ Binärzahl}, x \mod 4 = 0 \right\}$
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{automatenkonversionen}{%
\begin{frame}[c]
    \frametitle{Konversionen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[node distance=2cm]
            \node (nfa) {NFA};
            \node (dfa) [left of=nfa] {DFA};
            \node (enfa) [right of=nfa] {$\epsilon$-NFA};
            \node (re) [below of=nfa] {RE};

            \draw [every edge, tumred] (nfa) -- (dfa);
            \draw [every edge, tumred] (enfa) -- (nfa);
            \draw [every edge] (dfa) -- (re);
            \draw [every edge] (nfa) -- (re);
            \draw [every edge, tumred] (re) -- (enfa);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{frame}
}

\defineUnit{rezuenfa}{%
\begin{frame}
    \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Idee (Kleene)}
        Für einen Ausdruck \alert{$\gamma$} wird rekursiv mit struktureller Induktion ein $\epsilon$-NFA konstruiert.
    \end{block}

    \begin{tabu} to \linewidth {XXX}
        \alert{$\gamma = \emptyset$} & \alert{$\gamma = \epsilon$} & \alert{$\gamma = a \in \Sigma$} \\
        \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)]
            \node[state, initial] () {};
        \end{tikzpicture} &

        \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)]
            \node[state, initial, accepting] () {};
        \end{tikzpicture} &

        \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)]
            \node[state, initial] (i) {};
            \node[state, accepting] (j) [right of=i] {};

            \draw[->] (i) edge node {$a$} (j);
        \end{tikzpicture} \\
        \vspace{2em}
        \alert{$\gamma = \alpha\beta$} \\
        \multicolumn3{c}{
            \begin{tikzpicture}[automaton, small]
                \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (-0.3, 1) rectangle (1.8, -1);
                \node[tumgreen] () at (0.75, -1.2) {$N_\alpha$};

                \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (3.7, 1) rectangle (5.8, -1);
                \node[tumgreen] () at (4.75, -1.2) {$N_\beta$};

                \node[state, initial] (i) at (0, 0) {};
                \node[state] (j) at (1.5, 0.5) {};
                \node[state] (k) at (1.5, -0.5) {};
                \node[state] (l) at (4, 0) {};
                \node[state, accepting] (m) at (5.5, 0) {};

                \draw[->] (j) edge node {$\epsilon$} (l);
                \draw[->] (k) edge node {$\epsilon$} (l);
            \end{tikzpicture}
        }\\
    \end{tabu}
\end{frame}
}

\defineUnit{rezuenfazwei}{%
\begin{frame}
    \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{tabu} to \linewidth {X}
        \alert{$\gamma = \alpha \mid \beta$} \\
        \centering
        \begin{tikzpicture}[automaton, small]
            \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1.5) rectangle (4.5, 0.5);
            \node[tumgreen] () at (3.25, 0.3) {$N_\alpha$};

            \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, -0.5) rectangle (4.5, -1.5);
            \node[tumgreen] () at (3.25, -1.7) {$N_\beta$};

            \node[state, initial] (i) at (0, 0) {};

            \node[state] (j) at (2.5, 1) {};
            \node[state, accepting] (k) at (4, 1) {};
            \node[state] (l) at (2.5, -1) {};
            \node[state, accepting] (m) at (4, -1) {};

            \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j);
            \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (l);
        \end{tikzpicture} \\
        \vfill

        \alert{$\gamma = \alpha^*$} \\
        \centering
        \begin{tikzpicture}[automaton, small, bend angle=70]
            \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1) rectangle (4.5, -1);
            \node[tumgreen] () at (3.25, -1.2) {$N_\alpha$};

            \node[state, initial, accepting] (i) at (0, 0) {};

            \node[state] (j) at (2.5, 0) {};
            \node[state, accepting] (k) at (4, 0.5) {};
            \node[state, accepting] (m) at (4, -0.5) {};

            \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j);
            \draw[->] (k) edge [bend right] node {$\epsilon$} (j);
            \draw[->] (m) edge [bend left] node[above] {$\epsilon$} (j);
        \end{tikzpicture}
    \end{tabu}
\end{frame}
}

\defineUnit{enfazunfa}{%
\begin{frame}
    \frametitle{$\epsilon$-NFA $\rightarrow$ NFA}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Idee}
        Entferne $\epsilon$-Kanten durch das Bilden von $\epsilon$-Hüllen.
        \begin{enumerate}
            \item<1-> Entferne \alert{unnötige Knoten}.
            \item<1,3-> Für jeden \alert{Pfad} der Form $\epsilon\ldots\epsilon \alert{a} \epsilon\ldots\epsilon$ verbinde Anfangs- und Endknoten mit einer \alert{$a$}-Kante.
            \item<1,4-> Entferne alle \alert{$\epsilon$-Kanten} und unerreichbare Knoten.
            \item<1,5-> Wurde das leere Wort akzeptiert mache den \alert{Anfangszustand} zum Endzustand.
        \end{enumerate}
    \end{block}

    \vfill

    \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.1cm]
        \useasboundingbox (-1.4,2) rectangle (9, -2);

        \node<-4>[state, initial] (q0) {$q_0$};
        \node[state] (q2) [right = 3.2cm of q0] {$q_2$};
        \node[state] (q3) [right of = q2] {$q_3$};
        \node[state, accepting] (q4) [right of = q3] {$q_4$};

        \draw[->] (q2) edge node {$0$} (q3);
        \draw[->] (q3) edge node {$1$} (q4);

        \draw<1-4>[->] (q3) edge [bend right] node [above] {$\epsilon$} (q2);
        \draw[->] (q4) edge [bend right] node [above] {$1$} (q3);
        \draw<1-4>[->] (q0) edge [bend right=20] node [below] {$\epsilon$} (q4);

        \node<1>[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
        \draw<1>[->] (q0) edge node {$\epsilon$} (q1);
        \draw<1>[->] (q1) edge node {$1$} (q2);

        \node<2>[state, fill=tumred!20] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
        \draw<2>[->, tumred] (q0) edge node {$\epsilon$} (q1);
        \draw<2>[->, tumred] (q1) edge node {$0$} (q2);
        \draw<2->[->, tumblue] (q0) edge [bend left] node {$0$} (q2);

        \draw<3,4,5>[->, tumred] (q0) edge [bend right=20] node [below] {$\epsilon$} (q4);
        \draw<3>[->, tumred] (q4) edge [bend right] node [above] {$1$} (q3);
        \draw<3,4>[->, tumred] (q3) edge [bend right] node [above] {$\epsilon$} (q2);
        \draw<3->[->, tumgreen] (q0) edge node {$1$} (q2);

        \draw<4->[->, tumgreen] (q2) edge [loop above] node [above] {$0$} (q2);
        \draw<4->[->, tumgreen] (q3) edge [loop above] node [above] {$0$} (q3);
        \draw<4->[->, tumgreen] (q0) edge [bend right=20] node [above] {$1$} (q3);
        \draw<4->[->, tumgreen] (q4) edge [bend right=70] node [above] {$1$} (q2);

        \node<5>[state, initial, accepting, fill=tumgreen!20] (q0) {$q_0$};

        \node<6->[state, initial, accepting] (q0) {$q_0$};
    \end{tikzpicture}
\end{frame}
}

\defineUnit{nfazudfa}{%
\begin{frame}
    \frametitle{NFA $\rightarrow$ DFA}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Potenzmengenkonstruktion}
        Konstruiere einen Automaten, der \structure{alle möglichen Pfade} gleichzeitig berücksichtigt.
        Gegeben ein NFA $(Q, \Sigma, \delta, S, F)$, konstruiere einen DFA mit Zuständen aus \alert{$\powerset{Q}$}.

        \begin{itemize}
            \item Starte in $\left\{ S \right\}$
            \item Die Übergangsfunktion speichert \structure{alle möglichen Schritte}
                \begin{align}
                    \overline{\delta}: \powerset{Q} \times \Sigma &\to \powerset{Q} \\
                    (M, a) &\mapsto \bigcup_{q \in M} \delta(q, a)
                \end{align}
            \item $M$ ist Endzustand wenn $F \cap M \neq \emptyset$
        \end{itemize}
    \end{block}

    \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=20, node distance=2.1cm]
        \tikzstyle{every state}=[minimum width=1cm, pretty]
        \useasboundingbox (-1.4,2) rectangle (9, -2);

        \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
        \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$};

        \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$0,1$} (q0);
        \draw[->] (q0) edge node {$1$} (q1);

        \node<2->(sep) [right of = q1] {$\rightarrow$};

        \node<2->[state, initial, inner sep=1pt] (pq0) [right of = sep] {$q_{\{0\}}$};

        \node<3->[state, accepting, inner sep=0pt] (pq01) [right of = pq0] {$q_{\{0,1\}}$};
        \draw<3->[->] (pq0) edge [loop above] node {$0$} (pq0);
        \draw<3->[->] (pq0) edge [bend left] node {$1$} (pq01);

        \draw<4->[->] (pq01) edge [loop above] node {$1$} (pq01);
        \draw<4->[->] (pq01) edge [bend left] node {$0$} (pq0);

    \end{tikzpicture}
\end{frame}
}

\defineUnit{produktautomat}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Produktautomat}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{theorem}
        Sind $M_1 = (Q_1, \Sigma, \delta_1, s_1, F_1)$ und $M_2 = (Q_2, \Sigma, \delta_2, s_2, F_2)$ DFAs, dann ist der \alert{Produkt-Automat}

        \begin{align*}
            M &:= (\alert{Q_1 \times Q_2}, \Sigma, \delta, (s_1, s_2), F_1 \times F_2) \\
            \delta\left( (q_1, q_2), a \right) &:= \left( \alert{\delta_1}(q_1, a), \alert{\delta_2}(q_2, a) \right)
        \end{align*}

        ein DFA, der $L(M_1) \cap L(M_2)$ akzeptiert.
    \end{theorem}
\end{frame}
}

\defineUnit{regexrechnen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Nochmal Reguläre Ausdrücke}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{theorem}
        Die regulären Ausdrücke $\mathfrak{R}$ über einem Alphabet $\Sigma$ bilden mit Konkatenation $\circ$ und Veroderung $\mid$ einen \alert{Halbring} $\langle \mathfrak{R}, \mid, \circ, \emptyset, \epsilon \rangle$.

        \begin{itemize}
            \item \alert{Assoziative} Operationen
            \item Veroderung \alert{kommutativ}
            \item \alert{Distributivität}: $\alpha (\beta \mid \gamma) \equiv \alpha\beta \mid \alpha\gamma$
            \item $\emptyset$ \alert{neutral} bezüglich Oder
            \item $\epsilon$ \alert{neutral} bezüglich Konkatenation
        \end{itemize}
    \end{theorem}

    \begin{example}
        \[
            1\psi \mid 0\phi \mid \psi \equiv 0 \phi \mid (1 \mid \epsilon) \psi
        \]
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{arden}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Ardens Lemma}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{theorem}[Ardens Lemma]
        Sind $A$, $B$ und $X$ Sprachen mit $\epsilon \not \in A$, dann gilt
        \[
            X = AX \cup B \Longrightarrow X = A^* B
        \]
        Speziell gilt für reguläre Ausdrücke
        \[
            X \equiv \alpha X \mid \beta \Longrightarrow X \equiv \alpha^* \beta
        \]
    \end{theorem}

    \begin{example}
        \[
            \psi \equiv 0 \psi \mid (1 \mid \epsilon) \phi \Longrightarrow \psi \equiv 0^*(1\mid \epsilon) \phi
        \]
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{nfazure}{%
\begin{frame}
    \frametitle{NFA $\rightarrow$ RE}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Idee}
        Erzeuge ein Gleichungssystem aus allen Zuständen.
        \begin{enumerate}
            \item<1,2-> Ausdruck für jeden Zustand
            \item<1,3-> Auflösen nach $X_0$ mit Algebra und Ardens Lemma
        \end{enumerate}
    \end{block}
    \begin{columns}<2->
        \begin{column}[b]{.65\textwidth}
            \begin{align*}
                X_0 &\equiv 1X_0 \mid 0X_1 \\
                &\equiv \uncover<4->{1X_0 \mid 00^*(\epsilon \mid 1X_0)} \\
                &\equiv \uncover<4->{(1 \mid 00^*1) X_0 \mid 00^*} \\
                &\equiv \uncover<4->{(1 \mid 00^*1)^*(00^*)} \\
                \\
                X_1 &\equiv 1X_0 \mid 0X_1 \alt<3->{\mid \epsilon}{\alert{\mid \epsilon}} \\
                &\equiv \uncover<3-> {0X_1 \mid (\epsilon \mid 1 X_0)}\\
                &\equiv \uncover<3-> {\alt<-2,4->{0^*(\epsilon \mid 1X_0)}{\alert{0^*(\epsilon \mid 1X_0)}}}
            \end{align*}
        \end{column}
        \begin{column}[t]{.35\textwidth}
            \begin{tikzpicture}[automaton]
                \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
                \node[state, accepting] (q1) [below of=q0] {$q_1$};

                \draw[->] (q0) edge [bend right] node [left] {$0$} (q1);
                \draw[->] (q1) edge [bend right] node [right] {$1$} (q0);
                \draw[->] (q0) edge [loop right] node {$1$} (q0);
                \draw[->] (q1) edge [loop right] node {$0$} (q1);
            \end{tikzpicture}
        \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}
}

\defineUnit{rpl}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Pumping Lemma}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{theorem}[Pumping Lemma für reguläre Sprachen]
        Sei $R \subseteq \Sigma^*$ regulär. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in R$ mit $|z| \geq n$ so in $z = uvw$ zerlegen lässt, dass
        \begin{itemize}
            \item $v \neq \epsilon$
            \item $|uv| \alert{\leq n}$
            \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iw \in R$
        \end{itemize}
    \end{theorem}

    \vfill

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[automaton]
            \node[state, initial] (q0) {};
            \node[state, fill=tumred!20] (q1) [right of=q0] {};
            \node[state, accepting] (q2) [right of=q1] {};

            \draw[->, densely dashed] (q0) edge node {$u$} (q1);
            \draw[->, tumred] (q1) edge [loop above] node {$v$} (q1);
            \draw[->, densely dashed] (q1) edge node {$w$} (q2);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{frame}
}

\defineUnit{rplanwenden}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Nichtregularität beweisen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Idee}
        Gegenbeispiel fürs Pumpinglemma suchen.
        \[
            \alert{\forall} n \in \N_0 \alert{\exists} z \in L. |z| \geq n \ \alert{\forall} u,v,w. \ z = uvw \ \text{\alert{nicht} pumpbar}
        \]
    \end{block}

    \vfill

    \begin{example}<2->
        Ist $L = \left\{ a^ib^i \mid i \in \N_0 \right\}$ regulär?
        \begin{enumerate}
            \item \alert{Sei $n$} PL-Zahl
            \item \alert{Wähle} $\alert{z} = a^nb^n$
            \item Dann ist \alert{$z = uvw$} mit \alert{$|uv| \leq n$}, hier: $v=a^k$ mit $k > 0$
            \item Dann ist $uv^0w \not \in L$
            \item Damit ist L \alert{nicht} regulär.
        \end{enumerate}
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{aequivalentezustaende}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Äquivalenzen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Äquivalente Worte]
        Jede Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ induziert eine Äquivalenzrelation $\alert{\equiv_L \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*}$:
        \[
            u \alert{\equiv_L} v \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{uw} \in L \Leftrightarrow \alert{vw} \in L\right)
        \]
    \end{definition}

    \vfill

    \pause

    \begin{definition}[Äquivalente Zustände]
        Zwei Zustände im DFA $A$ sind \alert{äquivalent} wenn sie die selbe Sprache akzeptieren.

        \[
            p \alert{\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{\hat{\delta}(p, w)} \in F \Leftrightarrow \alert{\hat{\delta}(q, w)} \in F \right)
        \]
    \end{definition}
\end{frame}
}

\defineUnit{unterscheidbarezustaende}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Unterscheidbare Zustände}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Unterscheidbarkeit]
        Zwei Zustände sind \alert{unterscheidbar}, wenn sie unterschiedliche Sprachen akzeptieren.
        \[
            p \alert{\not\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \exists w \in \Sigma^*. \hat{\delta}(p, w) \alert{\in} F \wedge \hat{\delta}(q, w) \alert{\not\in} F \right)
        \]
    \end{definition}

    \begin{theorem}
        Sind $\delta(p, a)$ und $\delta(q, a)$ unterscheidbar, dann auch $p$ und $q$.
    \end{theorem}

    \pause

    \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.5cm]
        \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
        \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
        \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$};
        \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$};

        \draw[->] (q0) edge node {$a$} (q1);
        \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2);
        \draw[->] (q1) edge node {$a$} (q2);
        \draw[->] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3);
        \draw[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3);
        \draw[->] (q3) edge [loop right] node {$a,b$} (q3);

        \node<3>[state, fill=tumred!35] () at (q2) {$q_2$};
        \node<3->[state, accepting, fill=tumgreen!35] () at (q3) {$q_3$};

        \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q0) {$q_0$};
        \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q1) {$q_1$};
        \draw<4>[->, tumred] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2);
        \draw<4>[->, tumgreen] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3);
    \end{tikzpicture}
\end{frame}
}

\defineUnit{quotientenautomat}{%
\begin{frame}[t]
    \frametitle{DFA minimieren}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Idee}
        Erzeuge den \alert{Quotientenautomaten}.
        \begin{enumerate}
            \item Entferne alle von $q_0$ \alert{nicht erreichbaren} Zustände
            \item<1, 3-> Berechne die \alert{unterscheidbaren} Zustände
            \item<1, 6-> \alert{Kollabiere} die äquivalenten Zustände
        \end{enumerate}
    \end{block}

    \vfill

    \begin{columns}[c]<2->
        \begin{column}{.5\textwidth}<3->
            \begin{center}
                \begin{tabu}to .8\textwidth{|X[c]|X[c]|X[c]|X}
                    \multicolumn{2}{l}{0} \\ \tabucline{1-1}
                    \alt<-4>{}{\textcolor{tumgreen}{$1/a$}} & \multicolumn{2}{l}{1} \\ \tabucline{1-2}
                    \alt<-4>{}{\textcolor{tumgreen}{$1/a$}} &  & \multicolumn{2}{l}{2} \\ \tabucline{1-3}
                    \alt<-3>{}{\textcolor{tumred}{$\times$}} &  \alt<-3>{}{\textcolor{tumred}{$\times$}}& \alt<-3>{} {\textcolor{tumred}{$\times$}}& 3 \\ \tabucline{1-3}
                \end{tabu}
            \end{center}
        \end{column}
        \begin{column}{.5\textwidth}
            \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=2.5cm]
                \useasboundingbox (-0.5, -0.5) rectangle (2, -2);

                \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
                \node<-5>[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
                \node<-5>[state] (q2) [below of = q0] {$q_2$};
                \node<6>[state, fill=tumred!40] (q12) [right of = q0] {$q_{12}$};
                \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$};

                \draw<-5>[->] (q0) edge node {$a$} (q1);
                \draw<-5>[->] (q0) edge node {$b$} (q2);
                \draw<-5>[->] (q1) edge node {$a,b$} (q3);
                \draw<-5>[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3);
                \draw[->] (q3) edge [loop right] node [above] {$a,b$} (q3);

                \draw<6>[->] (q12) edge node {$a,b$} (q3);
                \draw<6>[->] (q0) edge node {$a,b$} (q12);
            \end{tikzpicture}
        \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}
}

\defineUnit{regulaeresprachen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Reguläre Sprachen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[node distance=2cm]
            \node (nfa) {NFA};
            \node (dfa) [left of=nfa] {DFA};
            \node (enfa) [right of=nfa] {$\epsilon$-NFA};
            \node (re) [below of=nfa] {RE};

            \draw [every edge] (nfa) -- (dfa);
            \draw [every edge] (enfa) -- (nfa);
            \draw [every edge] (dfa) -- (re);
            \draw [every edge] (nfa) -- (re);
            \draw [every edge] (re) -- (enfa);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}

    \vfill

    \begin{theorem}
        Für eine Darstellung $D$ einer regulären Sprache ist \alert{entscheidbar}:
        \vspace{1em}
        \begin{description}
            \item[Wortproblem] Gegeben $w$, gilt $w \in L(D)$?
            \item[Leerheitsproblem] Ist $L(D) = \emptyset$?
            \item[Endlichkeitsproblem] Ist $|L(D)| < \infty$?
            \item[Äquivalenzproblem] Gilt $L(D_1) = L(D_2)$?
        \end{description}
    \end{theorem}
\end{frame}
}