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comparison notes/tex/ue04_notes.tex @ 44:15351d87ce76

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author Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
date Thu, 11 Jul 2013 22:06:26 +0200
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2 3
3 \title{Übung 4: Minimale DFAs} 4 \title{Übung 4: Minimale DFAs}
4 \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} 5 \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013}
5 \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} 6 \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}}
6 7
7 \begin{document} 8 \begin{document}
8 9 \showUnit{titel}
9 \begin{frame} 10 \showUnit{aequivalentezustaende}
10 \titlepage 11 \showUnit{unterscheidbarezustande}
11 \end{frame} 12 \showUnit{quotientenautomat}
12
13 \begin{frame}
14 \frametitle{Äquivalenzen}
15 \setbeamercovered{dynamic}
16
17 \begin{definition}[Äquivalente Worte]
18 Jede Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ induziert eine Äquivalenzrelation $\alert{\equiv_L \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*}$:
19 \[
20 u \alert{\equiv_L} v \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{uw} \in L \Leftrightarrow \alert{vw} \in L\right)
21 \]
22 \end{definition}
23
24 \vfill
25
26 \pause
27
28 \begin{definition}[Äquivalente Zustände]
29 Zwei Zustände im DFA $A$ sind \alert{äquivalent} wenn sie die selbe Sprache akzeptieren.
30
31 \[
32 p \alert{\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{\hat{\delta}(p, w)} \in F \Leftrightarrow \alert{\hat{\delta}(q, w)} \in F \right)
33 \]
34 \end{definition}
35 \end{frame}
36
37 \begin{frame}
38 \frametitle{Unterscheidbare Zustände}
39 \setbeamercovered{dynamic}
40
41 \begin{definition}[Unterscheidbarkeit]
42 Zwei Zustände sind \alert{unterscheidbar}, wenn sie unterschiedliche Sprachen akzeptieren.
43 \[
44 p \alert{\not\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \exists w \in \Sigma^*. \hat{\delta}(p, w) \alert{\in} F \wedge \hat{\delta}(q, w) \alert{\not\in} F \right)
45 \]
46 \end{definition}
47
48 \begin{theorem}
49 Sind $\delta(p, a)$ und $\delta(q, a)$ unterscheidbar, dann auch $p$ und $q$.
50 \end{theorem}
51
52 \pause
53
54 \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.5cm]
55 \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
56 \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
57 \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$};
58 \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$};
59
60 \draw[->] (q0) edge node {$a$} (q1);
61 \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2);
62 \draw[->] (q1) edge node {$a$} (q2);
63 \draw[->] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3);
64 \draw[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3);
65 \draw[->] (q3) edge [loop right] node {$a,b$} (q3);
66
67 \node<3>[state, fill=tumred!35] () at (q2) {$q_2$};
68 \node<3->[state, accepting, fill=tumgreen!35] () at (q3) {$q_3$};
69
70 \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q0) {$q_0$};
71 \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q1) {$q_1$};
72 \draw<4>[->, tumred] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2);
73 \draw<4>[->, tumgreen] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3);
74 \end{tikzpicture}
75 \end{frame}
76
77 \begin{frame}[t]
78 \frametitle{DFA minimieren}
79 \setbeamercovered{dynamic}
80
81 \begin{block}{Idee}
82 Erzeuge den \alert{Quotientenautomaten}.
83 \begin{enumerate}
84 \item Entferne alle von $q_0$ \alert{nicht erreichbaren} Zustände
85 \item<1, 3-> Berechne die \alert{unterscheidbaren} Zustände
86 \item<1, 6-> \alert{Kollabiere} die äquivalenten Zustände
87 \end{enumerate}
88 \end{block}
89
90 \vfill
91
92 \begin{columns}[c]<2->
93 \begin{column}{.5\textwidth}<3->
94 \begin{center}
95 \begin{tabu}to .8\textwidth{|X[c]|X[c]|X[c]|X}
96 \multicolumn{2}{l}{0} \\ \tabucline{1-1}
97 \alt<-4>{}{\textcolor{tumgreen}{$1/a$}} & \multicolumn{2}{l}{1} \\ \tabucline{1-2}
98 \alt<-4>{}{\textcolor{tumgreen}{$1/a$}} & & \multicolumn{2}{l}{2} \\ \tabucline{1-3}
99 \alt<-3>{}{\textcolor{tumred}{$\times$}} & \alt<-3>{}{\textcolor{tumred}{$\times$}}& \alt<-3>{} {\textcolor{tumred}{$\times$}}& 3 \\ \tabucline{1-3}
100 \end{tabu}
101 \end{center}
102 \end{column}
103 \begin{column}{.5\textwidth}
104 \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=2.5cm]
105 \useasboundingbox (-0.5, -0.5) rectangle (2, -2);
106
107 \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
108 \node<-5>[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
109 \node<-5>[state] (q2) [below of = q0] {$q_2$};
110 \node<6>[state, fill=tumred!40] (q12) [right of = q0] {$q_{12}$};
111 \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$};
112
113 \draw<-5>[->] (q0) edge node {$a$} (q1);
114 \draw<-5>[->] (q0) edge node {$b$} (q2);
115 \draw<-5>[->] (q1) edge node {$a,b$} (q3);
116 \draw<-5>[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3);
117 \draw[->] (q3) edge [loop right] node [above] {$a,b$} (q3);
118
119 \draw<6>[->] (q12) edge node {$a,b$} (q3);
120 \draw<6>[->] (q0) edge node {$a,b$} (q12);
121 \end{tikzpicture}
122 \end{column}
123 \end{columns}
124 \end{frame}
125
126 \end{document} 13 \end{document}