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comparison notes/tex/grammars.tex @ 41:5d10471f5585

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author Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
date Thu, 11 Jul 2013 20:42:36 +0200
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40:3175d3871752 41:5d10471f5585
1 \defineUnit{grammatik}{%
2 \begin{frame}
3 \frametitle{Grammatiken}
4 \setbeamercovered{dynamic}
5
6 \begin{definition}[Kontextfreie Grammatik]
7 Eine \alert{kontextfreie Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ ist ein 4-Tupel:
8 \begin{description}
9 \item[V] endlich viele \alert{Nichtterminale} (Variablen)
10 \item[$\Sigma$] ein Alphabet von \alert{Terminalen}
11 \item[P] endlich viele \alert{Produktionen} $\subseteq V \times \left( V \cup \Sigma \right)^*$
12 \item[S] ein \alert{Startsymbol}
13 \end{description}
14 \end{definition}
15
16 \begin{example}[Vorbereitung 3]
17 $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$. Grammatik für alle Wörter ungerader Länge, bei denen alle Nullen vor der ersten Eins stehen und weniger Nullen als Einsen vorhanden sind.
18 \pause
19 \[
20 S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1
21 \]
22 \end{example}
23 \end{frame}
24 }
25
26 \defineUnit{ableitung}{%
27 \begin{frame}
28 \frametitle{Ableitungsrelation}
29 \setbeamercovered{dynamic}
30
31 \begin{definition}[Ableitungsrelation]
32 Eine CFG $G$ induziert eine \alert{Ableitungsrelation} $\rightarrow_G$ auf Wörtern über $V \cup \Sigma$:
33 \[
34 \alpha \rightarrow_G \beta
35 \]
36 gdw es eine Regel $A \rightarrow \gamma$ in $P$ mit Wörtern $\alpha_1, \alpha_2$ gibt, so dass
37 \[
38 \alpha = \alpha_1\alert{A}\alpha_2 \quad \text{und} \quad \beta = \alpha_1 \alert{\gamma} \alpha_2
39 \]
40 \end{definition}
41
42 \begin{example}[Vorbereitung 3]
43 Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$:
44 \begin{align*}
45 S &\rightarrow_G 0S1 \rightarrow_G 00S11 \rightarrow_G 00S1111 \rightarrow_G 0011111 \\
46 \Rightarrow S &\rightarrow_G^* 0011111
47 \end{align*}
48 \end{example}
49 \end{frame}
50 }
51
52 \defineUnit{cfl}{%
53 \begin{frame}[c]
54 \frametitle{Kontextfreie Sprache}
55 \setbeamercovered{dynamic}
56
57 \begin{definition}[Kontextfreie Sprache]
58 Eine kontextfreie Grammatik $G = (V, \Sigma, P, S)$ \alert{erzeugt} die Sprache
59 \[
60 L(G) := \left\{ w \in \Sigma^* \mid S \rightarrow_G^* w \right\}
61 \]
62 Eine Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ heißt \alert{kontextfrei} gdw es eine kontextfreie Grammatik $G$ gibt mit $L = L(G)$.
63 \end{definition}
64 \end{frame}
65 }
66
67 \defineUnit{cnf}{%
68 \begin{frame}
69 \frametitle{CNF}
70 \setbeamercovered{dynamic}
71
72 \begin{definition}[Chomsky-Normalform]
73 Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form
74 \[
75 A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC}
76 \]
77 haben.
78 \end{definition}
79
80 \vfill
81
82 \begin{theorem}
83 Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit
84 \[
85 L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}}
86 \]
87 \end{theorem}
88 \end{frame}
89 }
90
91 \defineUnit{cnfkonstruktion}{%
92 \begin{frame}
93 \frametitle{CNF Konstruktion}
94 \setbeamercovered{dynamic}
95
96 \begin{block}{Idee}
97 Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG.
98 \begin{enumerate}
99 \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen}
100 \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen}
101 \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale
102 \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$
103 \end{enumerate}
104 \end{block}
105
106 \vspace{1em}
107
108 \only<2> {
109 Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen.
110 \begin{align*}
111 S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\
112 \intertext{neu:}
113 S &\rightarrow \alert{b} \\
114 A &\rightarrow \alert{aA \mid a}
115 \end{align*}
116 }
117
118 \only<3> {
119 Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole.
120 \begin{align*}
121 S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\
122 \intertext{neu:}
123 A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\
124 S &\rightarrow \alert{a \mid bS}
125 \end{align*}
126 }
127
128 \only<4> {
129 Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal.
130 \begin{align*}
131 S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\
132 \intertext{neu:}
133 S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\
134 X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b}
135 \end{align*}
136 }
137
138 \only<5> {
139 Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$.
140 \begin{align*}
141 S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\
142 \intertext{neu:}
143 S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\
144 T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\
145 \end{align*}
146 }
147 \end{frame}
148 }
149
150 \defineUnit{nuetzlichessymbol}{%
151 \begin{frame}
152 \frametitle{Eigenschaften von Symbolen}
153 \setbeamercovered{dynamic}
154
155 \begin{definition}
156 Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\
157 Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist
158 \begin{description}
159 \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt}
160 \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$
161 \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$
162 \end{description}
163 \end{definition}
164
165 \vfill
166
167 \begin{theorem}
168 Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt.
169 \[
170 S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b
171 \]
172 \end{theorem}
173 \end{frame}
174 }
175
176 \defineUnit{cyk}{%
177 \begin{frame}
178 \frametitle{CYK}
179 \setbeamercovered{dynamic}
180
181 \begin{definition}[Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus]
182 Der \alert{CYK-Algorithmus} entscheidet das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform in $\Oh(n^3)$. \\
183 Gegeben eine \alert{Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ in CNF und ein \alert{Wort} $w = a_1 \ldots a_n \in \Sigma^*$.
184 Mit \[ V_{ij} := \left\{ A \in V \mid A \rightarrow_G^* \alert{a_i \ldots a_j} \right\}\]
185 ist \[ w \in L(G) \Leftrightarrow S \in V_{\alert{1n}} \]
186 \end{definition}
187
188 \begin{align*}
189 V_{ii} &= \left\{ A \in V \mid (A \rightarrow a_i) \in P \right\} \\
190 V_{ij} &= \left\{ A \in V \mid \exists k, B \in V_{ik}, C \in V_{k+1,j} \;.\; (A \rightarrow BC) \in P \right\}
191 \end{align*}
192 \end{frame}
193 }
194
195 \defineUnit{cykbeispiel}{%
196 \begin{frame}
197 \frametitle{CYK}
198 \setbeamercovered{dynamic}
199
200 \begin{block}{Idee}
201 Kombiniere \alert{Teilwörter} zum ganzen Wort, wenn möglich.
202 \begin{enumerate}
203 \item Initialisiere mit den \alert{$V_{ii}$}.
204 \item<3-5> Befülle die Tabelle von unten nach oben.
205 \end{enumerate}
206 \end{block}
207
208 \[ S \rightarrow AB \mid BC, \quad A \rightarrow BA \mid a, \quad B \rightarrow CC \mid b, \quad C \rightarrow AB \mid a \]
209 \begin{center}
210 \extrarowsep=5pt
211 \begin{tabu}to .8\textwidth{r|X[c]|X[c]|X[c]|X[c]|}
212 \tabucline{2-2}
213 4 & \alt<-4>{}{$S,\ldots$} \\ \tabucline{2-3}
214 3 & \alt<-3>{}{$\emptyset$} & \alt<-3>{}{$S, A, C$} \\ \tabucline{2-4}
215 2 & \alt<-2>{}{$A$} & \alt<-2>{}{$B$} & \alt<-2>{}{$B$} \\ \tabucline{2-5}
216 1 & \alt<-1>{}{$B$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} \\ \tabucline{2-5}
217 \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{1}{c}{\alert{b}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} \\
218 \end{tabu}
219 \end{center}
220 \end{frame}
221 }
222
223 \defineUnit{pda}{%
224 \begin{frame}
225 \frametitle{Kellerautomaten}
226 \setbeamercovered{dynamic}
227
228 \begin{definition}[Kellerautomat]
229 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
230 \begin{itemize}
231 \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$
232 \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$
233 \item endlichen \alert{Kelleralphabet} $\Gamma$
234 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
235 \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$
236 \item \alert{Kellerinitialisierung} $Z_0 \in \Gamma$
237 \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$
238 \end{itemize}
239 \end{definition}
240
241 \begin{center}
242 \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=4cm]
243 \node[state] (q0) {$q_i$};
244 \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_j$};
245
246 \draw[every edge] (q0) edge node {$a, X/\gamma$} (q1);
247 \end{tikzpicture}
248 \end{center}
249 \end{frame}
250 }
251
252 \defineUnit{pdaakzeptanz}{%
253 \begin{frame}
254 \frametitle{Kellerautomaten}
255 \setbeamercovered{dynamic}
256
257 \begin{definition}[Kellerautomat]
258 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
259 \begin{itemize}
260 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
261 \end{itemize}
262 \end{definition}
263
264 \vfill
265
266 \begin{definition}[Akzeptanz]
267 Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit Endzustand} gdw
268 \[ \exists \alert{f \in F}, \gamma \in \Gamma^*.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (\alert{f}, \epsilon, \gamma) \]
269 Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit leerem Keller} gdw
270 \[ \exists q \in Q.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (q, \epsilon, \alert{\epsilon}) \]
271 \end{definition}
272 \end{frame}
273 }
274
275 \defineUnit{pdabeispiel}{%
276 \begin{frame}
277 \frametitle{Kellerautomaten}
278 \setbeamercovered{dynamic}
279
280 \begin{definition}[Kellerautomat]
281 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
282 \begin{itemize}
283
284 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
285 \end{itemize}
286 \end{definition}
287
288 \vfill
289
290 \begin{example}[]
291 PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$.
292
293 \centering
294 \begin{tikzpicture}[automaton]
295
296 \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
297 \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
298
299 \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1);
300 \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1);
301
302 \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0);
303 \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0);
304
305 \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1);
306 \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1);
307 \end{tikzpicture}
308 \end{example}
309 \end{frame}
310 }