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+++ b/notes/tex/grammars.tex	Thu Jul 11 20:42:36 2013 +0200
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+\defineUnit{grammatik}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Grammatiken}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Kontextfreie Grammatik]
+        Eine \alert{kontextfreie Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ ist ein 4-Tupel:
+        \begin{description}
+            \item[V] endlich viele \alert{Nichtterminale} (Variablen)
+            \item[$\Sigma$] ein Alphabet von \alert{Terminalen}
+            \item[P] endlich viele \alert{Produktionen} $\subseteq V \times \left( V \cup \Sigma \right)^*$
+            \item[S] ein \alert{Startsymbol}
+        \end{description}
+    \end{definition}
+
+    \begin{example}[Vorbereitung 3]
+        $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$. Grammatik für alle Wörter ungerader Länge, bei denen alle Nullen vor der ersten Eins stehen und weniger Nullen als Einsen vorhanden sind.
+        \pause
+        \[
+            S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1
+        \]
+    \end{example}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{ableitung}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Ableitungsrelation}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Ableitungsrelation]
+        Eine CFG $G$ induziert eine \alert{Ableitungsrelation} $\rightarrow_G$ auf Wörtern über $V \cup \Sigma$:
+        \[
+            \alpha \rightarrow_G \beta
+        \]
+        gdw es eine Regel $A \rightarrow \gamma$ in $P$ mit Wörtern $\alpha_1, \alpha_2$ gibt, so dass
+        \[
+            \alpha = \alpha_1\alert{A}\alpha_2 \quad \text{und} \quad \beta = \alpha_1 \alert{\gamma} \alpha_2
+        \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{example}[Vorbereitung 3]
+        Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$:
+        \begin{align*}
+            S &\rightarrow_G 0S1 \rightarrow_G 00S11 \rightarrow_G 00S1111 \rightarrow_G 0011111 \\
+            \Rightarrow S &\rightarrow_G^* 0011111
+        \end{align*}
+    \end{example}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{cfl}{%
+\begin{frame}[c]
+    \frametitle{Kontextfreie Sprache}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Kontextfreie Sprache]
+        Eine kontextfreie Grammatik $G = (V, \Sigma, P, S)$ \alert{erzeugt} die Sprache
+        \[
+            L(G) := \left\{ w \in \Sigma^* \mid S \rightarrow_G^* w \right\}
+        \]
+        Eine Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ heißt \alert{kontextfrei} gdw es eine kontextfreie Grammatik $G$ gibt mit $L = L(G)$.
+    \end{definition}
+\end{frame} 
+}
+
+\defineUnit{cnf}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{CNF}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Chomsky-Normalform]
+        Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form
+        \[
+            A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC}
+        \]
+        haben.
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+
+    \begin{theorem}
+        Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit 
+        \[
+            L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}}
+        \]
+    \end{theorem}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{cnfkonstruktion}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{CNF Konstruktion}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Idee}
+        Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG.
+        \begin{enumerate}
+            \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen}
+            \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen}
+            \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale
+            \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$
+        \end{enumerate}
+    \end{block}
+
+    \vspace{1em}
+
+    \only<2> {
+        Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen.
+        \begin{align*}
+            S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\
+            \intertext{neu:}
+            S &\rightarrow \alert{b} \\
+            A &\rightarrow \alert{aA \mid a}
+        \end{align*}
+    }
+
+    \only<3> {
+        Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole.
+        \begin{align*}
+            S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\
+            \intertext{neu:}
+            A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\
+            S &\rightarrow \alert{a \mid bS}
+        \end{align*}
+    }
+
+    \only<4> {
+        Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal.
+        \begin{align*}
+            S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\
+            \intertext{neu:}
+            S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\
+            X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b}
+        \end{align*}
+    }
+
+    \only<5> {
+        Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$.
+        \begin{align*}
+            S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\
+            \intertext{neu:}
+            S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\
+            T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\
+        \end{align*}
+    }
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{nuetzlichessymbol}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Eigenschaften von Symbolen}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}
+        Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\
+        Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist
+        \begin{description}
+            \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt}
+            \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$
+            \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$
+        \end{description}
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+
+    \begin{theorem}
+        Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt.
+        \[
+            S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b
+        \]
+    \end{theorem}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{cyk}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{CYK}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus]
+        Der \alert{CYK-Algorithmus} entscheidet das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform in $\Oh(n^3)$. \\
+        Gegeben eine \alert{Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ in CNF und ein \alert{Wort} $w = a_1 \ldots a_n \in \Sigma^*$.
+        Mit \[ V_{ij} := \left\{ A \in V \mid A \rightarrow_G^* \alert{a_i \ldots a_j} \right\}\]
+        ist \[ w \in L(G) \Leftrightarrow S \in V_{\alert{1n}} \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{align*}
+        V_{ii} &= \left\{ A \in V \mid (A \rightarrow a_i) \in P \right\} \\
+        V_{ij} &= \left\{ A \in V \mid \exists k, B \in V_{ik}, C \in V_{k+1,j} \;.\; (A \rightarrow BC) \in P \right\}
+    \end{align*}
+\end{frame} 
+}
+
+\defineUnit{cykbeispiel}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{CYK}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Idee}
+        Kombiniere \alert{Teilwörter} zum ganzen Wort, wenn möglich.
+        \begin{enumerate}
+            \item Initialisiere mit den \alert{$V_{ii}$}.
+            \item<3-5> Befülle die Tabelle von unten nach oben.
+        \end{enumerate}
+    \end{block}
+
+    \[ S \rightarrow AB \mid BC, \quad A \rightarrow BA \mid a, \quad B \rightarrow CC \mid b, \quad C \rightarrow AB \mid a \]
+    \begin{center}
+        \extrarowsep=5pt
+        \begin{tabu}to .8\textwidth{r|X[c]|X[c]|X[c]|X[c]|}
+            \tabucline{2-2}
+            4 & \alt<-4>{}{$S,\ldots$} \\ \tabucline{2-3}
+            3 & \alt<-3>{}{$\emptyset$} & \alt<-3>{}{$S, A, C$} \\ \tabucline{2-4}
+            2 & \alt<-2>{}{$A$} & \alt<-2>{}{$B$} & \alt<-2>{}{$B$} \\ \tabucline{2-5}
+            1 & \alt<-1>{}{$B$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} \\ \tabucline{2-5}
+            \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{1}{c}{\alert{b}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} \\
+        \end{tabu}
+    \end{center}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{pda}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Kellerautomaten}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Kellerautomat]
+        Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
+        \begin{itemize}
+            \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$
+            \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$
+            \item endlichen \alert{Kelleralphabet} $\Gamma$
+            \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
+            \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$
+            \item \alert{Kellerinitialisierung} $Z_0 \in \Gamma$
+            \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$
+        \end{itemize}
+    \end{definition}
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=4cm]
+            \node[state] (q0) {$q_i$};
+            \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_j$};
+
+            \draw[every edge] (q0) edge node {$a, X/\gamma$} (q1);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{pdaakzeptanz}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Kellerautomaten}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Kellerautomat]
+        Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
+        \begin{itemize}
+            \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
+        \end{itemize}
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+
+    \begin{definition}[Akzeptanz]
+        Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit Endzustand} gdw
+        \[ \exists \alert{f \in F}, \gamma \in \Gamma^*.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (\alert{f}, \epsilon, \gamma) \]
+        Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit leerem Keller} gdw
+        \[ \exists q \in Q.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (q, \epsilon, \alert{\epsilon}) \]
+    \end{definition}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{pdabeispiel}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Kellerautomaten}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Kellerautomat]
+        Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
+        \begin{itemize}
+
+            \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
+        \end{itemize}
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+
+    \begin{example}[]
+        PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$.
+
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[automaton]
+
+            \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
+            \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
+
+            \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1);
+            \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1);
+
+            \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0);
+            \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0);
+
+            \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1);
+            \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{example}
+\end{frame}
+}