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comparison notes/tex/ue09_notes.tex @ 35:844698060e1c

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author Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
date Tue, 25 Jun 2013 14:27:47 +0200
parents d89b21ed9eb4
children 27fedbbdab6d
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equal deleted inserted replaced
34:d89b21ed9eb4 35:844698060e1c
17 \begin{center} 17 \begin{center}
18 \begin{tikzpicture}[auto] 18 \begin{tikzpicture}[auto]
19 \tikzstyle{rect} = [thick]; 19 \tikzstyle{rect} = [thick];
20 \tikzstyle{caption} = [align=left, anchor=north west]; 20 \tikzstyle{caption} = [align=left, anchor=north west];
21 21
22 \draw[rect, tumblue, fill=tumblue!10] (5.5, 0) rectangle (-5.5, 7) node[caption] {Alle Algorithmen}; 22 \draw[rect, tumblue, fill=tumblue!10] (5.5, 0) rectangle (-5.5, 7) node[caption] {Berechenbare Funktionen};
23 \draw[rect, dashed, tumred, fill=tumred!10] (4.5, 0.3) rectangle (-4.5, 6) node[caption] {Typ 0 - Rekursiv aufzählbar\\Turingmaschinen, $\lambda$-Kalkül}; 23 \draw[rect, dashed, tumred, fill=tumred!10] (4.5, 0.3) rectangle (-4.5, 6) node[caption] {Typ 0 - Rekursiv aufzählbar\\Turingmaschinen, $\lambda$-Kalkül};
24 \draw[rect, tumivory, fill=tumivory!10] (3.5, 0.6) rectangle (-3.5, 4.8) node[caption] {Typ 1 - Kontextsensitiv\\CSG}; 24 \draw[rect, tumivory, fill=tumivory!10] (3.5, 0.6) rectangle (-3.5, 4.8) node[caption] {Typ 1 - Kontextsensitiv\\CSG};
25 \draw[rect, tumorange, fill=tumorange!10] (2.5, 0.9) rectangle (-2.5, 3.6) node[caption] {Typ 2 - Kontextfrei\\PDA, CFG}; 25 \draw[rect, tumorange, fill=tumorange!10] (2.5, 0.9) rectangle (-2.5, 3.6) node[caption] {Typ 2 - Kontextfrei\\PDA, CFG};
26 \draw[rect, tumgreen, fill=tumgreen!10] (1.5, 1.2) rectangle (-1.5, 2.4) node[caption] {Typ 3 - Regulär\\DFA, RE}; 26 \draw[rect, tumgreen, fill=tumgreen!10] (1.5, 1.2) rectangle (-1.5, 2.4) node[caption] {Typ 3 - Regulär\\DFA, RE};
27 \end{tikzpicture} 27 \end{tikzpicture}
67 1 & \text{falls in $\pi$ $n$ Nullen am Stück vorkommen}\\ 67 1 & \text{falls in $\pi$ $n$ Nullen am Stück vorkommen}\\
68 0 & \text{sonst} 68 0 & \text{sonst}
69 \end{cases} 69 \end{cases}
70 \end{align*} 70 \end{align*}
71 \end{example} 71 \end{example}
72 \end{frame}
73
74 \begin{frame}
75 \frametitle{LOOP-Programme}
76 \setbeamercovered{dynamic}
77
78 \begin{definition}[LOOP-Programm]
79 Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\
80 Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$.
81 \begin{align*}
82 P &\rightarrow X := X + C \\
83 &\mid X := X - C \\
84 &\mid P; P \\
85 &\mid \mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END} \\
86 &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}}
87 \end{align*}
88 \end{definition}
89
90 \begin{itemize}
91 \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0.
92 \item $\mathbf{LOOP}\ x_i \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.}
93 \end{itemize}
94 \end{frame}
95
96 \begin{frame}
97 \frametitle{Primitive Rekursion}
98 \setbeamercovered{dynamic}
99
100 \begin{definition}[Basisfunktionen]
101 \alert{Primitiv Rekursiv} sind:
102 \begin{itemize}
103 \item Die konstante Funktion \alert{0}
104 \item Die \alert{Nachfolgerfunktion} $s(n) = n + 1$
105 \item Die \alert{Projektionsfunktion} $\pi_i^k : \N^k \mapsto \N, i \in [k]$
106 \[ \pi_i^k(x_1, \ldots, x_k) = x_i \]
107 \end{itemize}
108 \end{definition}
109
110 \begin{definition}[Komposition]
111 Sind $g$ und $h_i$ PR und $\bar{x} = (x_1, \ldots, x_n)$, dann ist auch \alert{$f$} PR:
112 \[ f(\bar{x}) = \alert{g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))} \]
113 \end{definition}
114 \end{frame}
115
116 \begin{frame}
117 \frametitle{Primitive Rekursion}
118 \setbeamercovered{dynamic}
119 \begin{block}{Basisfunktionen und Komposition}
120 Schon \alert{PR} sind:
121 \begin{itemize}
122 \item Konstante: $0$
123 \item Nachfolger: $s(n) = n + 1$
124 \item Projektion: $\pi_i^k : \N^k \mapsto \N$
125 \item Komposition: $f(\bar{x}) = g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))$
126 \end{itemize}
127 \end{block}
128
129 \begin{definition}[Primitive Rekursion]
130 Das Schema der \alert{primitiven Rekursion} erzeugt aus $g$ und $h$ die Funktion \alert{$f$}:
131 \begin{align*}
132 f(0, \bar{x}) &= g(\bar{x}) \\
133 f(\alert{m + 1}, \bar{x}) &= h(f(\alert{m}, \bar{x}), \alert{m}, \bar{x})
134 \end{align*}
135 \end{definition}
136 \end{frame}
137
138 \begin{frame}
139 \frametitle{PR-Programme}
140 \setbeamercovered{dynamic}
141
142 U.a. diese Programme sind laut Vorlesung oder Übung PR:
143 \begin{itemize}
144 \item \alert{$add(x, y) = x + y$}
145 \item \alert{$mult(x, y) = x \cdot y$}
146 \item $pred(x) = \max \left\{ 0, x - 1 \right\}$
147 \item \alert{$x \dot{-} y = \max \left\{ 0, x - y \right\}$}
148 \item $div(x, y) = x \div y$ (Ganzzahldivision)
149 \item $mod(x, y) = x \mod y$
150 \vspace{1.5em}
151 \item $tower(n) = 2^{2^{2^{\iddots}}}$ mit $tower(4) = 2^{16}$
152 \item $sqr(x) = x^2$
153 \item $twopow(n) = 2^n$
154 \item $ifthen(n, a, b) = \begin{cases} a & n \neq 0 \\ b & n = 0 \end{cases}$
155 \end{itemize}
156 \end{frame}
157
158 \begin{frame}
159 \frametitle{Erweitertes PR-Schema}
160 \setbeamercovered{dynamic}
161
162 \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema]
163 Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt
164 \begin{align*}
165 f(0, \bar{x}) &= t_0 \\
166 f(m + 1, \bar{x}) &= t
167 \end{align*}
168 wobei
169 \begin{itemize}
170 \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$
171 \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$.
172 \end{itemize}
173 \end{definition}
174
175 \begin{theorem}
176 Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus.
177 \end{theorem}
72 \end{frame} 178 \end{frame}
73 179
74 \begin{frame} 180 \begin{frame}
75 \frametitle{Programmieren mit TMs} 181 \frametitle{Programmieren mit TMs}
76 \setbeamercovered{dynamic} 182 \setbeamercovered{dynamic}
100 \end{align*} 206 \end{align*}
101 \end{example} 207 \end{example}
102 \end{frame} 208 \end{frame}
103 209
104 \begin{frame} 210 \begin{frame}
105 \frametitle{LOOP-Programme}
106 \setbeamercovered{dynamic}
107
108 \begin{definition}[LOOP-Programm]
109 Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\
110 Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$.
111 \begin{align*}
112 P &\rightarrow X := X + C \\
113 &\mid X := X - C \\
114 &\mid P; P \\
115 &\mid \mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END} \\
116 &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}}
117 \end{align*}
118 \end{definition}
119
120 \begin{itemize}
121 \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0.
122 \item $\mathbf{LOOP}\ x_i \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.}
123 \end{itemize}
124 \end{frame}
125
126 \begin{frame}
127 \frametitle{Primitive Rekursion}
128 \setbeamercovered{dynamic}
129
130 \begin{definition}[Basisfunktionen]
131 \alert{Primitiv Rekursiv} sind:
132 \begin{itemize}
133 \item Die konstante Funktion \alert{0}
134 \item Die \alert{Nachfolgerfunktion} $s(n) = n + 1$
135 \item Die \alert{Projektionsfunktion} $\pi_i^k : \N^k \mapsto \N, i \in [k]$
136 \[ \pi_i^k(x_1, \ldots, x_k) = x_i \]
137 \end{itemize}
138 \end{definition}
139
140 \begin{definition}[Komposition]
141 Sind $g$ und $h_i$ PR und $\bar{x} = (x_1, \ldots, x_n)$, dann ist auch \alert{$f$} PR:
142 \[ f(\bar{x}) = \alert{g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))} \]
143 \end{definition}
144 \end{frame}
145
146 \begin{frame}
147 \frametitle{Primitive Rekursion}
148 \setbeamercovered{dynamic}
149 \begin{block}{Basisfunktionen und Komposition}
150 Schon \alert{PR} sind:
151 \begin{itemize}
152 \item Konstante: $0$
153 \item Nachfolger: $s(n) = n + 1$
154 \item Projektion: $\pi_i^k : \N^k \mapsto \N$
155 \item Komposition: $f(\bar{x}) = g(h_1(\bar{x}), \ldots, h_k(\bar{x}))$
156 \end{itemize}
157 \end{block}
158
159 \begin{definition}[Primitive Rekursion]
160 Das Schema der \alert{primitiven Rekursion} erzeugt aus $g$ und $h$ die Funktion \alert{$f$}:
161 \begin{align*}
162 f(0, \bar{x}) &= g(\bar{x}) \\
163 f(\alert{m + 1}, \bar{x}) &= h(f(\alert{m}, \bar{x}), \alert{m}, \bar{x})
164 \end{align*}
165 \end{definition}
166 \end{frame}
167
168 \begin{frame}
169 \frametitle{PR-Programme}
170 \setbeamercovered{dynamic}
171
172 U.a. diese Programme sind laut Vorlesung oder Übung PR:
173 \begin{itemize}
174 \item \alert{$add(x, y) = x + y$}
175 \item \alert{$mult(x, y) = x \cdot y$}
176 \item $pred(x + 1) = \max \left\{ 0, x \right\}$
177 \item \alert{$x \dot{-} y = \max \left\{ 0, x - y \right\}$}
178 \item $div(x, y) = x \div y$ (Ganzzahldivision)
179 \item $mod(x, y) = x \mod y$
180 \vspace{1.5em}
181 \item $tower(n) = 2^{2^{2^{\iddots}}}$ mit $tower(4) = 2^{16}$
182 \item $sqr(x) = x^2$
183 \item $twopow(n) = 2^n$
184 \item $ifthen(n, a, b) = \begin{cases} a & n = 0 \\ b & n \neq 0 \end{cases}$
185 \end{itemize}
186 \end{frame}
187
188 \begin{frame}
189 \frametitle{Erweitertes PR-Schema}
190 \setbeamercovered{dynamic}
191
192 \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema]
193 Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt
194 \begin{align*}
195 f(0, \bar{x}) &= t_0 \\
196 f(m + 1, \bar{x}) &= t
197 \end{align*}
198 wobei
199 \begin{itemize}
200 \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$
201 \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$.
202 \end{itemize}
203 \end{definition}
204
205 \begin{theorem}
206 Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus.
207 \end{theorem}
208 \end{frame}
209
210 \begin{frame}
211 \frametitle{WHILE-Programme} 211 \frametitle{WHILE-Programme}
212 \setbeamercovered{dynamic} 212 \setbeamercovered{dynamic}
213 213
214 \begin{definition}[WHILE-Programm] 214 \begin{definition}[WHILE-Programm]
215 Syntax von \alert{WHILE-Programmen}.\\ 215 Syntax von \alert{WHILE-Programmen}.\\