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comparison notes/tex/ue07_notes.tex @ 28:fe6b8e2da038

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ue07 notes
author Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
date Mon, 10 Jun 2013 23:21:11 +0200
parents
children 19b94914c0db
comparison
equal deleted inserted replaced
27:f7b822da4fd7 28:fe6b8e2da038
1 \documentclass[compress, german, t]{beamer}
2
3 \usepackage[ngerman,english]{babel}
4 \uselanguage{German}
5 \languagepath{German}
6
7 \usepackage[T1]{fontenc}
8 \usepackage[utf8]{inputenc}
9
10 \usepackage{helvet}
11 \usepackage{url}
12 \usepackage{listings}
13 \usepackage{xcolor}
14 \usepackage{tikz}
15 \usepackage{pgfplots}
16 \usetikzlibrary{automata}
17 \usetikzlibrary{calc}
18 \usetikzlibrary{shapes.geometric}
19 \usetikzlibrary{positioning}
20 \usepackage{tabu}
21
22 \usepackage{beamerthemeLEA2}
23
24 \newcommand{\N} {\mathbb{N}} % natürliche Zahlen
25 \newcommand{\Z} {\mathbb{Z}} % ganze Zahlen
26 \newcommand{\R} {\mathbb{R}} % reelle Zahlen
27 \newcommand{\Prob} {\mathrm{P}} % Wahrscheinlichkeit
28 \newcommand{\Oh} {\mathcal{O}} % O-Notation (Landau-Symbole)
29 \newcommand{\mycite}[1]{\textcolor{tumgreen}{[#1]}}
30
31 \tikzstyle{every edge} = [draw,very thick,->,>=latex]
32 \tikzstyle{every state} = [circle,thick,draw,fill=tumblue!10]
33 \tikzstyle{automaton} = [shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=]
34 \tikzstyle{small} = [every node/.style={scale=0.5}, baseline=(current bounding box.north), font=\LARGE]
35
36 \title{Übung 7: CYK und Kellerautomaten}
37 \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013}
38 \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}}
39
40 \begin{document}
41
42 \begin{frame}
43 \titlepage
44 \end{frame}
45
46 \begin{frame}
47 \frametitle{CYK}
48 \setbeamercovered{dynamic}
49
50 \begin{definition}[Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus]
51 Der \alert{CYK-Algorithmus} entscheidet das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform in $\Oh(n^3)$. \\
52 Gegeben eine \alert{Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ in CNF und ein \alert{Wort} $w = a_1 \ldots a_n \in \Sigma^*$.
53 Mit \[ V_{ij} := \left\{ A \in V \mid A \rightarrow_G^* \alert{a_i \ldots a_j} \right\}\]
54 ist \[ w \in L(G) \Leftrightarrow S \in V_{\alert{1n}} \]
55 \end{definition}
56
57 \begin{align*}
58 V_{ii} &= \left\{ A \in V \mid (A \rightarrow a_i) \in P \right\} \\
59 V_{ij} &= \left\{ A \in V \mid \exists k, B \in V_{ik}, C \in V_{k+1,j} \;.\; (A \rightarrow BC) \in P \right\}
60 \end{align*}
61
62 \end{frame}
63
64 \begin{frame}
65 \frametitle{CYK}
66 \setbeamercovered{dynamic}
67
68 \begin{block}{Idee}
69 Kombiniere \alert{Teilwörter} zum ganzen Wort, wenn möglich.
70 \begin{enumerate}
71 \item Initialisiere mit den \alert{$V_{ii}$}.
72 \item<3-5> Befülle die Tabelle von unten nach oben.
73 \end{enumerate}
74 \end{block}
75
76 \[ S \rightarrow AB \mid BC, \quad A \rightarrow BA \mid a, \quad B \rightarrow CC \mid b, \quad C \rightarrow AB \mid a \]
77 \begin{center}
78 \extrarowsep=5pt
79 \begin{tabu}to .8\textwidth{r|X[c]|X[c]|X[c]|X[c]|}
80 \tabucline{2-2}
81 4 & \alt<-4>{}{$S,\ldots$} \\ \tabucline{2-3}
82 3 & \alt<-3>{}{$\emptyset$} & \alt<-3>{}{$S, A, C$} \\ \tabucline{2-4}
83 2 & \alt<-2>{}{$A$} & \alt<-2>{}{$B$} & \alt<-2>{}{$B$} \\ \tabucline{2-5}
84 1 & \alt<-1>{}{$B$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} \\ \tabucline{2-5}
85 \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{1}{c}{\alert{b}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} \\
86 \end{tabu}
87 \end{center}
88 \end{frame}
89
90 \begin{frame}
91 \frametitle{Kellerautomaten}
92 \setbeamercovered{dynamic}
93
94 \begin{definition}[Kellerautomat]
95 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
96 \begin{itemize}
97 \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$
98 \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$
99 \item endlichen \alert{Kelleralphabet} $\Gamma$
100 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \times \Gamma \mapsto P(Q \times \Gamma^*)$
101 \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$
102 \item \alert{Kellerinitialisierung} $Z_0 \in \Gamma$
103 \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$
104 \end{itemize}
105 \end{definition}
106 \end{frame}
107
108 \begin{frame}
109 \frametitle{Kellerautomaten}
110 \setbeamercovered{dynamic}
111
112 \begin{definition}[Kellerautomat]
113 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
114 \begin{itemize}
115 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \times \Gamma \mapsto P(Q \times \Gamma^*)$
116 \end{itemize}
117 \end{definition}
118
119 \vfill
120
121 \begin{definition}[Akzeptanz]
122 Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit Endzustand} gdw
123 \[ \exists \alert{f \in F}, \gamma \in \Gamma^*.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (\alert{f}, \epsilon, \gamma) \]
124 Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit leerem Keller} gdw
125 \[ \exists q \in Q.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (q, \epsilon, \alert{\epsilon}) \]
126 \end{definition}
127 \end{frame}
128
129 \begin{frame}
130 \frametitle{Kellerautomaten}
131 \setbeamercovered{dynamic}
132
133 \begin{definition}[Kellerautomat]
134 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
135 \begin{itemize}
136 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \times \Gamma \mapsto P(Q \times \Gamma^*)$
137 \end{itemize}
138 \end{definition}
139
140 \vfill
141
142 \begin{example}[]
143 PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$.
144
145 \centering
146 \begin{tikzpicture}[automaton]
147
148 \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
149 \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};
150
151 \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1);
152 \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1);
153
154 \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0);
155 \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0);
156
157 \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1);
158 \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1);
159 \end{tikzpicture}
160 \end{example}
161 \end{frame}
162
163 \begin{frame}
164 \frametitle{Kontextfreie Sprachen}
165 \setbeamercovered{dynamic}
166
167 \begin{center}
168 \begin{tikzpicture}[node distance=3cm]
169 \node (CFG) {CFG};
170 \node (CNF) [right of = CFG] {CNF};
171 \node (PDAe) [right of = CNF] {PDA$_\epsilon$};
172 \node (PDAf) [right of = PDAe] {PDA$_F$};
173
174 \draw [every edge, <->] (CFG) -- (CNF);
175 \draw [every edge, <->] (CNF) -- (PDAe);
176 \draw [every edge, <->] (PDAe) -- (PDAf);
177 \end{tikzpicture}
178 \end{center}
179
180 \pause
181 \vfill
182
183 \begin{itemize}
184 \item \alert{Abschlusseigenschaften}
185 \end{itemize}
186 \begin{table}
187 \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|ccccc}
188 & Schnitt & Vereinigung & Komplement & Produkt & Stern \\ \tabucline{}
189 REG & ja & ja & ja & ja & ja\\
190 CFL & nein & ja & nein & ja & ja
191 \end{tabu}
192 \end{table}
193 \begin{itemize}
194 \item \alert{Entscheidbarkeit}
195 \end{itemize}
196 \begin{table}
197 \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|cccc}
198 & Wortproblem & Leerheit & Äquivalenz & Schnittproblem\\ \tabucline{}
199 DFA & $\Oh(n)$ & ja & ja & ja \\
200 CFG & $\Oh(n^3)$ & ja & nein & nein
201 \end{tabu}
202 \end{table}
203 \end{frame}
204
205 \end{document}