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ue07 notes
author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Mon, 10 Jun 2013 23:21:11 +0200 |
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\documentclass[compress, german, t]{beamer} \usepackage[ngerman,english]{babel} \uselanguage{German} \languagepath{German} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{helvet} \usepackage{url} \usepackage{listings} \usepackage{xcolor} \usepackage{tikz} \usepackage{pgfplots} \usetikzlibrary{automata} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{shapes.geometric} \usetikzlibrary{positioning} \usepackage{tabu} \usepackage{beamerthemeLEA2} \newcommand{\N} {\mathbb{N}} % natürliche Zahlen \newcommand{\Z} {\mathbb{Z}} % ganze Zahlen \newcommand{\R} {\mathbb{R}} % reelle Zahlen \newcommand{\Prob} {\mathrm{P}} % Wahrscheinlichkeit \newcommand{\Oh} {\mathcal{O}} % O-Notation (Landau-Symbole) \newcommand{\mycite}[1]{\textcolor{tumgreen}{[#1]}} \tikzstyle{every edge} = [draw,very thick,->,>=latex] \tikzstyle{every state} = [circle,thick,draw,fill=tumblue!10] \tikzstyle{automaton} = [shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=] \tikzstyle{small} = [every node/.style={scale=0.5}, baseline=(current bounding box.north), font=\LARGE] \title{Übung 7: CYK und Kellerautomaten} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \begin{frame} \frametitle{CYK} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus] Der \alert{CYK-Algorithmus} entscheidet das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform in $\Oh(n^3)$. \\ Gegeben eine \alert{Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ in CNF und ein \alert{Wort} $w = a_1 \ldots a_n \in \Sigma^*$. Mit \[ V_{ij} := \left\{ A \in V \mid A \rightarrow_G^* \alert{a_i \ldots a_j} \right\}\] ist \[ w \in L(G) \Leftrightarrow S \in V_{\alert{1n}} \] \end{definition} \begin{align*} V_{ii} &= \left\{ A \in V \mid (A \rightarrow a_i) \in P \right\} \\ V_{ij} &= \left\{ A \in V \mid \exists k, B \in V_{ik}, C \in V_{k+1,j} \;.\; (A \rightarrow BC) \in P \right\} \end{align*} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{CYK} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} Kombiniere \alert{Teilwörter} zum ganzen Wort, wenn möglich. \begin{enumerate} \item Initialisiere mit den \alert{$V_{ii}$}. \item<3-5> Befülle die Tabelle von unten nach oben. \end{enumerate} \end{block} \[ S \rightarrow AB \mid BC, \quad A \rightarrow BA \mid a, \quad B \rightarrow CC \mid b, \quad C \rightarrow AB \mid a \] \begin{center} \extrarowsep=5pt \begin{tabu}to .8\textwidth{r|X[c]|X[c]|X[c]|X[c]|} \tabucline{2-2} 4 & \alt<-4>{}{$S,\ldots$} \\ \tabucline{2-3} 3 & \alt<-3>{}{$\emptyset$} & \alt<-3>{}{$S, A, C$} \\ \tabucline{2-4} 2 & \alt<-2>{}{$A$} & \alt<-2>{}{$B$} & \alt<-2>{}{$B$} \\ \tabucline{2-5} 1 & \alt<-1>{}{$B$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} \\ \tabucline{2-5} \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{1}{c}{\alert{b}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} \\ \end{tabu} \end{center} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Kellerautomaten} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kellerautomat] Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem \begin{itemize} \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$ \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$ \item endlichen \alert{Kelleralphabet} $\Gamma$ \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \times \Gamma \mapsto P(Q \times \Gamma^*)$ \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$ \item \alert{Kellerinitialisierung} $Z_0 \in \Gamma$ \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$ \end{itemize} \end{definition} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Kellerautomaten} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kellerautomat] Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem \begin{itemize} \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \times \Gamma \mapsto P(Q \times \Gamma^*)$ \end{itemize} \end{definition} \vfill \begin{definition}[Akzeptanz] Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit Endzustand} gdw \[ \exists \alert{f \in F}, \gamma \in \Gamma^*.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (\alert{f}, \epsilon, \gamma) \] Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit leerem Keller} gdw \[ \exists q \in Q.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (q, \epsilon, \alert{\epsilon}) \] \end{definition} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Kellerautomaten} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kellerautomat] Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem \begin{itemize} \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \times \Gamma \mapsto P(Q \times \Gamma^*)$ \end{itemize} \end{definition} \vfill \begin{example}[] PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$. \centering \begin{tikzpicture}[automaton] \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1); \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1); \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0); \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0); \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1); \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1); \end{tikzpicture} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Kontextfreie Sprachen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{center} \begin{tikzpicture}[node distance=3cm] \node (CFG) {CFG}; \node (CNF) [right of = CFG] {CNF}; \node (PDAe) [right of = CNF] {PDA$_\epsilon$}; \node (PDAf) [right of = PDAe] {PDA$_F$}; \draw [every edge, <->] (CFG) -- (CNF); \draw [every edge, <->] (CNF) -- (PDAe); \draw [every edge, <->] (PDAe) -- (PDAf); \end{tikzpicture} \end{center} \pause \vfill \begin{itemize} \item \alert{Abschlusseigenschaften} \end{itemize} \begin{table} \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|ccccc} & Schnitt & Vereinigung & Komplement & Produkt & Stern \\ \tabucline{} REG & ja & ja & ja & ja & ja\\ CFL & nein & ja & nein & ja & ja \end{tabu} \end{table} \begin{itemize} \item \alert{Entscheidbarkeit} \end{itemize} \begin{table} \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|cccc} & Wortproblem & Leerheit & Äquivalenz & Schnittproblem\\ \tabucline{} DFA & $\Oh(n)$ & ja & ja & ja \\ CFG & $\Oh(n^3)$ & ja & nein & nein \end{tabu} \end{table} \end{frame} \end{document}