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ue10 notes
author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Tue, 02 Jul 2013 00:59:43 +0200 |
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children | 27fedbbdab6d |
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\input{preamble.tex} \title{Übung 10: $\mu$Rekursion, Entscheidbarkeit} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \begin{frame} \frametitle{LOOP-Programme} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[LOOP-Programm] Syntax von \alert{LOOP-Programmen}.\\ Es ist $X \in \left\{ x_0, x_1, \ldots \right\}$ und $C \in \N$. \begin{align*} P &\rightarrow X := X + C \\ &\mid X := X - C \\ &\mid P; P \\ &\mid \mathbf{LOOP}\ X \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END} \\ &\mid \textcolor{gray}{\mathbf{IF}\ X = 0 \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{ELSE}\ Q \ \mathbf{END}} \end{align*} \end{definition} \begin{itemize} \item Ausgabe steht in $x_0$, Eingaben in $x_1, \ldots, x_n$, Rest ist 0. \item $\mathbf{LOOP}\ x_i \ \mathbf{DO}\ P \ \mathbf{END}$ führt $P$ genau $n$ mal aus, wobei $n$ der Anfangswert von $x_i$ ist. \alert{Zuweisungen an $x_i$ in $P$ ändern die Anzahl der Durchläufe nicht.} \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Erweitertes PR-Schema} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Erweitertes PR-Schema] Das \alert{erweiterte Schema der primitiven Rekursion} erlaubt \begin{align*} f(0, \bar{x}) &= t_0 \\ f(m + 1, \bar{x}) &= t \end{align*} wobei \begin{itemize} \item $t_0$ enthält nur PR-Funktionen und die $x_i$ \item $t$ enthält nur \alert{$f(m, \bar{x})$}, PR Funktionen, \alert{$m$} und die $x_i$. \end{itemize} \end{definition} \begin{theorem} Das erweiterte Schema der primitiven Rekursion führt nicht aus \alert{PR} heraus. \end{theorem} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Beschränkte Operationen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition} Ein Prädikat $P$ ist \alert{PR}, wenn es eine PR Funktion $\hat{P}$ gibt mit \[\hat{P}(x) = 1 \Longleftrightarrow P(x)\] \end{definition} \begin{definition}[Beschränkte Operationen] Ist $P$ PR, dann auch \begin{itemize} \item der \alert{beschränkte max-Operator} \[\max \left\{ x \alert{\leq n} \mid P(x) \right\}, \quad \max \left\{ \emptyset \right\} = 0\] \item der \alert{beschränkte Existenzquantor} \[\exists x \alert{\leq n}. P(x)\] \end{itemize} \end{definition} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{$\mu$-Rekursion} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[$\mu$-Operator] Sei $f: \N^{k+1} \mapsto \N$ eine Funktion.\\Der \alert{$\mu$-Operator} definiert eine neue Funktion $\mu f : \N^k \mapsto \N$: \[(\mu f)(\bar{x}) := \begin{cases} \min \left\{ n \in \N \mid \alert{f (n, \bar{x}) = 0}\right\} & \text{falls } n \text{ existent\alert{$^*$}} \\ \perp & \text{sonst}\end{cases}\] \end{definition} \vfill \begin{itemize} \item \alert{$^*$}Für alle \alert{$m \leq n$} muss $f$ definiert sein: $f(m, \bar{x}) \neq \perp$ \item PR + $\mu$ = $\mu$-Rekursion \item In Pseudocode: \begin{align*} \mu f(\bar{x}) &= find(0, \bar{x}) \\ find(n, \bar{x}) &= \mathbf{if}\ f(n, \bar{x}) = 0 \ \mathbf{then}\ n \ \mathbf{else}\ find(n+1, \bar{x}) \end{align*} \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Übersetzungen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{center} \begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm] \node (WH) {WHILE}; \node (GO) [above left of = WH] {GOTO}; \node (TM) [above right of = WH] {TM}; \node (LO) [below of = WH] {LOOP}; \node (PR) [left of = LO] {PR}; \node (MR) [left of = WH] {$\mu$R}; \draw [every edge, ->] (LO) -- (WH); \draw [every edge, ->] (PR) -- (MR); \draw [every edge, tumgreen, <->] (LO) -- (PR); \draw [every edge, tumgreen, <->] (WH) -- (MR); \draw [every edge, <->] (WH) -- (GO); \draw [every edge, ->] (WH) -- (TM); \draw [every edge, ->] (TM) -- (GO); \end{tikzpicture} \end{center} \vfill LOOP kann in WHILE \alert{übersetzt} werden, WHILE ist also \alert{mindestens so mächtig} wie LOOP (sogar mächtiger). \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Berechenbarkeit} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Intuitive Berechenbarkeit] Eine Funktion $f : \N^k \mapsto \N$ heißt \alert{intuitiv berechenbar}, wenn es einen Algorithmus gibt, der bei Eingabe $(n_1, \ldots, n_k) \in \N^k$ \begin{itemize} \item nach \alert{endlich vielen Schritten} mit Ergebnis $f(n_1, \ldots, n_k)$ hält, falls $f(\ldots)$ definiert ist, \item und \alert{nicht terminiert}, falls $f(\ldots)$ nicht definiert ist. \end{itemize} \end{definition} \vfill \begin{block}{Churchsche These (nicht beweisbar)} Turing-Maschinen können genau \alert{alle} intuitiv berechenbaren Funktionen berechnen. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Entscheidbarkeit} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Entscheidbarkeit] Eine Menge $A$ heißt \alert{entscheidbar} gdw ihre \alert{charakteristische Funktion} \[ \chi_A(x) := \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ 0 & \text{falls } x \not \in A \end{cases} \] berechenbar ist. \end{definition} \begin{definition}[Semi-Entscheidbarkeit] Eine Menge $A$ heißt \alert{semi-entscheidbar} gdw \[ \chi'_A(x) := \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ \perp & \text{falls } x \not \in A \end{cases} \] berechenbar ist. \end{definition} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Reduzierbarkeit} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Reduzierbarkeit] Eine Menge $A \subseteq \Sigma^*$ ist \alert{reduzierbar} auf eine Menge $B \subseteq \Gamma^*$ gdw es eine totale und berechenbare Funktion $f:\Sigma^* \mapsto \Gamma^*$ gibt mit \[\forall w \in \Sigma^*. w \in A \Longleftrightarrow f(w) \in B\] Wir schreiben dann \alert{$A \leq B$}. \end{definition} \vfill \structure{Intuition}: \begin{itemize} \item $B$ ist \alert{mindestens so schwer} zu lösen wie $A$ \item Ist $A$ unlösbar, dann auch $B$. \item Ist $B$ unlösbar, dann erst recht $A$. \end{itemize} \end{frame} \end{document}