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author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Thu, 11 Jul 2013 23:38:43 +0200 |
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\defineUnit{grammatik}{% \begin{frame} \frametitle{Grammatiken} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kontextfreie Grammatik] Eine \alert{kontextfreie Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ ist ein 4-Tupel: \begin{description} \item[V] endlich viele \alert{Nichtterminale} (Variablen) \item[$\Sigma$] ein Alphabet von \alert{Terminalen} \item[P] endlich viele \alert{Produktionen} $\subseteq V \times \left( V \cup \Sigma \right)^*$ \item[S] ein \alert{Startsymbol} \end{description} \end{definition} \begin{example}[Vorbereitung 3] $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$. Grammatik für alle Wörter ungerader Länge, bei denen alle Nullen vor der ersten Eins stehen und weniger Nullen als Einsen vorhanden sind. \pause \[ S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1 \] \end{example} \end{frame} } \defineUnit{ableitung}{% \begin{frame} \frametitle{Ableitungsrelation} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Ableitungsrelation] Eine CFG $G$ induziert eine \alert{Ableitungsrelation} $\rightarrow_G$ auf Wörtern über $V \cup \Sigma$: \[ \alpha \rightarrow_G \beta \] gdw es eine Regel $A \rightarrow \gamma$ in $P$ mit Wörtern $\alpha_1, \alpha_2$ gibt, so dass \[ \alpha = \alpha_1\alert{A}\alpha_2 \quad \text{und} \quad \beta = \alpha_1 \alert{\gamma} \alpha_2 \] \end{definition} \begin{example}[Vorbereitung 3] Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$: \begin{align*} S &\rightarrow_G 0S1 \rightarrow_G 00S11 \rightarrow_G 00S1111 \rightarrow_G 0011111 \\ \Rightarrow S &\rightarrow_G^* 0011111 \end{align*} \end{example} \end{frame} } \defineUnit{cfl}{% \begin{frame}[c] \frametitle{Kontextfreie Sprache} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kontextfreie Sprache] Eine kontextfreie Grammatik $G = (V, \Sigma, P, S)$ \alert{erzeugt} die Sprache \[ L(G) := \left\{ w \in \Sigma^* \mid S \rightarrow_G^* w \right\} \] Eine Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ heißt \alert{kontextfrei} gdw es eine kontextfreie Grammatik $G$ gibt mit $L = L(G)$. \end{definition} \end{frame} } \defineUnit{induktivesprachdefinition}{% \begin{frame} \frametitle{Induktive Sprachdefinition} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Induktive Sprachdefinition} Die \alert{induktive Definition} ($\Longrightarrow$) erzeugt Wörter \alert{bottom-up}, setzt also kleine Wörter zu größeren zusammen. \end{block} \begin{example}[Vorbereitung 3] Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$: \begin{align*} 1 &\in L_G(S) \\ u \in L_G(S) \quad \Longrightarrow \quad 0\alert{u}1 &\in L_G(S) \\ u \in L_G(S) \quad \Longrightarrow \quad \alert{u}11 &\in L_G(S) \end{align*} Also z.B: \[ 1 \in L_G(S) \Longrightarrow 0\alert{1}0 \in L_G(S) \Longrightarrow \alert{010}11 \in L_G(S) \] \end{example} \end{frame} } \defineUnit{cnf}{% \begin{frame} \frametitle{CNF} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Chomsky-Normalform] Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form \[ A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC} \] haben. \end{definition} \vfill \begin{theorem} Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit \[ L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}} \] \end{theorem} \end{frame} } \defineUnit{cnfkonstruktion}{% \begin{frame} \frametitle{CNF Konstruktion} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \begin{enumerate} \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen} \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen} \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$ \end{enumerate} \end{block} \vspace{1em} \only<2> { Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen. \begin{align*} S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\ \intertext{neu:} S &\rightarrow \alert{b} \\ A &\rightarrow \alert{aA \mid a} \end{align*} } \only<3> { Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole. \begin{align*} S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\ \intertext{neu:} A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\ S &\rightarrow \alert{a \mid bS} \end{align*} } \only<4> { Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal. \begin{align*} S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\ \intertext{neu:} S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\ X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b} \end{align*} } \only<5> { Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$. \begin{align*} S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\ \intertext{neu:} S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\ T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\ \end{align*} } \end{frame} } \defineUnit{nuetzlichessymbol}{% \begin{frame} \frametitle{Eigenschaften von Symbolen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition} Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\ Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist \begin{description} \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt} \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$ \end{description} \end{definition} \vfill \begin{theorem} Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt. \[ S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b \] \end{theorem} \end{frame} } \defineUnit{cfpl}{% \begin{frame} \frametitle{Pumping Lemma für CFLs} \setbeamercovered{dynamic} \begin{theorem}[Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen] Sei $L \subseteq \Sigma^*$ kontextfrei. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in L$ mit $|z| \geq n$ so in \alert{$z = uvwxy$} zerlegen lässt, dass \begin{itemize} \item $vx \alert{\neq \epsilon}$ \item $|vwx| \alert{\leq n}$ \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iwx^iy \in L$ \end{itemize} \end{theorem} \vfill \begin{center} \begin{columns} \begin{column}{.4\textwidth} \begin{tikzpicture} \coordinate (outer) at (2, 2.4); \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); % outer \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); % middle \draw[fill=tumgreen!40] (1.2, 0) -- (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (3.2, 0) -- (middle) -- (1.2, 0); % inner \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (1.7, 0); % path \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle) -- (inner); \draw[fill] (outer) circle (1pt); \draw[fill] (middle) circle (1pt); \draw[fill] (inner) circle (1pt); % nodes \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; \node[below] at (1.45, 0) {$v$}; \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; \node[below] at (2.95, 0) {$x$}; \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; \end{tikzpicture} \end{column} \begin{column}{.4\textwidth} \begin{tikzpicture} \coordinate (outer) at (2, 2.4); \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); % outer \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); % inner \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0.6) -- (middle) -- (2.7, 0.6) -- (1.7, 0.6); % path \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle); \draw[fill] (outer) circle (1pt); \draw[fill] (middle) circle (1pt); % nodes \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; \end{tikzpicture} \end{column} \end{columns} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{cyk}{% \begin{frame} \frametitle{CYK} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus] Der \alert{CYK-Algorithmus} entscheidet das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform in $\Oh(n^3)$. \\ Gegeben eine \alert{Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ in CNF und ein \alert{Wort} $w = a_1 \ldots a_n \in \Sigma^*$. Mit \[ V_{ij} := \left\{ A \in V \mid A \rightarrow_G^* \alert{a_i \ldots a_j} \right\}\] ist \[ w \in L(G) \Leftrightarrow S \in V_{\alert{1n}} \] \end{definition} \begin{align*} V_{ii} &= \left\{ A \in V \mid (A \rightarrow a_i) \in P \right\} \\ V_{ij} &= \left\{ A \in V \mid \exists k, B \in V_{ik}, C \in V_{k+1,j} \;.\; (A \rightarrow BC) \in P \right\} \end{align*} \end{frame} } \defineUnit{cykbeispiel}{% \begin{frame} \frametitle{CYK} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} Kombiniere \alert{Teilwörter} zum ganzen Wort, wenn möglich. \begin{enumerate} \item Initialisiere mit den \alert{$V_{ii}$}. \item<3-5> Befülle die Tabelle von unten nach oben. \end{enumerate} \end{block} \[ S \rightarrow AB \mid BC, \quad A \rightarrow BA \mid a, \quad B \rightarrow CC \mid b, \quad C \rightarrow AB \mid a \] \begin{center} \extrarowsep=5pt \begin{tabu}to .8\textwidth{r|X[c]|X[c]|X[c]|X[c]|} \tabucline{2-2} 4 & \alt<-4>{}{$S,\ldots$} \\ \tabucline{2-3} 3 & \alt<-3>{}{$\emptyset$} & \alt<-3>{}{$S, A, C$} \\ \tabucline{2-4} 2 & \alt<-2>{}{$A$} & \alt<-2>{}{$B$} & \alt<-2>{}{$B$} \\ \tabucline{2-5} 1 & \alt<-1>{}{$B$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} \\ \tabucline{2-5} \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{1}{c}{\alert{b}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} \\ \end{tabu} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{pda}{% \begin{frame} \frametitle{Kellerautomaten} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kellerautomat] Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem \begin{itemize} \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$ \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$ \item endlichen \alert{Kelleralphabet} $\Gamma$ \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$ \item \alert{Kellerinitialisierung} $Z_0 \in \Gamma$ \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$ \end{itemize} \end{definition} \begin{center} \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=4cm] \node[state] (q0) {$q_i$}; \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_j$}; \draw[every edge] (q0) edge node {$a, X/\gamma$} (q1); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{pdaakzeptanz}{% \begin{frame} \frametitle{Kellerautomaten} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kellerautomat] Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem \begin{itemize} \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ \end{itemize} \end{definition} \vfill \begin{definition}[Akzeptanz] Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit Endzustand} gdw \[ \exists \alert{f \in F}, \gamma \in \Gamma^*.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (\alert{f}, \epsilon, \gamma) \] Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit leerem Keller} gdw \[ \exists q \in Q.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (q, \epsilon, \alert{\epsilon}) \] \end{definition} \end{frame} } \defineUnit{pdabeispiel}{% \begin{frame} \frametitle{Kellerautomaten} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kellerautomat] Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem \begin{itemize} \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ \end{itemize} \end{definition} \vfill \begin{example}[] PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$. \centering \begin{tikzpicture}[automaton] \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1); \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1); \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0); \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0); \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1); \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1); \end{tikzpicture} \end{example} \end{frame} } \defineUnit{kontextfreiesprachen}{% \begin{frame} \frametitle{Kontextfreie Sprachen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{center} \begin{tikzpicture}[node distance=3cm] \node (CFG) {CFG}; \node (CNF) [right of = CFG] {CNF}; \node (PDAe) [right of = CNF] {PDA$_\epsilon$}; \node (PDAf) [right of = PDAe] {PDA$_F$}; \draw [every edge, <->] (CFG) -- (CNF); \draw [every edge, <->] (CNF) -- (PDAe); \draw [every edge, <->] (PDAe) -- (PDAf); \end{tikzpicture} \end{center} \vfill \begin{itemize} \item \alert{Abschlusseigenschaften} \end{itemize} \begin{table} \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|ccccc} & Schnitt & Vereinigung & Komplement & Produkt & Stern \\ \tabucline{} REG & ja & ja & ja & ja & ja\\ CFL & nein & ja & nein & ja & ja \end{tabu} \end{table} \begin{itemize} \item \alert{Entscheidbarkeit} \end{itemize} \begin{table} \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|cccc} & Wortproblem & Leerheit & Äquivalenz & Schnittproblem\\ \tabucline{} DFA & $\Oh(n)$ & ja & ja & ja \\ CFG & $\Oh(n^3)$ & ja & nein & nein \end{tabu} \end{table} \end{frame} }