\defineUnit{grammatik}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Grammatiken}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Kontextfreie Grammatik]
        Eine \alert{kontextfreie Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ ist ein 4-Tupel:
        \begin{description}
            \item[V] endlich viele \alert{Nichtterminale} (Variablen)
            \item[$\Sigma$] ein Alphabet von \alert{Terminalen}
            \item[P] endlich viele \alert{Produktionen} $\subseteq V \times \left( V \cup \Sigma \right)^*$
            \item[S] ein \alert{Startsymbol}
        \end{description}
    \end{definition}

    \begin{example}[Vorbereitung 3]
        $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$. Grammatik für alle Wörter ungerader Länge, bei denen alle Nullen vor der ersten Eins stehen und weniger Nullen als Einsen vorhanden sind.
        \pause
        \[
            S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1
        \]
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{ableitung}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Ableitungsrelation}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Ableitungsrelation]
        Eine CFG $G$ induziert eine \alert{Ableitungsrelation} $\rightarrow_G$ auf Wörtern über $V \cup \Sigma$:
        \[
            \alpha \rightarrow_G \beta
        \]
        gdw es eine Regel $A \rightarrow \gamma$ in $P$ mit Wörtern $\alpha_1, \alpha_2$ gibt, so dass
        \[
            \alpha = \alpha_1\alert{A}\alpha_2 \quad \text{und} \quad \beta = \alpha_1 \alert{\gamma} \alpha_2
        \]
    \end{definition}

    \begin{example}[Vorbereitung 3]
        Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$:
        \begin{align*}
            S &\rightarrow_G 0S1 \rightarrow_G 00S11 \rightarrow_G 00S1111 \rightarrow_G 0011111 \\
            \Rightarrow S &\rightarrow_G^* 0011111
        \end{align*}
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{cfl}{%
\begin{frame}[c]
    \frametitle{Kontextfreie Sprache}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Kontextfreie Sprache]
        Eine kontextfreie Grammatik $G = (V, \Sigma, P, S)$ \alert{erzeugt} die Sprache
        \[
            L(G) := \left\{ w \in \Sigma^* \mid S \rightarrow_G^* w \right\}
        \]
        Eine Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ heißt \alert{kontextfrei} gdw es eine kontextfreie Grammatik $G$ gibt mit $L = L(G)$.
    \end{definition}
\end{frame} 
}

\defineUnit{induktivesprachdefinition}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Induktive Sprachdefinition}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Induktive Sprachdefinition}
        Die \alert{induktive Definition} ($\Longrightarrow$) erzeugt Wörter \alert{bottom-up}, setzt also kleine Wörter zu größeren zusammen.
    \end{block}

    \begin{example}[Vorbereitung 3]
        Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$:

        \begin{align*}
            1 &\in L_G(S) \\
            u \in L_G(S) \quad \Longrightarrow \quad 0\alert{u}1 &\in L_G(S) \\
            u \in L_G(S) \quad \Longrightarrow \quad \alert{u}11 &\in L_G(S)
        \end{align*}

        Also z.B:

        \[
            1 \in L_G(S) \Longrightarrow 0\alert{1}0 \in L_G(S) \Longrightarrow \alert{010}11 \in L_G(S)
        \]
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{cnf}{%
\begin{frame}
    \frametitle{CNF}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Chomsky-Normalform]
        Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form
        \[
            A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC}
        \]
        haben.
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{theorem}
        Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit 
        \[
            L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}}
        \]
    \end{theorem}
\end{frame}
}

\defineUnit{cnfkonstruktion}{%
\begin{frame}
    \frametitle{CNF Konstruktion}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Idee}
        Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG.
        \begin{enumerate}
            \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen}
            \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen}
            \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale
            \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$
        \end{enumerate}
    \end{block}

    \vspace{1em}

    \only<2> {
        Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen.
        \begin{align*}
            S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\
            \intertext{wird zu:}
            S &\rightarrow \alert{Ab \mid b} \\
            A &\rightarrow \alert{aAA \mid aA \mid a}
        \end{align*}
    }

    \only<3> {
        Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole.
        \begin{align*}
            S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\
            \intertext{wird zu:}
            A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\
            S &\rightarrow \alert{a \mid bS}
        \end{align*}
    }

    \only<4> {
        Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal.
        \begin{align*}
            S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\
            \intertext{wird zu:}
            S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\
            X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b}
        \end{align*}
    }

    \only<5> {
        Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$.
        \begin{align*}
            S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\
            \intertext{wird zu:}
            S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\
            T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\
        \end{align*}
    }
\end{frame}
}

\defineUnit{nuetzlichessymbol}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Eigenschaften von Symbolen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}
        Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\
        Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist
        \begin{description}
            \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt}
            \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$
            \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$
        \end{description}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{theorem}
        Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt.
        \[
            S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b
        \]
    \end{theorem}
\end{frame}
}

\defineUnit{cfpl}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Pumping Lemma für CFLs}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{theorem}[Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen]
        Sei $L \subseteq \Sigma^*$ kontextfrei. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in L$ mit $|z| \geq n$ so in \alert{$z = uvwxy$} zerlegen lässt, dass
        \begin{itemize}
            \item $vx \alert{\neq \epsilon}$
            \item $|vwx| \alert{\leq n}$
            \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iwx^iy \in L$
        \end{itemize}
    \end{theorem}

    \vfill

    \begin{center}
        \begin{columns}
            \begin{column}{.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \coordinate (outer) at (2, 2.4);
                    \coordinate (middle) at (2.2, 1.2);
                    \coordinate (inner) at (2.2, 0.6);
                    % outer
                    \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0);
                    % middle
                    \draw[fill=tumgreen!40] (1.2, 0) -- (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (3.2, 0) -- (middle) -- (1.2, 0);
                    % inner
                    \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (1.7, 0);

                    % path
                    \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle) -- (inner);
                    \draw[fill] (outer) circle (1pt);
                    \draw[fill] (middle) circle (1pt);
                    \draw[fill] (inner) circle (1pt);

                    % nodes
                    \node[below] at (0.6, 0) {$u$};
                    \node[below] at (1.45, 0) {$v$};
                    \node[below] at (2.2, 0) {$w$};
                    \node[below] at (2.95, 0) {$x$};
                    \node[below] at (3.6, 0) {$y$};
                \end{tikzpicture}
            \end{column}
            \begin{column}{.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \coordinate (outer) at (2, 2.4);
                    \coordinate (middle) at (2.2, 1.2);
                    \coordinate (inner) at (2.2, 0.6);
                    % outer
                    \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0);
                    % inner
                    \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0.6) -- (middle) -- (2.7, 0.6) -- (1.7, 0.6);

                    % path
                    \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle);
                    \draw[fill] (outer) circle (1pt);
                    \draw[fill] (middle) circle (1pt);

                    % nodes
                    \node[below] at (0.6, 0) {$u$};
                    \node[below] at (2.2, 0) {$w$};
                    \node[below] at (3.6, 0) {$y$};
                \end{tikzpicture}
            \end{column}
        \end{columns}
    \end{center}
\end{frame}
}

\defineUnit{cyk}{%
\begin{frame}
    \frametitle{CYK}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus]
        Der \alert{CYK-Algorithmus} entscheidet das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform in $\Oh(n^3)$. \\
        Gegeben eine \alert{Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ in CNF und ein \alert{Wort} $w = a_1 \ldots a_n \in \Sigma^*$.
        Mit \[ V_{ij} := \left\{ A \in V \mid A \rightarrow_G^* \alert{a_i \ldots a_j} \right\}\]
        ist \[ w \in L(G) \Leftrightarrow S \in V_{\alert{1n}} \]
    \end{definition}

    \begin{align*}
        V_{ii} &= \left\{ A \in V \mid (A \rightarrow a_i) \in P \right\} \\
        V_{ij} &= \left\{ A \in V \mid \exists k, B \in V_{ik}, C \in V_{k+1,j} \;.\; (A \rightarrow BC) \in P \right\}
    \end{align*}
\end{frame} 
}

\defineUnit{cykbeispiel}{%
\begin{frame}
    \frametitle{CYK}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{block}{Idee}
        Kombiniere \alert{Teilwörter} zum ganzen Wort, wenn möglich.
        \begin{enumerate}
            \item Initialisiere mit den \alert{$V_{ii}$}.
            \item<3-5> Befülle die Tabelle von unten nach oben.
        \end{enumerate}
    \end{block}

    \[ S \rightarrow AB \mid BC, \quad A \rightarrow BA \mid a, \quad B \rightarrow CC \mid b, \quad C \rightarrow AB \mid a \]
    \begin{center}
        \extrarowsep=5pt
        \begin{tabu}to .8\textwidth{r|X[c]|X[c]|X[c]|X[c]|}
            \tabucline{2-2}
            4 & \alt<-4>{}{$S,\ldots$} \\ \tabucline{2-3}
            3 & \alt<-3>{}{$\emptyset$} & \alt<-3>{}{$S, A, C$} \\ \tabucline{2-4}
            2 & \alt<-2>{}{$A$} & \alt<-2>{}{$B$} & \alt<-2>{}{$B$} \\ \tabucline{2-5}
            1 & \alt<-1>{}{$B$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} \\ \tabucline{2-5}
            \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{1}{c}{\alert{b}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} \\
        \end{tabu}
    \end{center}
\end{frame}
}

\defineUnit{pda}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Kellerautomaten}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Kellerautomat]
        Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
        \begin{itemize}
            \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$
            \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$
            \item endlichen \alert{Kelleralphabet} $\Gamma$
            \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
            \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$
            \item \alert{Kellerinitialisierung} $Z_0 \in \Gamma$
            \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=4cm]
            \node[state] (q0) {$q_i$};
            \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_j$};

            \draw[every edge] (q0) edge node {$a, X/\gamma$} (q1);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{frame}
}

\defineUnit{pdaakzeptanz}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Kellerautomaten}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Kellerautomat]
        Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
        \begin{itemize}
            \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{definition}[Akzeptanz]
        Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit Endzustand} gdw
        \[ \exists \alert{f \in F}, \gamma \in \Gamma^*.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (\alert{f}, \epsilon, \gamma) \]
        Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit leerem Keller} gdw
        \[ \exists q \in Q.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (q, \epsilon, \alert{\epsilon}) \]
    \end{definition}
\end{frame}
}

\defineUnit{pdabeispiel}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Kellerautomaten}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{definition}[Kellerautomat]
        Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem
        \begin{itemize}

            \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \vfill

    \begin{example}[]
        PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$.

        \centering
        \begin{tikzpicture}[automaton]

            \node[state, initial] (q0) {$q_0$};
            \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$};

            \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1);
            \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1);

            \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0);
            \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0);

            \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1);
            \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1);
        \end{tikzpicture}
    \end{example}
\end{frame}
}

\defineUnit{kontextfreiesprachen}{%
\begin{frame}
    \frametitle{Kontextfreie Sprachen}
    \setbeamercovered{dynamic}

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[node distance=3cm]
            \node (CFG) {CFG};
            \node (CNF) [right of = CFG] {CNF};
            \node (PDAe) [right of = CNF] {PDA$_\epsilon$};
            \node (PDAf) [right of = PDAe] {PDA$_F$};

            \draw [every edge, <->] (CFG) -- (CNF);
            \draw [every edge, <->] (CNF) -- (PDAe);
            \draw [every edge, <->] (PDAe) -- (PDAf);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}

    \vfill

    \begin{itemize}
        \item \alert{Abschlusseigenschaften}
    \end{itemize}
    \begin{table}
        \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|ccccc}
            & Schnitt & Vereinigung & Komplement & Produkt & Stern \\ \tabucline{}
            REG & ja & ja & ja & ja & ja\\
            CFL & nein & ja & nein & ja & ja 
        \end{tabu}
    \end{table}

    \begin{itemize}
        \item \alert{Entscheidbarkeit}
    \end{itemize}
    \begin{table}
        \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|cccc}
            & Wortproblem & Leerheit & Äquivalenz & Schnittproblem\\ \tabucline{}
            DFA & $\Oh(n)$ & ja & ja & ja \\
            CFG & $\Oh(n^3)$ & ja & nein & nein
        \end{tabu}
    \end{table}
\end{frame}
}