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author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Tue, 11 Jun 2013 16:21:06 +0200 |
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\input{preamble.tex} \title{Übung 6: CNF und CFL-Pumping Lemma} \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \begin{frame} \frametitle{CNF} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Chomsky-Normalform] Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form \[ A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC} \] haben. \end{definition} \vfill \begin{theorem} Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit \[ L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}} \] \end{theorem} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{CNF Konstruktion} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \begin{enumerate} \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen} \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen} \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$ \end{enumerate} \end{block} \vspace{1em} \only<2> { Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen. \begin{align*} S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\ \intertext{neu:} S &\rightarrow \alert{b} \\ A &\rightarrow \alert{aA \mid a} \end{align*} } \only<3> { Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole. \begin{align*} S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\ \intertext{neu:} A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\ S &\rightarrow \alert{a \mid bS} \end{align*} } \only<4> { Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal. \begin{align*} S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\ \intertext{neu:} S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\ X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b} \end{align*} } \only<5> { Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$. \begin{align*} S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\ \intertext{neu:} S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\ T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\ \end{align*} } \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Eigenschaften von Symbolen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition} Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\ Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist \begin{description} \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt} \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$ \end{description} \end{definition} \vfill \begin{theorem} Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt. \[ S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b \] \end{theorem} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Pumping Lemma für CFLs} \setbeamercovered{dynamic} \begin{theorem}[Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen] Sei $L \subseteq \Sigma^*$ kontextfrei. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in L$ mit $|z| \geq n$ so in \alert{$z = uvwxy$} zerlegen lässt, dass \begin{itemize} \item $vx \alert{\neq \epsilon}$ \item $|vwx| \alert{\leq n}$ \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iwx^iy \in L$ \end{itemize} \end{theorem} \vfill \begin{center} \begin{columns} \begin{column}{.4\textwidth} \begin{tikzpicture} \coordinate (outer) at (2, 2.4); \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); % outer \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); % middle \draw[fill=tumgreen!40] (1.2, 0) -- (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (3.2, 0) -- (middle) -- (1.2, 0); % inner \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (1.7, 0); % path \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle) -- (inner); \draw[fill] (outer) circle (1pt); \draw[fill] (middle) circle (1pt); \draw[fill] (inner) circle (1pt); % nodes \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; \node[below] at (1.45, 0) {$v$}; \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; \node[below] at (2.95, 0) {$x$}; \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; \end{tikzpicture} \end{column} \begin{column}{.4\textwidth} \begin{tikzpicture} \coordinate (outer) at (2, 2.4); \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); % outer \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); % inner \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0.6) -- (middle) -- (2.7, 0.6) -- (1.7, 0.6); % path \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle); \draw[fill] (outer) circle (1pt); \draw[fill] (middle) circle (1pt); % nodes \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; \end{tikzpicture} \end{column} \end{columns} \end{center} \end{frame} \end{document}