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1 \input{preamble.tex} |
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3 \title{Übung 6: CNF und CFL-Pumping Lemma} |
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4 \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013} |
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5 \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}} |
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7 \begin{document} |
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9 \begin{frame} |
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10 \titlepage |
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11 \end{frame} |
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13 \begin{frame} |
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14 \frametitle{CNF} |
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15 \setbeamercovered{dynamic} |
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17 \begin{definition}[Chomsky-Normalform] |
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18 Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form |
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19 \[ |
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20 A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC} |
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21 \] |
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22 haben. |
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23 \end{definition} |
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25 \vfill |
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27 \begin{theorem} |
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28 Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit |
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29 \[ |
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30 L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}} |
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31 \] |
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32 \end{theorem} |
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33 \end{frame} |
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35 \begin{frame} |
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36 \frametitle{CNF Konstruktion} |
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37 \setbeamercovered{dynamic} |
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39 \begin{block}{Idee} |
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40 Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. |
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41 \begin{enumerate} |
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42 \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen} |
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43 \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen} |
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44 \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale |
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45 \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$ |
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46 \end{enumerate} |
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47 \end{block} |
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48 |
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49 \vspace{1em} |
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50 |
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51 \only<2> { |
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52 Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen. |
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53 \begin{align*} |
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54 S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\ |
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55 \intertext{neu:} |
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56 S &\rightarrow \alert{b} \\ |
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57 A &\rightarrow \alert{aA \mid a} |
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58 \end{align*} |
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59 } |
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60 |
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61 \only<3> { |
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62 Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole. |
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63 \begin{align*} |
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64 S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\ |
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65 \intertext{neu:} |
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66 A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\ |
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67 S &\rightarrow \alert{a \mid bS} |
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68 \end{align*} |
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69 } |
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70 |
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71 \only<4> { |
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72 Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal. |
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73 \begin{align*} |
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74 S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\ |
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75 \intertext{neu:} |
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76 S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\ |
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77 X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b} |
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78 \end{align*} |
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79 } |
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80 |
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81 \only<5> { |
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82 Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$. |
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83 \begin{align*} |
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84 S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\ |
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85 \intertext{neu:} |
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86 S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\ |
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87 T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\ |
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88 \end{align*} |
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89 } |
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90 \end{frame} |
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91 |
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92 \begin{frame} |
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93 \frametitle{Eigenschaften von Symbolen} |
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94 \setbeamercovered{dynamic} |
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95 |
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96 \begin{definition} |
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97 Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\ |
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98 Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist |
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99 \begin{description} |
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100 \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt} |
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101 \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ |
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102 \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$ |
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103 \end{description} |
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104 \end{definition} |
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105 |
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106 \vfill |
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107 |
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108 \begin{theorem} |
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109 Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt. |
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110 \[ |
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111 S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b |
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112 \] |
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113 \end{theorem} |
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114 \end{frame} |
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115 |
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116 \begin{frame} |
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117 \frametitle{Pumping Lemma für CFLs} |
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118 \setbeamercovered{dynamic} |
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119 |
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120 \begin{theorem}[Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen] |
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121 Sei $L \subseteq \Sigma^*$ kontextfrei. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in L$ mit $|z| \geq n$ so in \alert{$z = uvwxy$} zerlegen lässt, dass |
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122 \begin{itemize} |
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123 \item $vx \alert{\neq \epsilon}$ |
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124 \item $|vwx| \alert{\leq n}$ |
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125 \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iwx^iy \in L$ |
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126 \end{itemize} |
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127 \end{theorem} |
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129 \vfill |
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130 |
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131 \begin{center} |
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132 \begin{columns} |
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133 \begin{column}{.4\textwidth} |
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134 \begin{tikzpicture} |
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|
135 \coordinate (outer) at (2, 2.4); |
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|
136 \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); |
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|
137 \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); |
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|
138 % outer |
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|
139 \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); |
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|
140 % middle |
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|
141 \draw[fill=tumgreen!40] (1.2, 0) -- (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (3.2, 0) -- (middle) -- (1.2, 0); |
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|
142 % inner |
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|
143 \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (1.7, 0); |
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144 |
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|
145 % path |
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|
146 \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle) -- (inner); |
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|
147 \draw[fill] (outer) circle (1pt); |
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|
148 \draw[fill] (middle) circle (1pt); |
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|
149 \draw[fill] (inner) circle (1pt); |
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150 |
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151 % nodes |
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152 \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; |
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|
153 \node[below] at (1.45, 0) {$v$}; |
|
|
154 \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; |
|
|
155 \node[below] at (2.95, 0) {$x$}; |
|
|
156 \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; |
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|
157 \end{tikzpicture} |
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|
158 \end{column} |
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|
159 \begin{column}{.4\textwidth} |
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|
160 \begin{tikzpicture} |
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|
161 \coordinate (outer) at (2, 2.4); |
|
|
162 \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); |
|
|
163 \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); |
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|
164 % outer |
|
|
165 \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); |
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|
166 % inner |
|
|
167 \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0.6) -- (middle) -- (2.7, 0.6) -- (1.7, 0.6); |
|
|
168 |
|
|
169 % path |
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|
170 \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle); |
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|
171 \draw[fill] (outer) circle (1pt); |
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|
172 \draw[fill] (middle) circle (1pt); |
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173 |
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174 % nodes |
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|
175 \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; |
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|
176 \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; |
|
|
177 \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; |
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|
178 \end{tikzpicture} |
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|
179 \end{column} |
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180 \end{columns} |
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181 \end{center} |
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182 \end{frame} |
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183 |
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184 \end{document} |
