\defineUnit{landausymbole}{%
{
    \pgfplotsset{
        standard/.style={
            axis lines=middle,
            enlarge x limits=0.1,
            enlarge y limits=0.1,
            mark size=.4pt,
            only marks,
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            every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)},anchor=south},
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        }
    }

    \begin{frame}
        \frametitle{Asymptotisches Verhalten}

        \begin{definition}[Asymptotisches Verhalten]
            Eine Funktion $g$ ist \structure{asymptotisch größer} (\structure{wächst asymptotisch schneller}) als eine andere Funktion $f$, wenn gilt
            \begin{align}
                \exists n_0 > 0 \forall n \geq n_0.\; \left| f(n) \right| < \left| g(n) \right|
            \end{align}
        \end{definition}
        \begin{itemize}
            \item Der Einfachheit halber betrachten wir \alert{strikt positive} Funktionen
            \item Dann sind die Beträge egal
            \vspace{2em}
            \item Oftmals sind \structure{Vorfaktoren} nicht interessant
        \end{itemize}

        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                        standard,
                        extra x ticks={1},
                        extra x tick style={
                            thick,
                            xticklabel={$n_0$}
                        },
                    ]
                    \addplot[tumblue]{sqrt(x)} node[right]{$\hphantom{c_{<1} \cdot {}}f$};
                    \only<2->{
                        \addplot[tumblue]{.6 * sqrt(x)} node[right]{$c_{<1} \cdot f$};
                        \addplot[tumblue]{1.4 * sqrt(x)} node[right]{$c_{>1} \cdot f$};
                    }
                    \addplot[tumred]{2^x - 1} node[pos=0.95, above left]{$g$};
                    \only<1>{
                        \addplot[ycomb, mark=square*, mark size=1pt, semithick] plot coordinates {(1,1)};
                    }
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
    \end{frame}

    \begin{frame}
        \frametitle{Landausymbole}

        \begin{definition}[Asymptotische obere Schranke]
            Seien $f,g$ \alert{strikt positiv}.
            Eine Funktion $f$ wächst \structure{asymptotisch maximal so schnell} wie eine Funktion $g$, wenn gilt
            \begin{align}
                \exists c > 0\exists n_0 > 0 \forall n \geq n_0.\; f(n) \leq c \cdot g(n)
            \end{align}
            wir schreiben dann
            \begin{align}
                f &\in \Oh(g)
            \end{align}
        \end{definition}

        \vfill

        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                        standard,
                        extra x ticks={1},
                        extra x tick style={
                            thick,
                            xticklabel={$n_0$}
                        },
                    ]
                    \addplot[tumblue]{sqrt(x)} node[pos=0.9, below]{$f$};
                    \addplot[tumred]{2^x - 1} node[pos=0.95, above left]{$g$};
                    \addplot[ycomb, mark=square*, mark size=1pt, semithick] plot coordinates {(1,1)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
    \end{frame}

    \begin{frame}
        \frametitle{Landausymbole}

        \begin{itemize}
            \item $\Oh(g)$ ist eine Menge von Funktionen \ldots
            \item \ldots die maximal so schnell wachsen wie $g$
        \end{itemize}

        \vspace{-1em}
        \begin{columns}
            \begin{column}{1.03\textwidth}
                \begin{definition}[Landausymbole]
                    Seien $f,g$ \alert{strikt positiv}.
                    Analog zu $\Oh(g)$ definiert man weitere Mengen von Funktionen.
                    \begin{align}
                        \structure{o(g)} &\defeq \left\{ f \mid \alert{\forall c} > 0\exists n_0 > 0 \forall n \geq n_0.\; f(n) \alert{<} c \cdot g(n) \right\} \tag{\structure{langsamer}}\\
                        \noalign{\smallskip}
                        \structure{\Oh(g)} &\defeq \left\{ f \mid \alert{\exists c} > 0\exists n_0 > 0 \forall n \geq n_0.\; f(n) \alert{\leq} c \cdot g(n) \right\} \tag{\structure{nicht schneller}}\\
                        \noalign{\smallskip}
                        %\structure{\Theta(g)} &\defeq \left\{ f \mid  f \in \Oh(g) \wedge f \in \Omega(g) \right\} \tag{\structure{gleich schnell}}\\
                        \structure{\Theta(g)} &\defeq \Oh(g) \cap \Omega(g) \tag{\structure{gleich schnell}}\\
                        \noalign{\smallskip}
                        \structure{\Omega(g)} &\defeq \left\{ f \mid \alert{\exists c} > 0\exists n_0 > 0 \forall n \geq n_0.\; f(n) \alert{\geq} c \cdot g(n) \right\} \tag{\structure{nicht langsamer}}\\
                        \noalign{\smallskip}
                        \structure{\omega(g)} &\defeq \left\{ f \mid \alert{\forall c} > 0\exists n_0 > 0 \forall n \geq n_0.\; f(n) \alert{>} c \cdot g(n) \right\} \tag{\structure{schneller}}
                    \end{align}
                    \vspace{-1em}
                \end{definition}
            \end{column}
        \end{columns}

        \vspace{2em}
        Es ist
        \begin{align}
            o(g) &\subseteq \Oh(g) & o(g) \cap \Omega(g) &= \emptyset\\
            \omega(g) &\subseteq \Omega(g) & \omega(g) \cap \Oh(g) &= \emptyset
        \end{align}
    \end{frame}

    \begin{frame}[c]
        \frametitle{Darstellung mit Grenzwerten}

        \begin{theorem}[Landausymbole mit Grenzwerten]
            \smallskip
            Existiert der Grenzwert $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{f(n)}{g(n)} \right|$, dann gilt

            \begin{align}
                f &\in \structure{o(g)} &\text{gdw.}&& \lim_{n \to \infty} &\left| \frac{f(n)}{g(n)} \right| = 0\\
                f &\in \structure{\Oh(g)} &\text{gdw.}&& 0 \leq \lim_{n \to \infty} &\left| \frac{f(n)}{g(n)} \right| < \infty\\
                f &\in \structure{\Theta(g)} &\text{gdw.}&& 0 < \lim_{n \to \infty} &\left| \frac{f(n)}{g(n)} \right| < \infty\\
                f &\in \structure{\Omega(g)} &\text{gdw.}&& 0 < \lim_{n \to \infty} &\left| \frac{f(n)}{g(n)} \right| \leq \infty\\
                f &\in \structure{\omega(g)} &\text{gdw.}&& \lim_{n \to \infty} &\left| \frac{f(n)}{g(n)} \right| = \infty
            \end{align}
        \end{theorem}
    \end{frame}
}
}