--- a/notes/tex/basics.tex	Tue Oct 22 00:24:27 2013 +0200
+++ b/notes/tex/basics.tex	Mon Oct 28 22:24:22 2013 +0100
@@ -199,7 +199,7 @@
         \begin{alignat}{2}
             \setnot{A \cup B} &= \setnot{A} \cap \setnot{B} \qquad\qquad& \setnot{A \cap B} &= \setnot{A} \cup \setnot{B}\\
             \intertext{Für Mengen $A_i$ gilt}
-            \setnot{\bigcup_{i=1}^nA_i} &= \bigcap_{i=1}^n\setnot{A_i} & \setnot{\bigcap_{i=1}^nA_i} &= \bigcup_{i=1}^n\setnot{A_i} & 
+            \setnot{\bigcup_{i=1}^nA_i} &= \bigcap_{i=1}^n\setnot{A_i} & \setnot{\bigcap_{i=1}^nA_i} &= \bigcup_{i=1}^n\setnot{A_i} &
         \end{alignat}
     \end{theorem}
 
@@ -232,7 +232,7 @@
 
     \begin{example}[]
         Für $M = \left\{ a, b, c \right\}$ ist
-        \[ \powerset{M} = \left\{ 
+        \[ \powerset{M} = \left\{
             \emptyset,
             \left\{ a \right\},
             \left\{ b \right\},
@@ -302,3 +302,277 @@
     \end{example}
 \end{frame}
 }
+
+\defineUnit{relationen}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Relation}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Relation]
+        Eine binäre \structure{Relation} $R$ verbindet Elemente zweier Mengen $A$ und $B$.
+        \[ R \subseteq A \times B\]
+        Ist $(a, b) \in R$, so schreibt man auch \structure{$a\rel{R}b$}.
+    \end{definition}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Eine Relation über $M \times M$ nennt man homogen
+        \item Es gibt $\abs{\powerset{A \times B}}$ Relationen über $A, B$
+    \end{itemize}
+
+    \begin{example}[]
+        \begin{itemize}
+            \item Die \alert{Gleichheitsrelation} über $\N \times \N$ \\
+               $\left\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7) \ldots \right\}$
+               \medskip
+            \item Die \alert{Teilbarkeitsrelation} über $\N$ \\
+               $\left\{ (1,1), (1,2), (1,3), \ldots, (2,2), (2,4), \ldots, (3,3), (3,6), \ldots \right\}$
+        \end{itemize}
+    \end{example}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Grafische Darstellung}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Grafische Darstellung von Relationen}
+        Jede Relation $R \subseteq M \times M$ kann als \structure{Graph} dargestellt werden. Die Elemente aus M werden zu \structure{Knoten} und für jedes Tupel $(a, b) \in R$ wird ein \structure{Pfeil} von $a$ nach $b$ eingefügt.
+    \end{block}
+
+    \begin{example}[]
+        Sei $R \subseteq [4] \times [4]$ eine Relation über den natürlichen Zahlen.
+        \[ R \defeq \left\{ (1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 3) \right\}\]
+    \end{example}
+
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}[x=5em, y=2.5em]
+        \path   (0, 0) node[pretty] (1) {$1$}
+                +(1, 0) node[pretty] (2) {$2$}
+                +(2, 1) node[pretty] (3) {$3$}
+                +(2, -1) node[pretty] (4) {$4$};
+
+        \path[edge]
+            (1) edge[loop left] (1)
+            (1) edge (2)
+            (2) edge (3)
+            (2) edge (4)
+            (3) edge[loop above] (3)
+            (3) edge[bend left] (4)
+            (4) edge[bend left] (3);
+    \end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Eigenschaften von Relationen}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+
+    \begin{block}{Eigenschaften homogener Relationen}
+        Sei $R \in M \times M$ eine homogene Relation. Man nennt $R$
+        \begin{description}[antisymmetrisch]
+            \item[reflexiv] $ \forall a\hphantom{, b, c} \in M.\ (a, a) \in R$
+            \item[total] $ \forall a, b\hphantom{, c} \in M.\  (a, b) \in R \vee (b, a) \in R$
+                \medskip
+            \item[symmetrisch] $ \forall a, b\hphantom{, c} \in M.\  (a, b) \in R \hphantom{{}\wedge (b, a) \in R}\Rightarrow (b,a ) \in R$
+            \item[asymmetrisch] $ \forall a, b\hphantom{, c} \in M.\  (a, b) \in R \hphantom{{}\wedge (b, a) \in R}\Rightarrow (b,a ) \not\in R$
+            \item[antisymmetrisch] $ \forall a, b\hphantom{, c} \in M.\  (a, b) \in R \wedge (b, a) \in R \Rightarrow a \equiv b$
+                \medskip
+            \item[transitiv] $ \forall a, b, c \in M.\  (a, b) \in R \wedge (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$
+        \end{description}
+    \end{block}
+
+    \vfill
+
+    \begin{itemize}
+        \item Jede totale Relation ist reflexiv
+        \item Jede asymmetrische Relation ist antisymmetrisch
+        \item \structure{Äquivalenzrelationen} sind reflexiv, symmetrisch und transitiv
+        \item $R^+$ ist die \structure{transitive Hülle}, $R^*$ die \structure{reflexive transitive Hülle}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{funktionen}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Funktion}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Funktion]
+        Eine Relation $f \subseteq A \times B$ ist eine \structure{Funktion von A nach B} wenn es für alle $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ mit $a \rel{f} b$ gibt.
+        \[ \forall a \in A. \abs{\left\{ (a, b) \mid b \in B \right\}} \alert{=} 1 \]
+        Man schreibt
+        \begin{align}
+            f : A &\to B \\
+            a &\mapsto f(a) = b
+        \end{align}
+        \structure{$A \to B$} bezeichnet die Menge aller Funktionen von $A$ nach $B$.
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+    \centering
+    {
+        \tikzstyle{set} = [draw, thick, tumgreen, fill=tumgreen!15]
+        \tikzstyle{element} = [thick]
+        \tikzstyle{arrow} = [thick, tumblue, shorten >=-.4em, shorten <=-.4em]
+        \begin{tikzpicture}[x=1.5em, y=1.5em]
+            \draw[set] (0, 0) ellipse (1 and 2);
+            \draw[set] (5, 0) ellipse (1 and 2);
+
+            \path[element]
+                (0,0)
+                +(0, 1.5) node (a1) {$\times$}
+                +(0.2, 0.85) node (a2) {$\times$}
+                +(0.1, -0.6) node (a4) {$\times$}
+                +(-0.1, -1.5) node (a5) {$\times$};
+
+            \path[element]
+                (5,0)
+                +(0, 1.5) node (b1) {$\times$}
+                +(0.2, 0.85) node (b2) {$\times$}
+                +(-0.3, 0.0) node (b3) {$\times$}
+                +(0.1, -0.6) node (b4) {$\times$}
+                +(-0.1, -1.5) node (b5) {$\times$};
+
+            \path[arrow]
+                (a1) edge (b1)
+                (a2) edge (b5)
+                (a4) edge (b2)
+                (a5) edge (b5);
+
+            \path
+                (0, -2.5) node {$A$}
+                (5, -2.5) node {$B$}
+                (2.5, -2.5) node {$f$};
+        \end{tikzpicture}
+    }
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Bild und Urbild}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Bild]
+        Sei $f : A \to B$ eine Funktion, $X \subseteq A$, $Y \subseteq B$, $b \in B$. Dann ist
+        \begin{align}
+        f(X) &\defeq \left\{ f(x) \mid x \in X \right\} \\
+        \intertext{das \structure{Bild} der Menge $X$ unter $f$. Außerdem ist}
+        f^{-1}(b) &\defeq \left\{ a \mid a \in A, f(a) = b \right\} \\
+        f^{-1}(Y) &\defeq \bigcup_{y \in Y} \left\{ f^{-1}(y) \right\}
+        \end{align}
+        das \structure{Urbild} des Elements $b$ und der Menge $Y$ unter $f$.
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+
+    \begin{itemize}
+        \item Man nennt $A = f^{-1}(B)$ \structure{Urbild} oder \structure{Definitionsmenge} von $f$
+        \item Man nennt $f(A) \subseteq B$ \structure{Bild} oder \structure{Wertemenge} von $f$
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Komposition}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Funktionskomposition]
+        Seien $f : B \to C$ und $g : A \to B$ Funktionen. Dann ist
+        \begin{align}
+            h : A &\to C \\
+            a &\mapsto (f \circ g)(a) = f(g(a))
+        \end{align}
+        die \structure{Komposition} der Funktionen $f$ und $g$.\\
+        Man ließt $f \circ g$ als \enquote{f \structure{nach} g}.
+    \end{definition}
+
+    \vfill
+
+    Man definiert die Potenzierung von Funktionen ähnlich der Mengentheorie.
+    \begin{align}
+        f^0 &\defeq id\\
+        f^n &\defeq \underbracket[0.5pt]{f \circ \ldots \circ f}_{\text{n mal}}
+    \end{align}
+    Dabei bezeichnet $id$ die \structure{Identität} mit $id(x) \defeq x$.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Eigenschaften von Funktionen}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{block}{Eigenschaften von Funktionen}
+        Sei $f: A \to B$ eine Funktion. Man nennt $f$
+        \begin{description}[surjektiv]
+            \item[injektiv] $\forall b \in B. \abs{f^{-1}(b)} \leq 1$ \hfill(Kein $b$ wird doppelt getroffen)
+            \item[surjektiv] $\forall b \in B. \abs{f^{-1}(b)} \geq 1$\hfill(Jedes $b$ wird getroffen)
+            \item[bijektiv] $\forall b \in B. \abs{f^{-1}(b)} = 1$\hfill(Jedes $b$ wird genau einmal getroffen)
+        \end{description}
+    \end{block}
+
+    \vfill
+    \centering
+    {
+        \tikzstyle{set} = [draw, thick, tumgreen, fill=tumgreen!15]
+        \tikzstyle{element} = [thick]
+        \tikzstyle{head} = [draw, fill=tumblue!15, thick]
+        \tikzstyle{arrow} = [thick, tumblue, shorten >=-.4em, shorten <=-.4em]
+        \newcommand{\function}[3]{%
+            \draw[set] (0, 0) ellipse (1 and 2);
+            \draw[set] (4, 0) ellipse (1 and 2);
+
+            \path[element]
+                (0,0)
+                +(0, 1.5) node (a1) {$\times$}
+                +(0.2, 0.85) node (a2) {$\times$}
+                +(0.1, 0.3) node (a3) {$\times$}
+                +(-0.1, -0.1) node (a4) {$\times$}
+                +(-0.2, -0.7) node (a5) {#2}
+                +(-0.1, -1.5) node (a6) {#3};
+
+            \path[element]
+                (4,0)
+                +(0, 1.5) node (b1) {$\times$}
+                +(0.2, 0.85) node (b2) {$\times$}
+                +(-0.3, 0.0) node (b3) {$\times$}
+                +(0.1, -0.6) node (b4) {$\times$}
+                +(-0.1, -1.5) node (b5) {$\times$};
+
+            \path
+                (0, -2.5) node {$A$}
+                (4, -2.5) node {$B$}
+                (2, -2.5) node {$f$}
+                (2, 3) node[head] {#1};
+
+        }
+        \begin{tikzpicture}[x=1.5em, y=1.5em]
+            \function{Injektiv}{}{}
+
+            \path[arrow]
+                (a1) edge (b1)
+                (a2) edge (b3)
+                (a3) edge (b2)
+                (a4) edge (b4);
+        \end{tikzpicture}
+        \hfill
+        \begin{tikzpicture}[x=1.5em, y=1.5em]
+            \function{Surjektiv}{$\times$}{$\times$}
+
+            \path[arrow]
+                (a1) edge (b1)
+                (a2) edge (b3)
+                (a3) edge (b2)
+                (a4) edge (b4)
+                (a5) edge (b5)
+                (a6) edge (b5);
+        \end{tikzpicture}
+        \hfill
+        \begin{tikzpicture}[x=1.5em, y=1.5em]
+            \function{Bijektiv}{}{$\times$}
+
+            \path[arrow]
+                (a1) edge (b1)
+                (a2) edge (b3)
+                (a3) edge (b2)
+                (a4) edge (b4)
+                (a6) edge (b5);
+        \end{tikzpicture}
+    }
+\end{frame}
+}

--- a/notes/tex/preamble.tex	Tue Oct 22 00:24:27 2013 +0200
+++ b/notes/tex/preamble.tex	Mon Oct 28 22:24:22 2013 +0100
@@ -7,6 +7,7 @@
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 
+\usepackage{mathpazo}
 \usepackage{helvet}
 \usepackage{microtype}
 
@@ -15,12 +16,14 @@
 \usepackage{xcolor}
 \usepackage{tikz}
 \usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.8}
 \usetikzlibrary{automata}
 \usetikzlibrary{calc}
 \usetikzlibrary{shapes}
 \usetikzlibrary{positioning}
 \usetikzlibrary{chains}
 
+\usepackage{amsmath}
 \usepackage{mathdots}
 \usepackage{mathtools}
 \mathtoolsset{showonlyrefs}
@@ -41,4 +44,14 @@
 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}\left( #1 \right)}
 \newcommand{\setnot}[1]{\overline{#1}}
 \newcommand{\setsymdiff}{\,\triangle\,}
+
+\newcommand{\rel}[1]{\,\mathrm{#1}\,}
+
 \newcommand{\defeq}{\mathrel{\vcenter{\baselineskip0.5ex\lineskiplimit0pt\hbox{\scriptsize.}\hbox{\scriptsize.}}}=}
+
+\tikzstyle{edge} = [draw,very thick,->,>=latex]
+\tikzstyle{pretty} = [circle,thick,draw,fill=tumblue!10]
+\tikzstyle{every edge} = [edge]
+\tikzstyle{every state} = [pretty]
+\tikzstyle{automaton} = [shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=]
+\tikzstyle{small} = [every node/.style={scale=0.5}, baseline=(current bounding box.north), font=\LARGE]

--- /dev/null	Thu Jan 01 00:00:00 1970 +0000
+++ b/notes/tex/ue02_notes.tex	Mon Oct 28 22:24:22 2013 +0100
@@ -0,0 +1,12 @@
+\input{preamble.tex}
+\input{frames.tex}
+
+\title{Übung 2: Relationen und Abbildungen}
+\subtitle{Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014}
+\author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}}
+
+\begin{document}
+\showUnit{titel}
+\showUnit{relationen}
+\showUnit{funktionen}
+\end{document}