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diff notes/tex/automatons.tex @ 13:834da46b1edb
third sheet and notes
author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Sat, 03 May 2014 22:49:43 +0200 |
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--- a/notes/tex/automatons.tex Mon Apr 28 12:27:03 2014 +0200 +++ b/notes/tex/automatons.tex Sat May 03 22:49:43 2014 +0200 @@ -126,23 +126,27 @@ \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Regulärer Ausdruck] - \alert{Reguläre Ausdrücke} sind induktiv definiert + \structure{Reguläre Ausdrücke} sind induktiv definiert \begin{itemize} - \item \alert{$\emptyset$} ist ein regulärer Ausdruck - \item \alert{$\epsilon$} ist ein regulärer Ausdruck - \item Für alle $a \in \Sigma$ ist \alert{$a$} ein regulärer Ausdruck + \item \structure{$\emptyset$} ist ein regulärer Ausdruck + \item \structure{$\epsilon$} ist ein regulärer Ausdruck + \item Für alle $a \in \Sigma$ ist \structure{$a$} ein regulärer Ausdruck \item Sind $\alpha$ und $\beta$ reguläre Ausdrücke, dann auch - \begin{description} - \item[Konkatenation] \alert{$\alpha\beta$} - \item[Veroderung] \alert{$\alpha \mid \beta$} - \item[Wiederholung] \alert{$\alpha^*$} + \begin{description}[Konkatenation] + \item[Konkatenation] \structure{$\alpha\beta$} + \item[Veroderung] \structure{$\alpha \mid \beta$} + \item[Wiederholung] \structure{$\alpha^*$} \end{description} \end{itemize} Analoge Sprachdefinition, z.b. $L(\alpha\beta) = L(\alpha)L(\beta)$ \end{definition} \begin{example} - $\alpha = (0|1)^*00$ \hfill $L(\alpha) = \left\{x \mid x \text{ Binärzahl}, x \mod 4 = 0 \right\}$ + \begin{itemize} + \item $\alpha = (0|1)^*00$ + \item Worte bestehen aus einer beliebigen Folge von Einsen und Nullen gefolgt von zwei Nullen. + \item $L(\alpha) \supseteq \left\{x \mid x \text{ Binärzahl}, x \mod 4 = 0 \right\}$ + \end{itemize} \end{example} \end{frame} } @@ -216,9 +220,7 @@ }\\ \end{tabu} \end{frame} -} -\defineUnit{rezuenfazwei}{% \begin{frame} \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA} \setbeamercovered{dynamic} @@ -236,12 +238,16 @@ \node[state, initial] (i) at (0, 0) {}; \node[state] (j) at (2.5, 1) {}; - \node[state, accepting] (k) at (4, 1) {}; + \node[state] (k) at (4, 1) {}; \node[state] (l) at (2.5, -1) {}; - \node[state, accepting] (m) at (4, -1) {}; + \node[state] (m) at (4, -1) {}; + + \node[state, accepting] (n) at (6.5, 0) {}; \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j); \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (l); + \draw[->] (k) edge node {$\epsilon$} (n); + \draw[->] (m) edge node {$\epsilon$} (n); \end{tikzpicture} \\ \vfill @@ -251,15 +257,21 @@ \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1) rectangle (4.5, -1); \node[tumgreen] () at (3.25, -1.2) {$N_\alpha$}; - \node[state, initial, accepting] (i) at (0, 0) {}; + \node[state, initial] (i) at (0, 0) {}; \node[state] (j) at (2.5, 0) {}; - \node[state, accepting] (k) at (4, 0.5) {}; - \node[state, accepting] (m) at (4, -0.5) {}; + \node[state] (k) at (4, 0.5) {}; + \node[state] (m) at (4, -0.5) {}; + + \node[state, accepting] (n) at (6.5, 0) {}; \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j); + \draw[->] (i) edge[bend right=90] node {$\epsilon$} (n); + \draw[->] (k) edge [bend right] node {$\epsilon$} (j); \draw[->] (m) edge [bend left] node[above] {$\epsilon$} (j); + \draw[->] (k) edge node {$\epsilon$} (n); + \draw[->] (m) edge node {$\epsilon$} (n); \end{tikzpicture} \end{tabu} \end{frame} @@ -538,10 +550,8 @@ \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Äquivalente Worte] - Jede Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ induziert eine Äquivalenzrelation $\alert{\equiv_L \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*}$: - \[ - u \alert{\equiv_L} v \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{uw} \in L \Leftrightarrow \alert{vw} \in L\right) - \] + Jede Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ induziert eine \structure{Äquivalenzrelation $\equiv_L \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*$} + \[ u \structure{\equiv_L} v \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{uw} \in L \Leftrightarrow \alert{vw} \in L\right) \] \end{definition} \vfill @@ -549,11 +559,8 @@ \pause \begin{definition}[Äquivalente Zustände] - Zwei Zustände im DFA $A$ sind \alert{äquivalent} wenn sie die selbe Sprache akzeptieren. - - \[ - p \alert{\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{\hat{\delta}(p, w)} \in F \Leftrightarrow \alert{\hat{\delta}(q, w)} \in F \right) - \] + Zwei Zustände im DFA $A$ sind \structure{äquivalent} wenn sie die selbe Sprache akzeptieren. + \[ p \structure{\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{\hat{\delta}(p, w)} \in F \Leftrightarrow \alert{\hat{\delta}(q, w)} \in F \right) \] \end{definition} \end{frame} } @@ -564,10 +571,8 @@ \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Unterscheidbarkeit] - Zwei Zustände sind \alert{unterscheidbar}, wenn sie unterschiedliche Sprachen akzeptieren. - \[ - p \alert{\not\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \exists w \in \Sigma^*. \hat{\delta}(p, w) \alert{\in} F \wedge \hat{\delta}(q, w) \alert{\not\in} F \right) - \] + Zwei Zustände sind \structure{unterscheidbar}, wenn sie unterschiedliche Sprachen akzeptieren. + \[ p \structure{\not\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \exists w \in \Sigma^*. \hat{\delta}(p, w) \alert{\in} F \wedge \hat{\delta}(q, w) \alert{\not\in} F \right) \] \end{definition} \begin{theorem} @@ -605,8 +610,7 @@ \frametitle{DFA minimieren} \setbeamercovered{dynamic} - \begin{block}{Idee} - Erzeuge den \alert{Quotientenautomaten}. + \begin{block}{Quotientenautomat} \begin{enumerate} \item Entferne alle von $q_0$ \alert{nicht erreichbaren} Zustände \item<1, 3-> Berechne die \alert{unterscheidbaren} Zustände