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 \input{preamble.tex}
+\input{frames.tex}
 
 \title{Übung 6: CNF und CFL-Pumping Lemma}
 \subtitle{Theoretische Informatik Sommersemester 2013}
 \author{\href{mailto:markus.kaiser@in.tum.de}{Markus Kaiser}}
 
 \begin{document}
-
-\begin{frame}
-    \titlepage
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-    \frametitle{CNF}
-    \setbeamercovered{dynamic}
-
-    \begin{definition}[Chomsky-Normalform]
-        Eine kontextfreie Grammatik ist in \alert{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form
-        \[
-            A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC}
-        \]
-        haben.
-    \end{definition}
-
-    \vfill
-
-    \begin{theorem}
-        Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit 
-        \[
-            L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}}
-        \]
-    \end{theorem}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-    \frametitle{CNF Konstruktion}
-    \setbeamercovered{dynamic}
-
-    \begin{block}{Idee}
-        Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG.
-        \begin{enumerate}
-            \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen}
-            \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen}
-            \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale
-            \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$
-        \end{enumerate}
-    \end{block}
-
-    \vspace{1em}
-
-    \only<2> {
-        Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen.
-        \begin{align*}
-            S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\
-            \intertext{neu:}
-            S &\rightarrow \alert{b} \\
-            A &\rightarrow \alert{aA \mid a}
-        \end{align*}
-    }
-
-    \only<3> {
-        Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole.
-        \begin{align*}
-            S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\
-            \intertext{neu:}
-            A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\
-            S &\rightarrow \alert{a \mid bS}
-        \end{align*}
-    }
-
-    \only<4> {
-        Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal.
-        \begin{align*}
-            S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\
-            \intertext{neu:}
-            S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\
-            X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b}
-        \end{align*}
-    }
-
-    \only<5> {
-        Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$.
-        \begin{align*}
-            S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\
-            \intertext{neu:}
-            S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\
-            T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\
-        \end{align*}
-    }
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-    \frametitle{Eigenschaften von Symbolen}
-    \setbeamercovered{dynamic}
-
-    \begin{definition}
-        Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\
-        Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist
-        \begin{description}
-            \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt}
-            \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$
-            \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$
-        \end{description}
-    \end{definition}
-
-    \vfill
-
-    \begin{theorem}
-        Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt.
-        \[
-            S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b
-        \]
-    \end{theorem}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-    \frametitle{Pumping Lemma für CFLs}
-    \setbeamercovered{dynamic}
-
-    \begin{theorem}[Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen]
-        Sei $L \subseteq \Sigma^*$ kontextfrei. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in L$ mit $|z| \geq n$ so in \alert{$z = uvwxy$} zerlegen lässt, dass
-        \begin{itemize}
-            \item $vx \alert{\neq \epsilon}$
-            \item $|vwx| \alert{\leq n}$
-            \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iwx^iy \in L$
-        \end{itemize}
-    \end{theorem}
-
-    \vfill
-
-    \begin{center}
-        \begin{columns}
-            \begin{column}{.4\textwidth}
-                \begin{tikzpicture}
-                    \coordinate (outer) at (2, 2.4);
-                    \coordinate (middle) at (2.2, 1.2);
-                    \coordinate (inner) at (2.2, 0.6);
-                    % outer
-                    \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0);
-                    % middle
-                    \draw[fill=tumgreen!40] (1.2, 0) -- (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (3.2, 0) -- (middle) -- (1.2, 0);
-                    % inner
-                    \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (1.7, 0);
-
-                    % path
-                    \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle) -- (inner);
-                    \draw[fill] (outer) circle (1pt);
-                    \draw[fill] (middle) circle (1pt);
-                    \draw[fill] (inner) circle (1pt);
-
-                    % nodes
-                    \node[below] at (0.6, 0) {$u$};
-                    \node[below] at (1.45, 0) {$v$};
-                    \node[below] at (2.2, 0) {$w$};
-                    \node[below] at (2.95, 0) {$x$};
-                    \node[below] at (3.6, 0) {$y$};
-                \end{tikzpicture}
-            \end{column}
-            \begin{column}{.4\textwidth}
-                \begin{tikzpicture}
-                    \coordinate (outer) at (2, 2.4);
-                    \coordinate (middle) at (2.2, 1.2);
-                    \coordinate (inner) at (2.2, 0.6);
-                    % outer
-                    \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0);
-                    % inner
-                    \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0.6) -- (middle) -- (2.7, 0.6) -- (1.7, 0.6);
-
-                    % path
-                    \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle);
-                    \draw[fill] (outer) circle (1pt);
-                    \draw[fill] (middle) circle (1pt);
-
-                    % nodes
-                    \node[below] at (0.6, 0) {$u$};
-                    \node[below] at (2.2, 0) {$w$};
-                    \node[below] at (3.6, 0) {$y$};
-                \end{tikzpicture}
-            \end{column}
-        \end{columns}
-    \end{center}
-\end{frame}
-
+\showUnit{titel}
+\showUnit{cnf}
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+\showUnit{cfpl}
 \end{document}