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comparison notes/tex/combinatorics.tex @ 45:e65f4b1a6e32

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author Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
date Wed, 08 Jan 2014 14:26:02 +0100
parents 5734c1faf9cd
children f481e19e1430
comparison
equal deleted inserted replaced
44:5734c1faf9cd 45:e65f4b1a6e32
1 \defineUnit{zaehlen}{% 1 \defineUnit{zaehlen}{%
2 \begin{frame} 2 \begin{frame}
3 \frametitle{Faktorielle} 3 \frametitle{Faktorielle}
4 \setbeamercovered{dynamic}
5 4
6 \begin{definition}[Fakultät] 5 \begin{definition}[Fakultät]
7 Die \structure{Fakultät $n!$} einer natürlichen Zahl $n \in \N_0$ ist 6 Die \structure{Fakultät $n!$} einer natürlichen Zahl $n \in \N_0$ ist
8 \[ n! \defeq \prod_{i=1}^n i = n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 1 \] 7 \[ n! \defeq \prod_{i=1}^n i = n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 1 \]
9 mit $0! \defeq 1$. 8 mit $0! \defeq 1$.
28 } 27 }
29 28
30 \defineUnit{binomialkoeffizient}{% 29 \defineUnit{binomialkoeffizient}{%
31 \begin{frame} 30 \begin{frame}
32 \frametitle{Binomialkoeffizient} 31 \frametitle{Binomialkoeffizient}
33 \setbeamercovered{dynamic}
34 32
35 \begin{definition}[Binomialkoeffizient] 33 \begin{definition}[Binomialkoeffizient]
36 Der \structure{Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$} gibt die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge an. 34 Der \structure{Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$} gibt die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge an.
37 \begin{align} 35 \begin{align}
38 \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n^{\underline k}}{k!} 36 \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n^{\underline k}}{k!}
55 } 53 }
56 54
57 \defineUnit{multimengen}{% 55 \defineUnit{multimengen}{%
58 \begin{frame} 56 \begin{frame}
59 \frametitle{Multimengen} 57 \frametitle{Multimengen}
60 \setbeamercovered{dynamic}
61 58
62 \begin{definition}[Multimenge] 59 \begin{definition}[Multimenge]
63 \structure{Multimengen} sind eine Verallgemeinerung gewöhnlicher Mengen.\\ 60 \structure{Multimengen} sind eine Verallgemeinerung gewöhnlicher Mengen.\\
64 Elemente können nun mehrfach vorkommen, die Reihenfolge spielt weiterhin keine Rolle.\\ 61 Elemente können nun mehrfach vorkommen, die Reihenfolge spielt weiterhin keine Rolle.\\
65 Sie werden meist auch mit $\left\{ \cdot \right\}$ notiert, alternativ $\{\!\vert \cdot \vert\!\}$. 62 Sie werden meist auch mit $\left\{ \cdot \right\}$ notiert, alternativ $\{\!\vert \cdot \vert\!\}$.
84 } 81 }
85 82
86 \defineUnit{doppeltesabzaehlen}{% 83 \defineUnit{doppeltesabzaehlen}{%
87 \begin{frame} 84 \begin{frame}
88 \frametitle{Doppeltes Abzählen} 85 \frametitle{Doppeltes Abzählen}
89 \setbeamercovered{dynamic}
90 86
91 \begin{block}{Doppeltes Abzählen} 87 \begin{block}{Doppeltes Abzählen}
92 Ermittelt man die \structure{Mächtigkeit} einer Menge auf zwei Arten, so müssen beide Ergebnisse \structure{übereinstimmen}.\\ 88 Ermittelt man die \structure{Mächtigkeit} einer Menge auf zwei Arten, so müssen beide Ergebnisse \structure{übereinstimmen}.\\
93 Eine so ermittelte Gleichung kann die gesuchte Mächtigkeit festlegen. 89 Eine so ermittelte Gleichung kann die gesuchte Mächtigkeit festlegen.
94 \end{block} 90 \end{block}
113 } 109 }
114 110
115 \defineUnit{schubfachprinzip}{% 111 \defineUnit{schubfachprinzip}{%
116 \begin{frame} 112 \begin{frame}
117 \frametitle{Schubfachprinzip} 113 \frametitle{Schubfachprinzip}
118 \setbeamercovered{dynamic}
119 114
120 \begin{definition}[Schubfachprinzip] 115 \begin{definition}[Schubfachprinzip]
121 Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung und $\abs{X} > \abs{Y}$.\\ 116 Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung und $\abs{X} > \abs{Y}$.\\
122 Dann gilt 117 Dann gilt
123 \begin{align} 118 \begin{align}
140 } 135 }
141 136
142 \defineUnit{inklusionexklusion}{% 137 \defineUnit{inklusionexklusion}{%
143 \begin{frame} 138 \begin{frame}
144 \frametitle{Inklusion und Exklusion} 139 \frametitle{Inklusion und Exklusion}
145 \setbeamercovered{dynamic}
146 140
147 \begin{block}{Inklusion und Exklusion} 141 \begin{block}{Inklusion und Exklusion}
148 Das Prinzip der \structure{Inklusion und Exklusion} erweitert die Summenregel um \alert{nicht disjunkte} Mengen.\\ 142 Das Prinzip der \structure{Inklusion und Exklusion} erweitert die Summenregel um \alert{nicht disjunkte} Mengen.\\
149 Für drei Mengen $A, B, C$ gilt 143 Für drei Mengen $A, B, C$ gilt
150 \begin{align} 144 \begin{align}
181 } 175 }
182 176
183 \defineUnit{stirlingzahlen}{% 177 \defineUnit{stirlingzahlen}{%
184 \begin{frame} 178 \begin{frame}
185 \frametitle{Mengenpartition} 179 \frametitle{Mengenpartition}
186 \setbeamercovered{dynamic}
187 180
188 \begin{definition}[$k$-Partition] 181 \begin{definition}[$k$-Partition]
189 Eine \structure{$k$-Partition} einer Menge $A$ ist eine Zerlegung von $A$ in $k$ \alert{disjunke, nichtleere Teilmengen} $A_1, \dots, A_k$ mit 182 Eine \structure{$k$-Partition} einer Menge $A$ ist eine Zerlegung von $A$ in $k$ \alert{disjunke, nichtleere Teilmengen} $A_1, \dots, A_k$ mit
190 \begin{align} 183 \begin{align}
191 \biguplus_{i=1}^k A_i = A 184 \biguplus_{i=1}^k A_i = A
207 \end{example} 200 \end{example}
208 \end{frame} 201 \end{frame}
209 202
210 \begin{frame} 203 \begin{frame}
211 \frametitle{Stirlingzahlen zweiter Art} 204 \frametitle{Stirlingzahlen zweiter Art}
212 \setbeamercovered{dynamic}
213 205
214 \begin{definition}[Stirlingzahlen zweiter Art] 206 \begin{definition}[Stirlingzahlen zweiter Art]
215 Die \structure{Stirlingzahlen zweiter Art $S_{n, k}$} gibt die Anzahl der $k$-Partitoinen einer $n$-elementigen Menge an. 207 Die \structure{Stirlingzahlen zweiter Art $S_{n, k}$} gibt die Anzahl der $k$-Partitoinen einer $n$-elementigen Menge an.
216 Wir schreiben 208 Wir schreiben
217 \begin{align} 209 \begin{align}
233 \end{example} 225 \end{example}
234 \end{frame} 226 \end{frame}
235 227
236 \begin{frame} 228 \begin{frame}
237 \frametitle{Permutationen} 229 \frametitle{Permutationen}
238 \setbeamercovered{dynamic}
239 230
240 \begin{definition}[Permutation] 231 \begin{definition}[Permutation]
241 Eine \structure{Permutation} einer Menge $A = \left\{ a_1, \dots, a_n \right\}$ ist eine \alert{bijektive Abbildung} $\pi : A \to A$.\\ 232 Eine \structure{Permutation} einer Menge $A = \left\{ a_1, \dots, a_n \right\}$ ist eine \alert{bijektive Abbildung} $\pi : A \to A$.\\
242 Wir notieren Permutationen in zweizeiligen Vektoren. 233 Wir notieren Permutationen in zweizeiligen Vektoren.
243 \begin{align} 234 \begin{align}
266 \end{example} 257 \end{example}
267 \end{frame} 258 \end{frame}
268 259
269 \begin{frame} 260 \begin{frame}
270 \frametitle{Zyklus} 261 \frametitle{Zyklus}
271 \setbeamercovered{dynamic}
272 262
273 \begin{definition}[$k$-Zyklus] 263 \begin{definition}[$k$-Zyklus]
274 Ein \structure{$k$-Zyklus} ist eine Permutation $\pi$, die $k$ verschiedene Zahlen $i_1, \dots, i_k$ im Kreis vertauscht. 264 Ein \structure{$k$-Zyklus} ist eine Permutation $\pi$, die $k$ verschiedene Zahlen $i_1, \dots, i_k$ im Kreis vertauscht.
275 \begin{align} 265 \begin{align}
276 \pi &= \begin{pmatrix} 266 \pi &= \begin{pmatrix}
309 \end{example} 299 \end{example}
310 \end{frame} 300 \end{frame}
311 301
312 \begin{frame} 302 \begin{frame}
313 \frametitle{Stirlingzahlen erster Art} 303 \frametitle{Stirlingzahlen erster Art}
314 \setbeamercovered{dynamic}
315 304
316 \begin{definition}[Stirlingzahlen erster Art] 305 \begin{definition}[Stirlingzahlen erster Art]
317 Die \structure{Stirlingzahlen erster Art $s_{n, k}$} gibt die Anzahl der Permutationen mit $n$ Elementen und \alert{k Zyklen} an. 306 Die \structure{Stirlingzahlen erster Art $s_{n, k}$} gibt die Anzahl der Permutationen mit $n$ Elementen und \alert{k Zyklen} an.
318 Wir schreiben 307 Wir schreiben
319 \begin{align} 308 \begin{align}