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author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Wed, 08 Jan 2014 14:26:02 +0100 |
parents | 5734c1faf9cd |
children | f481e19e1430 |
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\defineUnit{zaehlen}{% \begin{frame} \frametitle{Faktorielle} \begin{definition}[Fakultät] Die \structure{Fakultät $n!$} einer natürlichen Zahl $n \in \N_0$ ist \[ n! \defeq \prod_{i=1}^n i = n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 1 \] mit $0! \defeq 1$. \end{definition} \vfill \begin{definition}[Steigende und fallende Faktorielle] Für $n, m \in \N_0$ mit $m \leq n$ ist { \setlength{\belowdisplayskip}{0pt} \begin{align} n^{\underline m} &\defeq \frac{n!}{(n-m)!} \tag{\structure{fallende Faktorielle}}\\ &= n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - m + 1) \\ \intertext{\vspace{1em}} n^{\overline m} &\defeq \frac{(n+m-1)!}{(n-1)!} \tag{\structure{steigende Faktorielle}}\\ &= n \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot (n + m - 1) \end{align} } \end{definition} \end{frame} } \defineUnit{binomialkoeffizient}{% \begin{frame} \frametitle{Binomialkoeffizient} \begin{definition}[Binomialkoeffizient] Der \structure{Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$} gibt die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge an. \begin{align} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n^{\underline k}}{k!} \end{align} Man sagt \structure{n über k} oder \structure{k aus n}. \end{definition} \begin{itemize} \item $\binom{n}{k}$ viele Möglichkeiten, $k$ Elemente aus $n$ Elementen zu wählen \end{itemize} \vfill \begin{theorem}[Pascalsche Identität] Die \structure{Pascalsche Identität} liefert eine rekursive Definition des Binomialkoeffizienten. \begin{align} \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} \end{align} \end{theorem} \end{frame} } \defineUnit{multimengen}{% \begin{frame} \frametitle{Multimengen} \begin{definition}[Multimenge] \structure{Multimengen} sind eine Verallgemeinerung gewöhnlicher Mengen.\\ Elemente können nun mehrfach vorkommen, die Reihenfolge spielt weiterhin keine Rolle.\\ Sie werden meist auch mit $\left\{ \cdot \right\}$ notiert, alternativ $\{\!\vert \cdot \vert\!\}$. \end{definition} \begin{theorem}[Anzahl von Multiteilmengen] Eine \structure{$k$-Multiteilmenge} von $M$ mit $\abs{M} = n$ ist eine Multimenge, die $k$ (nicht unbedingt verschiedene) Elemente aus $M$ enthält.\\ Es gibt \begin{align} \structure{\binom{k + n - 1}{k}} = \binom{k + n - 1}{n - 1} \end{align} solche Multiteilmengen. \end{theorem} \begin{example}[] \begin{itemize} \item $M \defeq \left\{ 1, 2, 2, 2, 3 \right\} = \left\{ 2, 1, 2, 3, 2 \right\} \qquad \abs{M} = 5$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} } } \defineUnit{doppeltesabzaehlen}{% \begin{frame} \frametitle{Doppeltes Abzählen} \begin{block}{Doppeltes Abzählen} Ermittelt man die \structure{Mächtigkeit} einer Menge auf zwei Arten, so müssen beide Ergebnisse \structure{übereinstimmen}.\\ Eine so ermittelte Gleichung kann die gesuchte Mächtigkeit festlegen. \end{block} \begin{example}[Matrizen] In einer Matrix müssen die Summen von Zeilensummen und Spaltensummen übereinstimmen. \end{example} \begin{example}[Studenten] In einer Vorlesung sitzen \structure{64 Studenten} und \alert{n Studentinnen}.\\ Jeder Student kennt genau \structure{5} Studentinnen und jede Studentin \alert{8}~Studenten. Wenn \enquote{bekannt sein} symmetrisch ist, wie viele Studentinnen besuchen die Vorlesung? { \setlength{\belowdisplayskip}{0pt} \begin{align} \structure{64 \cdot 5} &= \alert{n \cdot 8}\\ n &= \frac{64 \cdot 5}{8} = 40 \end{align} } \end{example} \end{frame} } \defineUnit{schubfachprinzip}{% \begin{frame} \frametitle{Schubfachprinzip} \begin{definition}[Schubfachprinzip] Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung und $\abs{X} > \abs{Y}$.\\ Dann gilt \begin{align} \exists y \in Y.\, \abs{f^{-1}(y)} \geq \alert{2} \end{align} Wenn man \structure{n} Elemente auf \structure{m < n} Fächer verteilt, dann gibt es \structure{mindestens ein Fach}, das mindestens \structure{2} Elemente enthält. \end{definition} \vfill \begin{definition}[Verallgemeinertes Schubfachprinzip] Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung und $\abs{X} > \abs{Y}$.\\ Dann gilt \begin{align} \exists y \in Y.\, \abs{f^{-1}(y)} \geq \alert{\left \lceil \frac{\abs{X}}{\abs{Y}}\right \rceil} \end{align} Wenn man \structure{n} Elemente auf \structure{m < n} Fächer verteilt, dann gibt es \structure{mindestens ein Fach}, das mindestens \structure{$\left\lceil\frac{\abs{X}}{\abs{Y}} \right\rceil$} Elemente enthält. \end{definition} \end{frame} } \defineUnit{inklusionexklusion}{% \begin{frame} \frametitle{Inklusion und Exklusion} \begin{block}{Inklusion und Exklusion} Das Prinzip der \structure{Inklusion und Exklusion} erweitert die Summenregel um \alert{nicht disjunkte} Mengen.\\ Für drei Mengen $A, B, C$ gilt \begin{align} \abs{A \cup B \cup C} = \abs{A} &\structure{+} \abs{B} \structure{+} \abs{C}\\ &\alert{-} \abs{A \cap B} \alert{-} \abs{A \cap C} \alert{-} \abs{B \cap C}\\ &\structure{+} \abs{A \cap B \cap C} \end{align} \end{block} \vfill \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=2em, y=2em] \tikzstyle{opa} = [fill opacity=0.5] \tikzstyle{A} = [tumred, fill=tumred!35, opa] \tikzstyle{B} = [tumblue, fill=tumblue!35, opa] \tikzstyle{C} = [tumgreen, fill=tumgreen!35, opa] \draw[A] (-2, 0) ellipse (3 and 2); \draw[B] (2, 0) ellipse (3 and 2); \draw[C] (0, 2) ellipse (3 and 2); \draw (-3.5, -.5) node[tumred] {A} (3.5, -.5) node[tumblue] {B} (0, 3.5) node[tumgreen] {C} (-2, -.5) node {1} (2, -.5) node {1} (0, 2.5) node {1} (-1.5, 1) node {2} (1.5, 1) node {2} (0, -.5) node {2} (0, .75) node {3}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{stirlingzahlen}{% \begin{frame} \frametitle{Mengenpartition} \begin{definition}[$k$-Partition] Eine \structure{$k$-Partition} einer Menge $A$ ist eine Zerlegung von $A$ in $k$ \alert{disjunke, nichtleere Teilmengen} $A_1, \dots, A_k$ mit \begin{align} \biguplus_{i=1}^k A_i = A \end{align} Dabei bezeichnet $\uplus$ die disjunkte Vereinigung. \end{definition} \vfill \begin{example}[] Einige mögliche \structure{$3$-Partitionen} von $[5]$ sind \begin{align} \left\{ \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}, \left\{ 5 \right\} \right\} &&& \left\{ \left\{ 1 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}, \left\{ 2, 5 \right\} \right\}\\ \left\{ \left\{ 1,2,3 \right\}, \left\{ 4 \right\}, \left\{ 5 \right\} \right\} &&& \left\{ \left\{ 1, 5 \right\}, \left\{ 2, 4 \right\}, \left\{ 3 \right\} \right\} \end{align} Es existieren genau 25 solche $3$-Partitionen. \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Stirlingzahlen zweiter Art} \begin{definition}[Stirlingzahlen zweiter Art] Die \structure{Stirlingzahlen zweiter Art $S_{n, k}$} gibt die Anzahl der $k$-Partitoinen einer $n$-elementigen Menge an. Wir schreiben \begin{align} \stirlingtwo{n}{k} &\defeq S_{n, k}\\ \intertext{Es ist} \stirlingtwo{n}{k} &= \stirlingtwo{n-1}{k-1} + k \cdot \stirlingtwo{n-1}{k} \end{align} \end{definition} \begin{itemize} \item $\stirlingtwo{n}{k}$ viele Möglichkeiten, $n$ unterscheidbare Objekte in $k$ gleiche Fächer zu verteilen, sodass jedes Fach ein Objekt bekommt \end{itemize} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item Es gibt $\stirlingtwo{5}{3} = 25$ $3$-Partitionen von $[5]$. \end{itemize} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Permutationen} \begin{definition}[Permutation] Eine \structure{Permutation} einer Menge $A = \left\{ a_1, \dots, a_n \right\}$ ist eine \alert{bijektive Abbildung} $\pi : A \to A$.\\ Wir notieren Permutationen in zweizeiligen Vektoren. \begin{align} \pi = \begin{pmatrix} a_1 & \dots & a_n \\ \pi(a_1) & \dots & \pi(a_n) \end{pmatrix} \end{align} \end{definition} \begin{itemize} \item Weist jedem Element in $A$ ein neues, eindeutiges Element in $A$ zu. \item \enquote{Mischt} die Elemente einer Menge \end{itemize} \vfill \begin{example}[] $\pi$ ist eine Permutation auf $[9]$. \begin{align} \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 5 & 4 & 7 & 2 & 6 & 1 & 9 & 8 \end{pmatrix} \end{align} Es ist $\pi(1) = 3$, $\pi(4) = 7$. \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Zyklus} \begin{definition}[$k$-Zyklus] Ein \structure{$k$-Zyklus} ist eine Permutation $\pi$, die $k$ verschiedene Zahlen $i_1, \dots, i_k$ im Kreis vertauscht. \begin{align} \pi &= \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_k \\ i_2 & i_3 & \dots & i_1 \end{pmatrix} \\ \intertext{Wir schreiben auch} \pi &= \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_k \end{pmatrix} \end{align} Jede Permutation ist eine Verkettung disjunkter Zyklen. \end{definition} \vfill \begin{example}[] % This is ugly :/ \vspace{-1em} \begin{align} \pi &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 5 & 4 & 7 & 2 & 6 & 1 & 9 & 8 \end{pmatrix} \\ \intertext{$\pi$ enthält vier Zyklen.} \pi &= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 9 \end{pmatrix} \end{align} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Stirlingzahlen erster Art} \begin{definition}[Stirlingzahlen erster Art] Die \structure{Stirlingzahlen erster Art $s_{n, k}$} gibt die Anzahl der Permutationen mit $n$ Elementen und \alert{k Zyklen} an. Wir schreiben \begin{align} \stirlingone{n}{k} &\defeq s_{n, k}\\ \intertext{Es ist} \stirlingone{n}{k} &= \stirlingone{n-1}{k-1} + (n-1) \cdot \stirlingone{n-1}{k} \end{align} \end{definition} \begin{itemize} \item Es gilt $\sum_{k=1}^n \stirlingone{n}{k} = n!$ \end{itemize} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item Es gibt $\stirlingone{9}{4} = 67284$ Permutationen über $[9]$ mit \alert{vier Zyklen}. \end{itemize} \end{example} \end{frame} }