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view notes/tex/combinatorics.tex @ 43:7245dcccf68d
grammar; typo
author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Tue, 17 Dec 2013 00:56:39 +0100 |
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\defineUnit{zaehlen}{% \begin{frame} \frametitle{Faktorielle} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Fakultät] Die \structure{Fakultät $n!$} einer natürlichen Zahl $n \in \N_0$ ist \[ n! \defeq \prod_{i=1}^n i = n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 1 \] mit $0! \defeq 1$. \end{definition} \vfill \begin{definition}[Steigende und fallende Faktorielle] Für $n, m \in \N_0$ mit $m \leq n$ ist { \setlength{\belowdisplayskip}{0pt} \begin{align} n^{\underline m} &\defeq \frac{n!}{(n-m)!} \tag{\structure{fallende Faktorielle}}\\ &= n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - m + 1) \\ \intertext{\vspace{1em}} n^{\overline m} &\defeq \frac{(n+m-1)!}{(n-1)!} \tag{\structure{steigende Faktorielle}}\\ &= n \cdot (n + 1) \cdot \ldots \cdot (n + m - 1) \end{align} } \end{definition} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Binomialkoeffizient} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Binomialkoeffizient] Der \structure{Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$} gibt die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge an. \begin{align} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n^{\underline k}}{k!} \end{align} Man sagt \structure{n über k} oder \structure{k aus n}. \end{definition} \begin{itemize} \item $\binom{n}{k}$ viele Möglichkeiten, $k$ Elemente aus $n$ Elementen zu wählen \item Rekursive Definition (hier nicht gezeigt) \end{itemize} \vfill \begin{example}[] Forrest hat eine Schachtel mit 10 verschiedenen Pralinen.\\ Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 davon zu essen? \begin{align} \binom{10}{4} = 210 \end{align} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Multimengen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Multimenge] \structure{Multimengen} sind eine Verallgemeinerung gewöhnlicher Mengen.\\ Elemente können nun mehrfach vorkommen, die Reihenfolge spielt weiterhin keine Rolle.\\ Sie werden meist auch mit $\left\{ \cdot \right\}$ notiert, alternativ $\{\!\vert \cdot \vert\!\}$. \end{definition} \begin{theorem}[Anzahl von Multiteilmengen] Eine \structure{$k$-Multiteilmenge} von $M$ mit $\abs{M} = n$ ist eine Multimenge, die $k$ (nicht unbedingt verschiedene) Elemente aus $M$ enthält.\\ Es gibt \begin{align} \structure{\binom{k + n - 1}{k}} = \binom{k + n - 1}{n - 1} \end{align} solche Multiteilmengen. \end{theorem} \begin{example}[] \begin{itemize} \item $M \defeq \left\{ 1, 2, 2, 2, 3 \right\} = \left\{ 2, 1, 2, 3, 2 \right\} \qquad \abs{M} = 5$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} } \defineUnit{doppeltesabzaehlen}{% \begin{frame} \frametitle{Doppeltes Abzählen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Doppeltes Abzählen} Ermittelt man die \structure{Mächtigkeit} einer Menge auf zwei Arten, so müssen beide Ergebnisse \structure{übereinstimmen}.\\ Eine so ermittelte Gleichung kann die gesuchte Mächtigkeit festlegen. \end{block} \begin{example}[Matrizen] In einer Matrix müssen die Summen von Zeilensummen und Spaltensummen übereinstimmen. \end{example} \begin{example}[Studenten] In einer Vorlesung sitzen \structure{64 Studenten} und \alert{n Studentinnen}.\\ Jeder Student kennt genau \structure{5} Studentinnen und jede Studentin \alert{8}~Studenten. Wenn \enquote{bekannt sein} symmetrisch ist, wie viele Studentinnen besuchen die Vorlesung? { \setlength{\belowdisplayskip}{0pt} \begin{align} \structure{64 \cdot 5} &= \alert{n \cdot 8}\\ n &= \frac{64 \cdot 5}{8} = 40 \end{align} } \end{example} \end{frame} } \defineUnit{schubfachprinzip}{% \begin{frame} \frametitle{Schubfachprinzip} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Schubfachprinzip] Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung und $\abs{X} > \abs{Y}$.\\ Dann gilt \begin{align} \exists y \in Y.\, \abs{f^{-1}(y)} \geq \alert{2} \end{align} Wenn man \structure{n} Elemente auf \structure{m < n} Fächer verteilt, dann gibt es \structure{mindestens ein Fach}, das mindestens \structure{2} Elemente enthält. \end{definition} \vfill \begin{definition}[Verallgemeinertes Schubfachprinzip] Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung und $\abs{X} > \abs{Y}$.\\ Dann gilt \begin{align} \exists y \in Y.\, \abs{f^{-1}(y)} \geq \alert{\left \lceil \frac{\abs{X}}{\abs{Y}}\right \rceil} \end{align} Wenn man \structure{n} Elemente auf \structure{m < n} Fächer verteilt, dann gibt es \structure{mindestens ein Fach}, das mindestens \structure{$\left\lceil\frac{\abs{X}}{\abs{Y}} \right\rceil$} Elemente enthält. \end{definition} \end{frame} }