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author Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
date Mon, 21 Oct 2013 20:29:08 +0200
parents a21df5c753d5
children fac222767cda
files notes/tex/basics.tex notes/tex/preamble.tex notes/tex/ue01_notes.tex
diffstat 3 files changed, 212 insertions(+), 24 deletions(-) [+]
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--- a/notes/tex/basics.tex	Sun Oct 20 16:30:56 2013 +0200
+++ b/notes/tex/basics.tex	Mon Oct 21 20:29:08 2013 +0200
@@ -6,13 +6,13 @@
     \begin{definition}[Menge]
         Eine \structure{Menge} ist eine \alert{ungeordnete} Sammlung \alert{unterscheidbarer} Objekte.\\
         Mit \structure{Mengenklammern} werden Objekte zusammengefasst.
-        \[ A := \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \]
+        \[ A \defeq \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \]
         Man nennt $a$ ein \structure{Element} von $A$, es gilt $a \in A$.
     \end{definition}
 
     \begin{itemize}
-        \item Reihenfolge ist egal
-        \item Elemente kommen nicht mehrfach vor
+        \item Reihenfolge ist \alert{egal}
+        \item Elemente kommen \alert{nicht} mehrfach vor
     \end{itemize}
 
     \vfill
@@ -20,8 +20,8 @@
     \begin{example}[]
         \begin{itemize}
             \item $\left\{ a, b, c, a, c \right\} = \left\{ a, b, c \right\} = \left\{ c, a, b \right\}$
-            \item $\N := \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$
-            \item $\emptyset := \left\{  \right\}$
+            \item $\N \defeq \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$
+            \item $\emptyset \defeq \left\{  \right\}$
         \end{itemize}
     \end{example}
 \end{frame}
@@ -32,14 +32,15 @@
 
     \begin{definition}[Extensionale Schreibweise]
         Die \structure{extensionale Schreibweise} einer Menge zählt ihre Elemente auf.
-        \[ M := \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \]
+        \[ M \defeq \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \]
     \end{definition}
     \vfill
     \begin{example}[]
         \begin{itemize}
-            \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$
-            \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
-            \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$
+            \item $A \defeq \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$
+            \item $B \defeq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ = [4]
+            \item $C \defeq \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$
+            \item $D \defeq \left\{ \alpha, a, \smiley, 8, \left\{ 1, 2 \right\}, \N \right\}$
         \end{itemize}
     \end{example}
 \end{frame}
@@ -50,15 +51,15 @@
 
     \begin{definition}[Intensionale Schreibweise]
         Die \structure{intensionale Schreibweise} beschreibt eine Menge durch charakteristische Eigenschaften.
-        \[ M := \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \]
+        \[ M \defeq \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \]
         $M$ enthält alle Elemente im \structure{Universum} $\Omega$ mit der Eigenschaft $P$.
     \end{definition}
     \vfill
     \begin{example}[]
         \begin{itemize}
-            \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$
-            \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$
-            \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$
+            \item $A \defeq \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$
+            \item $B \defeq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$
+            \item $C \defeq \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$
         \end{itemize}
     \end{example}
 \end{frame}
@@ -75,6 +76,7 @@
                 \begin{description}[\qquad\qquad]
                     \item[$a \in A$] $a$ ist Element von $A$
                     \item[$b \not\in A$] $b$ ist kein Element von $A$
+                    \item[$\abs{A}$] Anzahl der Elemente in $A$, Kardinalität
                 \end{description}
             \item Relationen zwischen Mengen
                 \begin{description}[\qquad\qquad]
@@ -89,7 +91,7 @@
         \begin{itemize}
             \item $1 \in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $9 \not\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
             \item $\left\{ 1, 2 \right\} \subseteq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $\left\{ 1, 5 \right\} \not\subseteq \left\{ 1, 2 \right\}$
-            \item $\emptyset \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$
+            \item $\emptyset \subseteq [5] \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$
         \end{itemize}
     \end{example}
 \end{frame}
@@ -100,26 +102,203 @@
 
     \begin{block}{Operationen}
         \begin{description}[\qquad\qquad]
-            \item[$\setnot{A}$] $:= \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement}
-            \item[$A \cup B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung}
-            \item[$A \cap B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt}
-            \item[$A \setminus B$] $:= A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz}
-            \item[$A \setsymdiff B$] $:= \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz}
+            \item[$\setnot{A}$] $\defeq \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement}
+            \item[$A \cup B$] $\defeq \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung}
+            \item[$A \cap B$] $\defeq \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt}
+            \item[$A \setminus B$] $\defeq A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz}
+            \item[$A \setsymdiff B$] $\defeq \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz}
         \end{description}
     \end{block}
     \vill
-    Für mehrere Mengen schreibt man:
+    Für mehrere Mengen schreibt man
     \begin{align}
-        \bigcap_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\
-        \bigcup_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n
+        \bigcap_{i=1}^n A_i &\defeq A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\
+        \bigcup_{i=1}^n A_i &\defeq A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n
     \end{align}
 \end{frame}
 }
 
+\defineUnit{venn}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Venn-Diagramme}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \structure{Venn-Diagramme} visualisieren Mengen $A, B, \ldots$ im Universum $\Omega$.
+
+    {
+        \def\universe{(-1.5, -1.25) rectangle (2.5, 1.25) node[anchor=north east, black] {$\Omega$}}
+        \def\first{(0, 0) circle (1)}
+        \def\second{(1, 0) circle (1)}
+        \tikzstyle{universe} = [draw, thick, tumblue, fill=tumlightblue!15]
+        \tikzstyle{inset} = [fill=tumred!35]
+        \tikzstyle{outline} = [draw, thick, black]
+        \begin{columns}
+            \begin{column}{.5\textwidth}
+                \begin{itemize}
+                    \item $A \cup B$
+                        \begin{figure}
+                            \begin{tikzpicture}
+                                \draw[universe] \universe;
+                                \fill[inset] \first;
+                                \fill[inset] \second;
+                                \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
+                                \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
+                            \end{tikzpicture}
+                        \end{figure}
+                    \item $A \setminus B$
+                        \begin{figure}
+                            \begin{tikzpicture}
+                                \draw[universe] \universe;
+                                \begin{scope}
+                                    \clip \first;
+                                    \fill[inset, even odd rule] \first \second;
+                                \end{scope}
+                                \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
+                                \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
+                            \end{tikzpicture}
+                        \end{figure}
+                \end{itemize}
+            \end{column}
+            \begin{column}{.5\textwidth}
+                \begin{itemize}
+                    \item $A \cap B$
+                        \begin{figure}
+                            \begin{tikzpicture}
+                                \draw[universe] \universe;
+                                \begin{scope}
+                                    \clip \first;
+                                    \fill[inset] \second;
+                                \end{scope}
+                                \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
+                                \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
+                            \end{tikzpicture}
+                        \end{figure}
+                    \item $A \setsymdiff B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$
+                        \begin{figure}
+                            \begin{tikzpicture}
+                                \draw[universe] \universe;
+                                \fill[inset, even odd rule] \first \second;
+                                \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
+                                \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
+                            \end{tikzpicture}
+                        \end{figure}
+                \end{itemize}
+            \end{column}
+        \end{columns}
+    }
+\end{frame}
+}
+
+\defineUnit{mengenrechenregeln}{%
+\begin{frame}
+    \frametitle{Rechnen mit Mengen}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{theorem}[De Morgansche Gesetze]
+        Sind $A, B$ Mengen, dann gilt
+        \begin{alignat}{2}
+            \setnot{A \cup B} &= \setnot{A} \cap \setnot{B} \qquad\qquad& \setnot{A \cap B} &= \setnot{A} \cup \setnot{B}\\
+            \intertext{Für Mengen $A_i$ gilt}
+            \setnot{\bigcup_{i=1}^nA_i} &= \bigcap_{i=1}^n\setnot{A_i} & \setnot{\bigcap_{i=1}^nA_i} &= \bigcup_{i=1}^n\setnot{A_i} & 
+        \end{alignat}
+    \end{theorem}
+
+    \vfill
+
+    \begin{itemize}
+        \item Zusammen mit $\setnot{\setnot{A}} = A$ wichtigste Regel
+        \item Gilt auch in der Aussagenlogik
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+}
+
 \defineUnit{potenzmenge}{%
-content
+\begin{frame}
+    \frametitle{Potenzmenge}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Potenzmenge]
+        Die \structure{Potenzmenge} $\powerset{M}$ zu einer Menge $M$ ist die Menge all ihrer Teilmengen.
+        \[ \powerset{M} \defeq \left\{ X \mid X \subseteq M \right\} \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{itemize}
+        \item $\powerset{M}$ enthält für endliche Mengen genau $2^{\abs{M}}$ Elemente
+        \item Man schreibt deshalb auch $2^M$
+        \item Es ist $M \in \powerset{M}$ und $\emptyset \in \powerset{M}$
+    \end{itemize}
+
+    \vfill
+
+    \begin{example}[]
+        Für $M = \left\{ a, b, c \right\}$ ist
+        \[ \powerset{M} = \left\{ 
+            \emptyset,
+            \left\{ a \right\},
+            \left\{ b \right\},
+            \left\{ c \right\},
+            \left\{ a, b \right\},
+            \left\{ a, c \right\},
+            \left\{ b, c \right\},
+            \left\{ a, b, c \right\}
+        \right\} \]
+        mit $\abs{\powerset{M}} = 2^3 = 8$
+    \end{example}
+\end{frame}
 }
 
 \defineUnit{tupel}{%
-content
+\begin{frame}
+    \frametitle{Tupel}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Tupel]
+        Ein \structure{$n$-Tupel} ist eine \alert{geordnete} Sammlung $n$ \alert{beliebiger} Objekte.\\
+        Mit \structure{Tupelklammern} werden Objekte zusammengefasst.
+        \[ T \defeq \left( t_1, t_2, \ldots, t_n \right)\]
+    \end{definition}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Reihenfolge \alert{nicht} egal
+        \item Elemente \alert{dürfen} mehrmals vorkommen
+    \end{itemize}
+
+    \vfill
+
+    \begin{example}[]
+        \begin{itemize}
+            \item \left( a, b, c \right) \neq \left( c, a, b \right) \neq $\left( a, b, c, a, c \right)$
+            \item $\left( 1, 2, 3 \right) \neq \left\{ 3, 2, 1 \right\} = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$
+            \item $\left( \left\{ \alpha, \beta \right\}, \emptyset, \N \right)$
+        \end{itemize}
+    \end{example}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Kreuzprodukt}
+    \setbeamercovered{dynamic}
+
+    \begin{definition}[Kreuzprodukt]
+        Sind $A, B$ Mengen, dann ist ihr \structure{kartesisches Produkt} (Kreuzprodukt)
+        \begin{align}
+            A \times B &\defeq \left\{ \left( a, b \right) \mid a \in A, b \in B \right\}\\
+            \intertext{Für Mengen $A_i$ ist}
+            A_1 \times \ldots \times A_n &\defeq \left\{ \left(a_1, \ldots, a_n\right) \mid a_1 \in A_1, \ldots, a_n \in A_n \right\}
+        \end{align}
+    \end{definition}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Für endliche $A_i$ ist $\abs{A_1 \times \ldots \times A_n} = \abs{A_1} \cdot \ldots \cdot \abs{A_n}$
+        \item Man schreibt \structure{$A^n \defeq \underbracket[0.5pt]{A \times \ldots \times A}_{\text{n mal}}$} mit $A^0 = \left\{ \emptyset \right\}$
+    \end{itemize}
+
+    \vfill
+
+    \begin{example}[]
+        \begin{itemize}
+            \item $\left\{ 1, 2 \right\} \times \left\{ a, b \right\} = \left\{ (1, a), (2, a), (1, b), (2, b) \right\}$
+            \item $\left\{ \alpha, \beta \right\}^2 = \left\{ (\alpha, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, \alpha), (\beta, \beta) \right\}$
+        \end{itemize}
+    \end{example}
+\end{frame}
 }
--- a/notes/tex/preamble.tex	Sun Oct 20 16:30:56 2013 +0200
+++ b/notes/tex/preamble.tex	Mon Oct 21 20:29:08 2013 +0200
@@ -25,6 +25,7 @@
 \usepackage{mathtools}
 \mathtoolsset{showonlyrefs}
 \usepackage{csquotes}
+\usepackage{wasysym}
 
 \usepackage{beamerthemeLEA2}
 
@@ -36,5 +37,8 @@
 \newcommand{\Prob}{\mathrm{P}}
 \newcommand{\Oh}{\mathcal{O}}
 
+\newcommand{\abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
+\newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}\left( #1 \right)}
 \newcommand{\setnot}[1]{\overline{#1}}
 \newcommand{\setsymdiff}{\,\triangle\,}
+\newcommand{\defeq}{\mathrel{\vcenter{\baselineskip0.5ex\lineskiplimit0pt\hbox{\scriptsize.}\hbox{\scriptsize.}}}=}
--- a/notes/tex/ue01_notes.tex	Sun Oct 20 16:30:56 2013 +0200
+++ b/notes/tex/ue01_notes.tex	Mon Oct 21 20:29:08 2013 +0200
@@ -13,4 +13,9 @@
 
 \showUnit{mengen}
 \showUnit{mengenoperationen}
+\showUnit{venn}
+\showUnit{mengenrechenregeln}
+\showUnit{potenzmenge}
+\showUnit{tupel}
+\showUnit{kreuzprodukt}
 \end{document}