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author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Mon, 21 Oct 2013 20:29:08 +0200 |
parents | ae52d9ffef38 |
children | fac222767cda |
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\defineUnit{mengen}{% \begin{frame} \frametitle{Mengen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Menge] Eine \structure{Menge} ist eine \alert{ungeordnete} Sammlung \alert{unterscheidbarer} Objekte.\\ Mit \structure{Mengenklammern} werden Objekte zusammengefasst. \[ A \defeq \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \] Man nennt $a$ ein \structure{Element} von $A$, es gilt $a \in A$. \end{definition} \begin{itemize} \item Reihenfolge ist \alert{egal} \item Elemente kommen \alert{nicht} mehrfach vor \end{itemize} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item $\left\{ a, b, c, a, c \right\} = \left\{ a, b, c \right\} = \left\{ c, a, b \right\}$ \item $\N \defeq \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$ \item $\emptyset \defeq \left\{ \right\}$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Schreibweisen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Extensionale Schreibweise] Die \structure{extensionale Schreibweise} einer Menge zählt ihre Elemente auf. \[ M \defeq \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \] \end{definition} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item $A \defeq \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$ \item $B \defeq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ = [4] \item $C \defeq \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$ \item $D \defeq \left\{ \alpha, a, \smiley, 8, \left\{ 1, 2 \right\}, \N \right\}$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Schreibweisen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Intensionale Schreibweise] Die \structure{intensionale Schreibweise} beschreibt eine Menge durch charakteristische Eigenschaften. \[ M \defeq \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \] $M$ enthält alle Elemente im \structure{Universum} $\Omega$ mit der Eigenschaft $P$. \end{definition} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item $A \defeq \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$ \item $B \defeq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$ \item $C \defeq \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} } \defineUnit{mengenoperationen}{% \begin{frame} \frametitle{Mengenoperationen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Bezeichnungen} \begin{itemize} \item Objekte in Mengen \begin{description}[\qquad\qquad] \item[$a \in A$] $a$ ist Element von $A$ \item[$b \not\in A$] $b$ ist kein Element von $A$ \item[$\abs{A}$] Anzahl der Elemente in $A$, Kardinalität \end{description} \item Relationen zwischen Mengen \begin{description}[\qquad\qquad] \item[$B \subseteq A$] $B$ ist Teilmenge von $A$, \quad $x \in B \Rightarrow x \in A$ \item[$B \subset A$] $B$ ist echte Teilmenge von $A$ \item[$B = A$] $B \subseteq A$ und $A \subseteq B$ \end{description} \end{itemize} \end{block} \begin{example}[] \begin{itemize} \item $1 \in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $9 \not\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ \item $\left\{ 1, 2 \right\} \subseteq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $\left\{ 1, 5 \right\} \not\subseteq \left\{ 1, 2 \right\}$ \item $\emptyset \subseteq [5] \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Mengenoperationen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Operationen} \begin{description}[\qquad\qquad] \item[$\setnot{A}$] $\defeq \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement} \item[$A \cup B$] $\defeq \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung} \item[$A \cap B$] $\defeq \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt} \item[$A \setminus B$] $\defeq A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz} \item[$A \setsymdiff B$] $\defeq \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz} \end{description} \end{block} \vill Für mehrere Mengen schreibt man \begin{align} \bigcap_{i=1}^n A_i &\defeq A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\ \bigcup_{i=1}^n A_i &\defeq A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \end{align} \end{frame} } \defineUnit{venn}{% \begin{frame} \frametitle{Venn-Diagramme} \setbeamercovered{dynamic} \structure{Venn-Diagramme} visualisieren Mengen $A, B, \ldots$ im Universum $\Omega$. { \def\universe{(-1.5, -1.25) rectangle (2.5, 1.25) node[anchor=north east, black] {$\Omega$}} \def\first{(0, 0) circle (1)} \def\second{(1, 0) circle (1)} \tikzstyle{universe} = [draw, thick, tumblue, fill=tumlightblue!15] \tikzstyle{inset} = [fill=tumred!35] \tikzstyle{outline} = [draw, thick, black] \begin{columns} \begin{column}{.5\textwidth} \begin{itemize} \item $A \cup B$ \begin{figure} \begin{tikzpicture} \draw[universe] \universe; \fill[inset] \first; \fill[inset] \second; \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$}; \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$}; \end{tikzpicture} \end{figure} \item $A \setminus B$ \begin{figure} \begin{tikzpicture} \draw[universe] \universe; \begin{scope} \clip \first; \fill[inset, even odd rule] \first \second; \end{scope} \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$}; \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$}; \end{tikzpicture} \end{figure} \end{itemize} \end{column} \begin{column}{.5\textwidth} \begin{itemize} \item $A \cap B$ \begin{figure} \begin{tikzpicture} \draw[universe] \universe; \begin{scope} \clip \first; \fill[inset] \second; \end{scope} \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$}; \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$}; \end{tikzpicture} \end{figure} \item $A \setsymdiff B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ \begin{figure} \begin{tikzpicture} \draw[universe] \universe; \fill[inset, even odd rule] \first \second; \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$}; \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$}; \end{tikzpicture} \end{figure} \end{itemize} \end{column} \end{columns} } \end{frame} } \defineUnit{mengenrechenregeln}{% \begin{frame} \frametitle{Rechnen mit Mengen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{theorem}[De Morgansche Gesetze] Sind $A, B$ Mengen, dann gilt \begin{alignat}{2} \setnot{A \cup B} &= \setnot{A} \cap \setnot{B} \qquad\qquad& \setnot{A \cap B} &= \setnot{A} \cup \setnot{B}\\ \intertext{Für Mengen $A_i$ gilt} \setnot{\bigcup_{i=1}^nA_i} &= \bigcap_{i=1}^n\setnot{A_i} & \setnot{\bigcap_{i=1}^nA_i} &= \bigcup_{i=1}^n\setnot{A_i} & \end{alignat} \end{theorem} \vfill \begin{itemize} \item Zusammen mit $\setnot{\setnot{A}} = A$ wichtigste Regel \item Gilt auch in der Aussagenlogik \end{itemize} \end{frame} } \defineUnit{potenzmenge}{% \begin{frame} \frametitle{Potenzmenge} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Potenzmenge] Die \structure{Potenzmenge} $\powerset{M}$ zu einer Menge $M$ ist die Menge all ihrer Teilmengen. \[ \powerset{M} \defeq \left\{ X \mid X \subseteq M \right\} \] \end{definition} \begin{itemize} \item $\powerset{M}$ enthält für endliche Mengen genau $2^{\abs{M}}$ Elemente \item Man schreibt deshalb auch $2^M$ \item Es ist $M \in \powerset{M}$ und $\emptyset \in \powerset{M}$ \end{itemize} \vfill \begin{example}[] Für $M = \left\{ a, b, c \right\}$ ist \[ \powerset{M} = \left\{ \emptyset, \left\{ a \right\}, \left\{ b \right\}, \left\{ c \right\}, \left\{ a, b \right\}, \left\{ a, c \right\}, \left\{ b, c \right\}, \left\{ a, b, c \right\} \right\} \] mit $\abs{\powerset{M}} = 2^3 = 8$ \end{example} \end{frame} } \defineUnit{tupel}{% \begin{frame} \frametitle{Tupel} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Tupel] Ein \structure{$n$-Tupel} ist eine \alert{geordnete} Sammlung $n$ \alert{beliebiger} Objekte.\\ Mit \structure{Tupelklammern} werden Objekte zusammengefasst. \[ T \defeq \left( t_1, t_2, \ldots, t_n \right)\] \end{definition} \begin{itemize} \item Reihenfolge \alert{nicht} egal \item Elemente \alert{dürfen} mehrmals vorkommen \end{itemize} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item \left( a, b, c \right) \neq \left( c, a, b \right) \neq $\left( a, b, c, a, c \right)$ \item $\left( 1, 2, 3 \right) \neq \left\{ 3, 2, 1 \right\} = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$ \item $\left( \left\{ \alpha, \beta \right\}, \emptyset, \N \right)$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Kreuzprodukt} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Kreuzprodukt] Sind $A, B$ Mengen, dann ist ihr \structure{kartesisches Produkt} (Kreuzprodukt) \begin{align} A \times B &\defeq \left\{ \left( a, b \right) \mid a \in A, b \in B \right\}\\ \intertext{Für Mengen $A_i$ ist} A_1 \times \ldots \times A_n &\defeq \left\{ \left(a_1, \ldots, a_n\right) \mid a_1 \in A_1, \ldots, a_n \in A_n \right\} \end{align} \end{definition} \begin{itemize} \item Für endliche $A_i$ ist $\abs{A_1 \times \ldots \times A_n} = \abs{A_1} \cdot \ldots \cdot \abs{A_n}$ \item Man schreibt \structure{$A^n \defeq \underbracket[0.5pt]{A \times \ldots \times A}_{\text{n mal}}$} mit $A^0 = \left\{ \emptyset \right\}$ \end{itemize} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item $\left\{ 1, 2 \right\} \times \left\{ a, b \right\} = \left\{ (1, a), (2, a), (1, b), (2, b) \right\}$ \item $\left\{ \alpha, \beta \right\}^2 = \left\{ (\alpha, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, \alpha), (\beta, \beta) \right\}$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} }