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author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Sun, 20 Oct 2013 16:30:48 +0200 |
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children | ead11e11a950 |
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\defineUnit{mengen}{% \begin{frame} \frametitle{Mengen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Menge] Eine \structure{Menge} ist eine \alert{ungeordnete} Sammlung \alert{unterscheidbarer} Objekte.\\ Mit \structure{Mengenklammern} werden Objekte zusammengefasst. \[ A := \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \] Man nennt $a$ ein \structure{Element} von $A$, es gilt $a \in A$. \end{definition} \begin{itemize} \item Reihenfolge ist egal \item Elemente kommen nicht mehrfach vor \end{itemize} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item $\left\{ a, b, c, a, c \right\} = \left\{ a, b, c \right\} = \left\{ c, a, b \right\}$ \item $\N := \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$ \item $\emptyset := \left\{ \right\}$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Schreibweisen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Extensionale Schreibweise] Die \structure{extensionale Schreibweise} einer Menge zählt ihre Elemente auf. \[ M := \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \] \end{definition} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$ \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Schreibweisen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Intensionale Schreibweise] Die \structure{intensionale Schreibweise} beschreibt eine Menge durch charakteristische Eigenschaften. \[ M := \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \] $M$ enthält alle Elemente im \structure{Universum} $\Omega$ mit der Eigenschaft $P$. \end{definition} \vfill \begin{example}[] \begin{itemize} \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$ \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$ \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} } \defineUnit{mengenoperationen}{% \begin{frame} \frametitle{Mengenoperationen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Bezeichnungen} \begin{itemize} \item Objekte in Mengen \begin{description}[\qquad\qquad] \item[$a \in A$] $a$ ist Element von $A$ \item[$b \not\in A$] $b$ ist kein Element von $A$ \end{description} \item Relationen zwischen Mengen \begin{description}[\qquad\qquad] \item[$B \subseteq A$] $B$ ist Teilmenge von $A$, \quad $x \in B \Rightarrow x \in A$ \item[$B \subset A$] $B$ ist echte Teilmenge von $A$ \item[$B = A$] $B \subseteq A$ und $A \subseteq B$ \end{description} \end{itemize} \end{block} \begin{example}[] \begin{itemize} \item $1 \in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $9 \not\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ \item $\left\{ 1, 2 \right\} \subseteq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $\left\{ 1, 5 \right\} \not\subseteq \left\{ 1, 2 \right\}$ \item $\emptyset \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$ \end{itemize} \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Mengenoperationen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Operationen} \begin{description}[\qquad\qquad] \item[$\setnot{A}$] $:= \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement} \item[$A \cup B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung} \item[$A \cap B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt} \item[$A \setminus B$] $:= A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz} \item[$A \setsymdiff B$] $:= \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz} \end{description} \end{block} \vill Für mehrere Mengen schreibt man: \begin{align} \bigcap_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\ \bigcup_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \end{align} \end{frame} } \defineUnit{potenzmenge}{% content } \defineUnit{tupel}{% content }