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comparison notes/tex/basics.tex @ 1:ae52d9ffef38

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author Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
date Sun, 20 Oct 2013 16:30:48 +0200
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comparison
equal deleted inserted replaced
0:7be6c17f0733 1:ae52d9ffef38
1 \defineUnit{mengen}{%
2 \begin{frame}
3 \frametitle{Mengen}
4 \setbeamercovered{dynamic}
5
6 \begin{definition}[Menge]
7 Eine \structure{Menge} ist eine \alert{ungeordnete} Sammlung \alert{unterscheidbarer} Objekte.\\
8 Mit \structure{Mengenklammern} werden Objekte zusammengefasst.
9 \[ A := \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \]
10 Man nennt $a$ ein \structure{Element} von $A$, es gilt $a \in A$.
11 \end{definition}
12
13 \begin{itemize}
14 \item Reihenfolge ist egal
15 \item Elemente kommen nicht mehrfach vor
16 \end{itemize}
17
18 \vfill
19
20 \begin{example}[]
21 \begin{itemize}
22 \item $\left\{ a, b, c, a, c \right\} = \left\{ a, b, c \right\} = \left\{ c, a, b \right\}$
23 \item $\N := \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$
24 \item $\emptyset := \left\{ \right\}$
25 \end{itemize}
26 \end{example}
27 \end{frame}
28
29 \begin{frame}
30 \frametitle{Schreibweisen}
31 \setbeamercovered{dynamic}
32
33 \begin{definition}[Extensionale Schreibweise]
34 Die \structure{extensionale Schreibweise} einer Menge zählt ihre Elemente auf.
35 \[ M := \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \]
36 \end{definition}
37 \vfill
38 \begin{example}[]
39 \begin{itemize}
40 \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$
41 \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
42 \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$
43 \end{itemize}
44 \end{example}
45 \end{frame}
46
47 \begin{frame}
48 \frametitle{Schreibweisen}
49 \setbeamercovered{dynamic}
50
51 \begin{definition}[Intensionale Schreibweise]
52 Die \structure{intensionale Schreibweise} beschreibt eine Menge durch charakteristische Eigenschaften.
53 \[ M := \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \]
54 $M$ enthält alle Elemente im \structure{Universum} $\Omega$ mit der Eigenschaft $P$.
55 \end{definition}
56 \vfill
57 \begin{example}[]
58 \begin{itemize}
59 \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$
60 \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$
61 \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$
62 \end{itemize}
63 \end{example}
64 \end{frame}
65 }
66
67 \defineUnit{mengenoperationen}{%
68 \begin{frame}
69 \frametitle{Mengenoperationen}
70 \setbeamercovered{dynamic}
71
72 \begin{block}{Bezeichnungen}
73 \begin{itemize}
74 \item Objekte in Mengen
75 \begin{description}[\qquad\qquad]
76 \item[$a \in A$] $a$ ist Element von $A$
77 \item[$b \not\in A$] $b$ ist kein Element von $A$
78 \end{description}
79 \item Relationen zwischen Mengen
80 \begin{description}[\qquad\qquad]
81 \item[$B \subseteq A$] $B$ ist Teilmenge von $A$, \quad $x \in B \Rightarrow x \in A$
82 \item[$B \subset A$] $B$ ist echte Teilmenge von $A$
83 \item[$B = A$] $B \subseteq A$ und $A \subseteq B$
84 \end{description}
85 \end{itemize}
86 \end{block}
87
88 \begin{example}[]
89 \begin{itemize}
90 \item $1 \in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $9 \not\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
91 \item $\left\{ 1, 2 \right\} \subseteq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $\left\{ 1, 5 \right\} \not\subseteq \left\{ 1, 2 \right\}$
92 \item $\emptyset \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$
93 \end{itemize}
94 \end{example}
95 \end{frame}
96
97 \begin{frame}
98 \frametitle{Mengenoperationen}
99 \setbeamercovered{dynamic}
100
101 \begin{block}{Operationen}
102 \begin{description}[\qquad\qquad]
103 \item[$\setnot{A}$] $:= \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement}
104 \item[$A \cup B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung}
105 \item[$A \cap B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt}
106 \item[$A \setminus B$] $:= A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz}
107 \item[$A \setsymdiff B$] $:= \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz}
108 \end{description}
109 \end{block}
110 \vill
111 Für mehrere Mengen schreibt man:
112 \begin{align}
113 \bigcap_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\
114 \bigcup_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n
115 \end{align}
116 \end{frame}
117 }
118
119 \defineUnit{potenzmenge}{%
120 content
121 }
122
123 \defineUnit{tupel}{%
124 content
125 }