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comparison notes/tex/basics.tex @ 3:ead11e11a950

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author Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
date Mon, 21 Oct 2013 20:29:08 +0200
parents ae52d9ffef38
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equal deleted inserted replaced
2:a21df5c753d5 3:ead11e11a950
4 \setbeamercovered{dynamic} 4 \setbeamercovered{dynamic}
5 5
6 \begin{definition}[Menge] 6 \begin{definition}[Menge]
7 Eine \structure{Menge} ist eine \alert{ungeordnete} Sammlung \alert{unterscheidbarer} Objekte.\\ 7 Eine \structure{Menge} ist eine \alert{ungeordnete} Sammlung \alert{unterscheidbarer} Objekte.\\
8 Mit \structure{Mengenklammern} werden Objekte zusammengefasst. 8 Mit \structure{Mengenklammern} werden Objekte zusammengefasst.
9 \[ A := \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \] 9 \[ A \defeq \left\{ a, b, \ldots, z \right\} \]
10 Man nennt $a$ ein \structure{Element} von $A$, es gilt $a \in A$. 10 Man nennt $a$ ein \structure{Element} von $A$, es gilt $a \in A$.
11 \end{definition} 11 \end{definition}
12 12
13 \begin{itemize} 13 \begin{itemize}
14 \item Reihenfolge ist egal 14 \item Reihenfolge ist \alert{egal}
15 \item Elemente kommen nicht mehrfach vor 15 \item Elemente kommen \alert{nicht} mehrfach vor
16 \end{itemize} 16 \end{itemize}
17 17
18 \vfill 18 \vfill
19 19
20 \begin{example}[] 20 \begin{example}[]
21 \begin{itemize} 21 \begin{itemize}
22 \item $\left\{ a, b, c, a, c \right\} = \left\{ a, b, c \right\} = \left\{ c, a, b \right\}$ 22 \item $\left\{ a, b, c, a, c \right\} = \left\{ a, b, c \right\} = \left\{ c, a, b \right\}$
23 \item $\N := \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$ 23 \item $\N \defeq \left\{ 1, 2, 3, \ldots \right\}$
24 \item $\emptyset := \left\{ \right\}$ 24 \item $\emptyset \defeq \left\{ \right\}$
25 \end{itemize} 25 \end{itemize}
26 \end{example} 26 \end{example}
27 \end{frame} 27 \end{frame}
28 28
29 \begin{frame} 29 \begin{frame}
30 \frametitle{Schreibweisen} 30 \frametitle{Schreibweisen}
31 \setbeamercovered{dynamic} 31 \setbeamercovered{dynamic}
32 32
33 \begin{definition}[Extensionale Schreibweise] 33 \begin{definition}[Extensionale Schreibweise]
34 Die \structure{extensionale Schreibweise} einer Menge zählt ihre Elemente auf. 34 Die \structure{extensionale Schreibweise} einer Menge zählt ihre Elemente auf.
35 \[ M := \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \] 35 \[ M \defeq \left\{ x_1, x_2, x_3, \ldots \right\} \]
36 \end{definition} 36 \end{definition}
37 \vfill 37 \vfill
38 \begin{example}[] 38 \begin{example}[]
39 \begin{itemize} 39 \begin{itemize}
40 \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$ 40 \item $A \defeq \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\}$
41 \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ 41 \item $B \defeq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ = [4]
42 \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$ 42 \item $C \defeq \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\}$
43 \item $D \defeq \left\{ \alpha, a, \smiley, 8, \left\{ 1, 2 \right\}, \N \right\}$
43 \end{itemize} 44 \end{itemize}
44 \end{example} 45 \end{example}
45 \end{frame} 46 \end{frame}
46 47
47 \begin{frame} 48 \begin{frame}
48 \frametitle{Schreibweisen} 49 \frametitle{Schreibweisen}
49 \setbeamercovered{dynamic} 50 \setbeamercovered{dynamic}
50 51
51 \begin{definition}[Intensionale Schreibweise] 52 \begin{definition}[Intensionale Schreibweise]
52 Die \structure{intensionale Schreibweise} beschreibt eine Menge durch charakteristische Eigenschaften. 53 Die \structure{intensionale Schreibweise} beschreibt eine Menge durch charakteristische Eigenschaften.
53 \[ M := \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \] 54 \[ M \defeq \left\{ x \in \Omega \mid P(x) \right\} \]
54 $M$ enthält alle Elemente im \structure{Universum} $\Omega$ mit der Eigenschaft $P$. 55 $M$ enthält alle Elemente im \structure{Universum} $\Omega$ mit der Eigenschaft $P$.
55 \end{definition} 56 \end{definition}
56 \vfill 57 \vfill
57 \begin{example}[] 58 \begin{example}[]
58 \begin{itemize} 59 \begin{itemize}
59 \item $A := \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$ 60 \item $A \defeq \left\{ 2, 4, 6, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{gerade} \right\} = \left\{ 2x : x \in \N \right\}$
60 \item $B := \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$ 61 \item $B \defeq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} = \left\{ x \in \N \mid x \leq 4 \right\}$
61 \item $C := \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$ 62 \item $C \defeq \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \right\} = \left\{ x \in \N \mid x\ \text{prim} \right\}$
62 \end{itemize} 63 \end{itemize}
63 \end{example} 64 \end{example}
64 \end{frame} 65 \end{frame}
65 } 66 }
66 67
73 \begin{itemize} 74 \begin{itemize}
74 \item Objekte in Mengen 75 \item Objekte in Mengen
75 \begin{description}[\qquad\qquad] 76 \begin{description}[\qquad\qquad]
76 \item[$a \in A$] $a$ ist Element von $A$ 77 \item[$a \in A$] $a$ ist Element von $A$
77 \item[$b \not\in A$] $b$ ist kein Element von $A$ 78 \item[$b \not\in A$] $b$ ist kein Element von $A$
79 \item[$\abs{A}$] Anzahl der Elemente in $A$, Kardinalität
78 \end{description} 80 \end{description}
79 \item Relationen zwischen Mengen 81 \item Relationen zwischen Mengen
80 \begin{description}[\qquad\qquad] 82 \begin{description}[\qquad\qquad]
81 \item[$B \subseteq A$] $B$ ist Teilmenge von $A$, \quad $x \in B \Rightarrow x \in A$ 83 \item[$B \subseteq A$] $B$ ist Teilmenge von $A$, \quad $x \in B \Rightarrow x \in A$
82 \item[$B \subset A$] $B$ ist echte Teilmenge von $A$ 84 \item[$B \subset A$] $B$ ist echte Teilmenge von $A$
87 89
88 \begin{example}[] 90 \begin{example}[]
89 \begin{itemize} 91 \begin{itemize}
90 \item $1 \in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $9 \not\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ 92 \item $1 \in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $9 \not\in \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
91 \item $\left\{ 1, 2 \right\} \subseteq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $\left\{ 1, 5 \right\} \not\subseteq \left\{ 1, 2 \right\}$ 93 \item $\left\{ 1, 2 \right\} \subseteq \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, aber $\left\{ 1, 5 \right\} \not\subseteq \left\{ 1, 2 \right\}$
92 \item $\emptyset \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$ 94 \item $\emptyset \subseteq [5] \subseteq \N \subseteq \N_0 \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \C$
93 \end{itemize} 95 \end{itemize}
94 \end{example} 96 \end{example}
95 \end{frame} 97 \end{frame}
96 98
97 \begin{frame} 99 \begin{frame}
98 \frametitle{Mengenoperationen} 100 \frametitle{Mengenoperationen}
99 \setbeamercovered{dynamic} 101 \setbeamercovered{dynamic}
100 102
101 \begin{block}{Operationen} 103 \begin{block}{Operationen}
102 \begin{description}[\qquad\qquad] 104 \begin{description}[\qquad\qquad]
103 \item[$\setnot{A}$] $:= \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement} 105 \item[$\setnot{A}$] $\defeq \left\{ x \mid x \not\in A \right\}$\hfill\alert{Komplement}
104 \item[$A \cup B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung} 106 \item[$A \cup B$] $\defeq \left\{ x \mid x \in A\ \text{oder}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Vereinigung}
105 \item[$A \cap B$] $:= \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt} 107 \item[$A \cap B$] $\defeq \left\{ x \mid x \in A\ \text{und}\ x \in B \right\}$\hfill\alert{Schnitt}
106 \item[$A \setminus B$] $:= A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz} 108 \item[$A \setminus B$] $\defeq A \cap \setnot{B}$\hfill\alert{Differenz}
107 \item[$A \setsymdiff B$] $:= \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz} 109 \item[$A \setsymdiff B$] $\defeq \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$\hfill\alert{Symmetrische Differenz}
108 \end{description} 110 \end{description}
109 \end{block} 111 \end{block}
110 \vill 112 \vill
111 Für mehrere Mengen schreibt man: 113 Für mehrere Mengen schreibt man
112 \begin{align} 114 \begin{align}
113 \bigcap_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\ 115 \bigcap_{i=1}^n A_i &\defeq A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\\
114 \bigcup_{i=1}^n A_i &:= A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n 116 \bigcup_{i=1}^n A_i &\defeq A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n
115 \end{align} 117 \end{align}
116 \end{frame} 118 \end{frame}
117 } 119 }
118 120
121 \defineUnit{venn}{%
122 \begin{frame}
123 \frametitle{Venn-Diagramme}
124 \setbeamercovered{dynamic}
125
126 \structure{Venn-Diagramme} visualisieren Mengen $A, B, \ldots$ im Universum $\Omega$.
127
128 {
129 \def\universe{(-1.5, -1.25) rectangle (2.5, 1.25) node[anchor=north east, black] {$\Omega$}}
130 \def\first{(0, 0) circle (1)}
131 \def\second{(1, 0) circle (1)}
132 \tikzstyle{universe} = [draw, thick, tumblue, fill=tumlightblue!15]
133 \tikzstyle{inset} = [fill=tumred!35]
134 \tikzstyle{outline} = [draw, thick, black]
135 \begin{columns}
136 \begin{column}{.5\textwidth}
137 \begin{itemize}
138 \item $A \cup B$
139 \begin{figure}
140 \begin{tikzpicture}
141 \draw[universe] \universe;
142 \fill[inset] \first;
143 \fill[inset] \second;
144 \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
145 \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
146 \end{tikzpicture}
147 \end{figure}
148 \item $A \setminus B$
149 \begin{figure}
150 \begin{tikzpicture}
151 \draw[universe] \universe;
152 \begin{scope}
153 \clip \first;
154 \fill[inset, even odd rule] \first \second;
155 \end{scope}
156 \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
157 \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
158 \end{tikzpicture}
159 \end{figure}
160 \end{itemize}
161 \end{column}
162 \begin{column}{.5\textwidth}
163 \begin{itemize}
164 \item $A \cap B$
165 \begin{figure}
166 \begin{tikzpicture}
167 \draw[universe] \universe;
168 \begin{scope}
169 \clip \first;
170 \fill[inset] \second;
171 \end{scope}
172 \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
173 \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
174 \end{tikzpicture}
175 \end{figure}
176 \item $A \setsymdiff B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$
177 \begin{figure}
178 \begin{tikzpicture}
179 \draw[universe] \universe;
180 \fill[inset, even odd rule] \first \second;
181 \draw[outline] \first node[left=1em] {$A$};
182 \draw[outline] \second node[right=1em] {$B$};
183 \end{tikzpicture}
184 \end{figure}
185 \end{itemize}
186 \end{column}
187 \end{columns}
188 }
189 \end{frame}
190 }
191
192 \defineUnit{mengenrechenregeln}{%
193 \begin{frame}
194 \frametitle{Rechnen mit Mengen}
195 \setbeamercovered{dynamic}
196
197 \begin{theorem}[De Morgansche Gesetze]
198 Sind $A, B$ Mengen, dann gilt
199 \begin{alignat}{2}
200 \setnot{A \cup B} &= \setnot{A} \cap \setnot{B} \qquad\qquad& \setnot{A \cap B} &= \setnot{A} \cup \setnot{B}\\
201 \intertext{Für Mengen $A_i$ gilt}
202 \setnot{\bigcup_{i=1}^nA_i} &= \bigcap_{i=1}^n\setnot{A_i} & \setnot{\bigcap_{i=1}^nA_i} &= \bigcup_{i=1}^n\setnot{A_i} &
203 \end{alignat}
204 \end{theorem}
205
206 \vfill
207
208 \begin{itemize}
209 \item Zusammen mit $\setnot{\setnot{A}} = A$ wichtigste Regel
210 \item Gilt auch in der Aussagenlogik
211 \end{itemize}
212 \end{frame}
213 }
214
119 \defineUnit{potenzmenge}{% 215 \defineUnit{potenzmenge}{%
120 content 216 \begin{frame}
217 \frametitle{Potenzmenge}
218 \setbeamercovered{dynamic}
219
220 \begin{definition}[Potenzmenge]
221 Die \structure{Potenzmenge} $\powerset{M}$ zu einer Menge $M$ ist die Menge all ihrer Teilmengen.
222 \[ \powerset{M} \defeq \left\{ X \mid X \subseteq M \right\} \]
223 \end{definition}
224
225 \begin{itemize}
226 \item $\powerset{M}$ enthält für endliche Mengen genau $2^{\abs{M}}$ Elemente
227 \item Man schreibt deshalb auch $2^M$
228 \item Es ist $M \in \powerset{M}$ und $\emptyset \in \powerset{M}$
229 \end{itemize}
230
231 \vfill
232
233 \begin{example}[]
234 Für $M = \left\{ a, b, c \right\}$ ist
235 \[ \powerset{M} = \left\{
236 \emptyset,
237 \left\{ a \right\},
238 \left\{ b \right\},
239 \left\{ c \right\},
240 \left\{ a, b \right\},
241 \left\{ a, c \right\},
242 \left\{ b, c \right\},
243 \left\{ a, b, c \right\}
244 \right\} \]
245 mit $\abs{\powerset{M}} = 2^3 = 8$
246 \end{example}
247 \end{frame}
121 } 248 }
122 249
123 \defineUnit{tupel}{% 250 \defineUnit{tupel}{%
124 content 251 \begin{frame}
125 } 252 \frametitle{Tupel}
253 \setbeamercovered{dynamic}
254
255 \begin{definition}[Tupel]
256 Ein \structure{$n$-Tupel} ist eine \alert{geordnete} Sammlung $n$ \alert{beliebiger} Objekte.\\
257 Mit \structure{Tupelklammern} werden Objekte zusammengefasst.
258 \[ T \defeq \left( t_1, t_2, \ldots, t_n \right)\]
259 \end{definition}
260
261 \begin{itemize}
262 \item Reihenfolge \alert{nicht} egal
263 \item Elemente \alert{dürfen} mehrmals vorkommen
264 \end{itemize}
265
266 \vfill
267
268 \begin{example}[]
269 \begin{itemize}
270 \item \left( a, b, c \right) \neq \left( c, a, b \right) \neq $\left( a, b, c, a, c \right)$
271 \item $\left( 1, 2, 3 \right) \neq \left\{ 3, 2, 1 \right\} = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$
272 \item $\left( \left\{ \alpha, \beta \right\}, \emptyset, \N \right)$
273 \end{itemize}
274 \end{example}
275 \end{frame}
276
277 \begin{frame}
278 \frametitle{Kreuzprodukt}
279 \setbeamercovered{dynamic}
280
281 \begin{definition}[Kreuzprodukt]
282 Sind $A, B$ Mengen, dann ist ihr \structure{kartesisches Produkt} (Kreuzprodukt)
283 \begin{align}
284 A \times B &\defeq \left\{ \left( a, b \right) \mid a \in A, b \in B \right\}\\
285 \intertext{Für Mengen $A_i$ ist}
286 A_1 \times \ldots \times A_n &\defeq \left\{ \left(a_1, \ldots, a_n\right) \mid a_1 \in A_1, \ldots, a_n \in A_n \right\}
287 \end{align}
288 \end{definition}
289
290 \begin{itemize}
291 \item Für endliche $A_i$ ist $\abs{A_1 \times \ldots \times A_n} = \abs{A_1} \cdot \ldots \cdot \abs{A_n}$
292 \item Man schreibt \structure{$A^n \defeq \underbracket[0.5pt]{A \times \ldots \times A}_{\text{n mal}}$} mit $A^0 = \left\{ \emptyset \right\}$
293 \end{itemize}
294
295 \vfill
296
297 \begin{example}[]
298 \begin{itemize}
299 \item $\left\{ 1, 2 \right\} \times \left\{ a, b \right\} = \left\{ (1, a), (2, a), (1, b), (2, b) \right\}$
300 \item $\left\{ \alpha, \beta \right\}^2 = \left\{ (\alpha, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, \alpha), (\beta, \beta) \right\}$
301 \end{itemize}
302 \end{example}
303 \end{frame}
304 }