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annotate notes/tex/grammars.tex @ 16:a08f6e33cfb0
fourth sheet and notes
| author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
|---|---|
| date | Sat, 10 May 2014 19:39:01 +0200 |
| parents | de844d67518b |
| children | 0f7daeda8363 |
| rev | line source |
|---|---|
| 1 | 1 \defineUnit{grammatik}{% |
| 2 \begin{frame} | |
| 3 \frametitle{Grammatiken} | |
| 4 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 5 | |
| 3 | 6 \begin{definition}[Grammatik] |
| 7 Eine \structure{(Phrasenstruktur-)Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ ist ein 4-Tupel: | |
| 1 | 8 \begin{description} |
| 9 \item[V] endlich viele \alert{Nichtterminale} (Variablen) | |
| 10 \item[$\Sigma$] ein Alphabet von \alert{Terminalen} | |
| 3 | 11 \item[P] endlich viele \alert{Produktionen} $\subseteq \left( V \cup \Sigma \right)^* \times \left( V \cup \Sigma \right)^*$ |
| 12 \item[S] ein \alert{Startsymbol} (Axiom) | |
| 1 | 13 \end{description} |
| 3 | 14 Ist $(l, r) \in P$, so schreibt man \structure{$l \rightarrow r$}. |
| 1 | 15 \end{definition} |
| 16 | |
| 3 | 17 \vfill |
| 18 | |
| 19 \begin{example}[] | |
| 1 | 20 $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$. Grammatik für alle Wörter ungerader Länge, bei denen alle Nullen vor der ersten Eins stehen und weniger Nullen als Einsen vorhanden sind. |
| 3 | 21 \visible<2>{ |
| 22 \begin{align} | |
| 23 S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1 | |
| 24 \end{align} | |
| 25 } | |
| 1 | 26 \end{example} |
| 27 \end{frame} | |
| 28 } | |
| 29 | |
| 30 \defineUnit{ableitung}{% | |
| 31 \begin{frame} | |
| 32 \frametitle{Ableitungsrelation} | |
| 33 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 34 | |
| 35 \begin{definition}[Ableitungsrelation] | |
| 3 | 36 Eine Grammatik $G$ induziert eine \structure{Ableitungsrelation} $\rightarrow_G$ auf Wörtern über $V \cup \Sigma$. Seien $x, y$ solche Wörter und |
| 37 \begin{align} | |
| 38 z &= x\alert{\alpha}y\\ | |
| 39 z^\prime &= x\alert{\beta}y\\ | |
| 40 \intertext{Dann ist} | |
| 41 z &\rightarrow_G z^\prime | |
| 42 \end{align} | |
| 43 gdw. es eine Regel $\alert{\alpha \rightarrow \beta}$ in $P$ gibt. | |
| 1 | 44 \end{definition} |
| 45 | |
| 3 | 46 \vfill |
| 47 | |
| 48 \begin{example}[] | |
| 1 | 49 Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$: |
| 50 \begin{align*} | |
| 51 S &\rightarrow_G 0S1 \rightarrow_G 00S11 \rightarrow_G 00S1111 \rightarrow_G 0011111 \\ | |
| 3 | 52 \intertext{Es gilt also} |
| 53 S &\rightarrow_G^* 0011111 | |
| 1 | 54 \end{align*} |
| 55 \end{example} | |
| 56 \end{frame} | |
| 57 } | |
| 58 | |
| 3 | 59 \defineUnit{sprachtypen}{% |
| 60 \begin{frame} | |
| 61 \frametitle{Sprachtypen} | |
| 62 | |
| 63 Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine Grammatik und $\alpha \rightarrow \beta \in P$ beliebig. | |
| 64 \begin{definition}[Monotonie] | |
| 65 $G$ heißt \structure{(längen-)monoton}, wenn für $\alpha \neq S$ gilt | |
| 66 \begin{align} | |
| 67 \alert{\abs{\alpha} \leq \abs{\beta}} | |
| 68 \end{align} | |
| 69 und falls $S \to \epsilon \in P$, dann kommt $S$ nie auf der rechten Seite vor. | |
| 70 \end{definition} | |
| 71 | |
| 72 \vfill | |
| 73 | |
| 74 \begin{definition}[Chomsky-Typen] | |
| 75 Seien $A \in V$, $\gamma, \delta \in (V \cup \Sigma)^*$ und $\beta^\prime \in (V \cup \Sigma)^+$.\\ | |
| 76 Damit $G$ vom \structure{Typ k} ist, muss für $\alpha$ und $\beta$ gelten | |
| 77 \begin{center} | |
| 78 \tabulinesep=4pt | |
| 79 \begin{tabu} to .8\textwidth{X[1,c,m]|[.5pt]X[2,c,m]X[2,c,m]} | |
| 80 & $\alpha$ & $\beta$\\\tabucline[.5pt]{-} | |
| 81 \structure{Typ 0} & beliebig & beliebig\\ | |
| 82 \structure{Typ 1} & $= \alert{\gamma} A \alert{\delta}$ & $= \alert{\gamma} \beta^\prime \alert{\delta}$\\ | |
| 83 \structure{Typ 2} & $\in V$ & beliebig\\ | |
| 84 \structure{Typ 3} & $\in V$ & $\in \Sigma^+ \cup \Sigma^*V$\\ | |
| 85 \end{tabu} | |
| 86 \end{center} | |
| 87 Ab Typ 1 muss $G$ auch \alert{monoton} sein. | |
| 88 \end{definition} | |
| 89 \end{frame} | |
| 90 } | |
| 91 | |
| 1 | 92 \defineUnit{cfl}{% |
| 93 \begin{frame}[c] | |
| 94 \frametitle{Kontextfreie Sprache} | |
| 95 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 96 | |
| 97 \begin{definition}[Kontextfreie Sprache] | |
| 98 Eine kontextfreie Grammatik $G = (V, \Sigma, P, S)$ \alert{erzeugt} die Sprache | |
| 99 \[ | |
| 100 L(G) := \left\{ w \in \Sigma^* \mid S \rightarrow_G^* w \right\} | |
| 101 \] | |
| 102 Eine Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ heißt \alert{kontextfrei} gdw es eine kontextfreie Grammatik $G$ gibt mit $L = L(G)$. | |
| 103 \end{definition} | |
| 104 \end{frame} | |
| 105 } | |
| 106 | |
| 107 \defineUnit{induktivesprachdefinition}{% | |
| 108 \begin{frame} | |
| 109 \frametitle{Induktive Sprachdefinition} | |
| 110 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 111 | |
| 112 \begin{block}{Induktive Sprachdefinition} | |
| 113 Die \alert{induktive Definition} ($\Longrightarrow$) erzeugt Wörter \alert{bottom-up}, setzt also kleine Wörter zu größeren zusammen. | |
| 114 \end{block} | |
| 115 | |
| 116 \begin{example}[Vorbereitung 3] | |
| 117 Mit den Produktionen $S \rightarrow 0S1 \mid S11 \mid 1$: | |
| 118 | |
| 119 \begin{align*} | |
| 120 1 &\in L_G(S) \\ | |
| 121 u \in L_G(S) \quad \Longrightarrow \quad 0\alert{u}1 &\in L_G(S) \\ | |
| 122 u \in L_G(S) \quad \Longrightarrow \quad \alert{u}11 &\in L_G(S) | |
| 123 \end{align*} | |
| 124 | |
| 125 Also z.B: | |
| 126 | |
| 127 \[ | |
| 128 1 \in L_G(S) \Longrightarrow 0\alert{1}0 \in L_G(S) \Longrightarrow \alert{010}11 \in L_G(S) | |
| 129 \] | |
| 130 \end{example} | |
| 131 \end{frame} | |
| 132 } | |
| 133 | |
|
10
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second notes and sheet
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|
134 \defineUnit{eindeutigkeit}{% |
|
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135 \begin{frame} |
|
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|
136 \frametitle{Eindeutigkeit} |
|
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137 |
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11
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fix powersets; wording
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138 \begin{definition}[kontextfreie Linksableitung] |
|
10
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139 Eine Ableitung |
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140 \begin{align} |
|
11
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fix powersets; wording
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changeset
|
141 S \to^* \structure{x}\alert{A}z \to \structure{x}\alert{\beta}z \to^* w |
|
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142 \end{align} |
|
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fix powersets; wording
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changeset
|
143 heißt (kontextfreie) \structure{Linksableitung}, wenn für jede Anwendung jeder Produktion $\alert{A \to \beta}$ gilt, dass in \structure{$x$} kein Nichtterminal vorkommt. |
|
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144 \end{definition} |
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146 \vfill |
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148 \begin{definition}[Eindeutigkeit] |
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149 \begin{itemize} |
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|
150 \item Eine Grammatik heißt \structure{eindeutig}, wenn es für jedes Wort genau eine Linksableitung gibt. |
|
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151 \item Eine Sprache heißt \structure{eindeutig}, wenn es für sie eine eindeutige Grammatik gibt. |
|
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152 \end{itemize} |
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153 \end{definition} |
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154 \end{frame} |
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155 } |
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|
156 |
| 1 | 157 \defineUnit{cnf}{% |
| 158 \begin{frame} | |
| 159 \frametitle{CNF} | |
| 160 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 161 | |
| 162 \begin{definition}[Chomsky-Normalform] | |
|
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changeset
|
163 Eine kontextfreie Grammatik ist in \structure{Chomsky-Normalform} (CNF) genau dann wenn alle Produktionen die Form |
| 1 | 164 \[ |
| 165 A \rightarrow \alert{a} \quad \text{oder} \quad A \rightarrow \alert{BC} | |
| 166 \] | |
| 167 haben. | |
| 168 \end{definition} | |
| 169 | |
| 170 \vfill | |
| 171 | |
| 172 \begin{theorem} | |
| 173 Zu \alert{jeder} CFG $G$ existiert eine CFG $G'$ in Chomsky-Normalform mit | |
| 174 \[ | |
| 175 L(G') = L(G) \alert{\setminus \left\{ \epsilon \right\}} | |
| 176 \] | |
| 177 \end{theorem} | |
| 178 \end{frame} | |
| 179 } | |
| 180 | |
| 181 \defineUnit{cnfkonstruktion}{% | |
| 182 \begin{frame} | |
| 183 \frametitle{CNF Konstruktion} | |
| 184 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 185 | |
|
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diff
changeset
|
186 \begin{block}{CNF Konstruktion} |
| 1 | 187 Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. |
| 188 \begin{enumerate} | |
| 189 \item<1,2-> Eliminiere \alert{$\epsilon$-Produktionen} | |
| 190 \item<1,3-> Eliminiere \alert{Kettenproduktionen} | |
| 191 \item<1,4-> \alert{Ersetze Terminale} durch Nichtterminale | |
| 192 \item<1,5-> \alert{Verkürze Ketten} von Nichtterminalen der Länge $\geq 3$ | |
| 193 \end{enumerate} | |
| 194 \end{block} | |
| 195 | |
| 196 \vspace{1em} | |
| 197 | |
| 198 \only<2> { | |
| 199 Sind \alert{$B \rightarrow \epsilon$} und \alert{$A \rightarrow \alpha B \beta$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha \beta$} hinzu. Entferne danach alle $\epsilon$-Produktionen. | |
| 200 \begin{align*} | |
| 201 S &\rightarrow Ab, \quad A \rightarrow aAA \mid \epsilon \\ | |
| 202 \intertext{wird zu:} | |
| 203 S &\rightarrow \alert{Ab \mid b} \\ | |
| 204 A &\rightarrow \alert{aAA \mid aA \mid a} | |
| 205 \end{align*} | |
| 206 } | |
| 207 | |
| 208 \only<3> { | |
| 209 Sind \alert{$A \rightarrow B$} und \alert{$B \rightarrow \alpha$} in $P$, dann füge \alert{$A \rightarrow \alpha$} hinzu. Entferne danach alle Kettenproduktionen und unerreichbaren Symbole. | |
| 210 \begin{align*} | |
| 211 S &\rightarrow A, \quad A \rightarrow a \mid B, \quad B \rightarrow bS \\ | |
| 212 \intertext{wird zu:} | |
| 213 A &\rightarrow \alert{a \mid bS} \\ | |
| 214 S &\rightarrow \alert{a \mid bS} | |
| 215 \end{align*} | |
| 216 } | |
| 217 | |
| 218 \only<4> { | |
| 219 Ersetze jedes \alert{$a \in \Sigma$} in einer rechten Seite \alert{länger als $1$} durch ein neues Nichtterminal. | |
| 220 \begin{align*} | |
| 221 S &\rightarrow aa \mid Bb \mid b, \quad B \rightarrow \ldots \\ | |
| 222 \intertext{wird zu:} | |
| 223 S &\rightarrow \alert{X_aX_a \mid BX_b \mid b} \\ | |
| 224 X_a &\rightarrow \alert{a}, \quad X_b \rightarrow \alert{b} | |
| 225 \end{align*} | |
| 226 } | |
| 227 | |
| 228 \only<5> { | |
| 229 Ersetze jede Produktion der Form $A \rightarrow B_1B_2\ldots B_k$ durch neue Nichtterminale mit Produktionen der Länge $2$. | |
| 230 \begin{align*} | |
| 231 S &\rightarrow X_aX_bBX_a, \quad X_a \rightarrow a, \quad X_b \rightarrow b, \quad B \rightarrow \ldots \\ | |
| 232 \intertext{wird zu:} | |
| 233 S &\rightarrow \alert{X_aT_1} \\ | |
| 234 T_1 &\rightarrow \alert{X_bT_2}, \quad T_2 \rightarrow \alert{BX_a} \\ | |
| 235 \end{align*} | |
| 236 } | |
| 237 \end{frame} | |
| 238 } | |
| 239 | |
| 240 \defineUnit{nuetzlichessymbol}{% | |
| 241 \begin{frame} | |
| 242 \frametitle{Eigenschaften von Symbolen} | |
| 243 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 244 | |
| 245 \begin{definition} | |
| 246 Sei $G = (V, \Sigma, P, S)$ eine CFG. \\ | |
| 247 Ein Symbol $X \in V \cup \Sigma$ ist | |
| 248 \begin{description} | |
| 249 \item[nützlich] es gibt $S \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ in der X \alert{vorkommt} | |
| 250 \item[erzeugend] es gibt $\alert{X} \rightarrow_G^* w \in \Sigma^*$ | |
| 251 \item[erreichbar] es gibt $S \rightarrow_G^* \alpha \alert{X} \beta$ | |
| 252 \end{description} | |
| 253 \end{definition} | |
| 254 | |
| 255 \vfill | |
| 256 | |
| 257 \begin{theorem} | |
| 258 Nützliche Symbole \alert{sind} erzeugend und erreichbar. Aber \alert{nicht} notwendigerweise umgekehrt. | |
| 259 \[ | |
| 260 S \rightarrow AB \mid a, \quad A \rightarrow b | |
| 261 \] | |
| 262 \end{theorem} | |
| 263 \end{frame} | |
| 264 } | |
| 265 | |
| 266 \defineUnit{cfpl}{% | |
| 267 \begin{frame} | |
| 268 \frametitle{Pumping Lemma für CFLs} | |
| 269 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 270 | |
| 271 \begin{theorem}[Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen] | |
|
16
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parents:
11
diff
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|
272 Sei $L \subseteq \Sigma^*$ kontextfrei.\\ |
|
a08f6e33cfb0
fourth sheet and notes
Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
parents:
11
diff
changeset
|
273 Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in L$ mit $|z| \geq n$ so in \alert{$z = uvwxy$} zerlegen lässt, dass |
| 1 | 274 \begin{itemize} |
| 275 \item $vx \alert{\neq \epsilon}$ | |
| 276 \item $|vwx| \alert{\leq n}$ | |
| 277 \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iwx^iy \in L$ | |
| 278 \end{itemize} | |
| 279 \end{theorem} | |
| 280 | |
| 281 \vfill | |
| 282 | |
| 283 \begin{center} | |
| 284 \begin{columns} | |
| 285 \begin{column}{.4\textwidth} | |
| 286 \begin{tikzpicture} | |
| 287 \coordinate (outer) at (2, 2.4); | |
| 288 \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); | |
| 289 \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); | |
| 290 % outer | |
| 291 \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); | |
| 292 % middle | |
| 293 \draw[fill=tumgreen!40] (1.2, 0) -- (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (3.2, 0) -- (middle) -- (1.2, 0); | |
| 294 % inner | |
| 295 \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0) -- (inner) -- (2.7, 0) -- (1.7, 0); | |
| 296 | |
| 297 % path | |
| 298 \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle) -- (inner); | |
| 299 \draw[fill] (outer) circle (1pt); | |
| 300 \draw[fill] (middle) circle (1pt); | |
| 301 \draw[fill] (inner) circle (1pt); | |
| 302 | |
| 303 % nodes | |
| 304 \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; | |
| 305 \node[below] at (1.45, 0) {$v$}; | |
| 306 \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; | |
| 307 \node[below] at (2.95, 0) {$x$}; | |
| 308 \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; | |
| 309 \end{tikzpicture} | |
| 310 \end{column} | |
| 311 \begin{column}{.4\textwidth} | |
| 312 \begin{tikzpicture} | |
| 313 \coordinate (outer) at (2, 2.4); | |
| 314 \coordinate (middle) at (2.2, 1.2); | |
| 315 \coordinate (inner) at (2.2, 0.6); | |
| 316 % outer | |
| 317 \draw[fill=tumred!40] (0, 0) -- (1.2, 0) -- (middle) -- (3.2, 0) -- (4, 0) -- (outer) node[above] {$S$} -- (0, 0); | |
| 318 % inner | |
| 319 \draw[fill=tumblue!40] (1.7, 0.6) -- (middle) -- (2.7, 0.6) -- (1.7, 0.6); | |
| 320 | |
| 321 % path | |
| 322 \draw[dashed, thick] (outer) -- (middle); | |
| 323 \draw[fill] (outer) circle (1pt); | |
| 324 \draw[fill] (middle) circle (1pt); | |
| 325 | |
| 326 % nodes | |
| 327 \node[below] at (0.6, 0) {$u$}; | |
| 328 \node[below] at (2.2, 0) {$w$}; | |
| 329 \node[below] at (3.6, 0) {$y$}; | |
| 330 \end{tikzpicture} | |
| 331 \end{column} | |
| 332 \end{columns} | |
| 333 \end{center} | |
| 334 \end{frame} | |
| 335 } | |
| 336 | |
| 337 \defineUnit{cyk}{% | |
| 338 \begin{frame} | |
| 339 \frametitle{CYK} | |
| 340 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 341 | |
| 342 \begin{definition}[Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus] | |
|
16
a08f6e33cfb0
fourth sheet and notes
Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
parents:
11
diff
changeset
|
343 Der \structure{CYK-Algorithmus} entscheidet das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform in $\Oh(n^3)$. \\ |
| 1 | 344 Gegeben eine \alert{Grammatik} $G = (V, \Sigma, P, S)$ in CNF und ein \alert{Wort} $w = a_1 \ldots a_n \in \Sigma^*$. |
| 345 Mit \[ V_{ij} := \left\{ A \in V \mid A \rightarrow_G^* \alert{a_i \ldots a_j} \right\}\] | |
| 346 ist \[ w \in L(G) \Leftrightarrow S \in V_{\alert{1n}} \] | |
| 347 \end{definition} | |
| 348 | |
| 349 \begin{align*} | |
| 350 V_{ii} &= \left\{ A \in V \mid (A \rightarrow a_i) \in P \right\} \\ | |
| 351 V_{ij} &= \left\{ A \in V \mid \exists k, B \in V_{ik}, C \in V_{k+1,j} \;.\; (A \rightarrow BC) \in P \right\} | |
| 352 \end{align*} | |
| 353 \end{frame} | |
| 354 } | |
| 355 | |
| 356 \defineUnit{cykbeispiel}{% | |
| 357 \begin{frame} | |
| 358 \frametitle{CYK} | |
| 359 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 360 | |
|
16
a08f6e33cfb0
fourth sheet and notes
Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
parents:
11
diff
changeset
|
361 \begin{block}{CYK-Algorithmus} |
| 1 | 362 Kombiniere \alert{Teilwörter} zum ganzen Wort, wenn möglich. |
| 363 \begin{enumerate} | |
| 364 \item Initialisiere mit den \alert{$V_{ii}$}. | |
| 365 \item<3-5> Befülle die Tabelle von unten nach oben. | |
| 366 \end{enumerate} | |
| 367 \end{block} | |
| 368 | |
| 369 \[ S \rightarrow AB \mid BC, \quad A \rightarrow BA \mid a, \quad B \rightarrow CC \mid b, \quad C \rightarrow AB \mid a \] | |
|
16
a08f6e33cfb0
fourth sheet and notes
Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de>
parents:
11
diff
changeset
|
370 \vspace{2em} |
| 1 | 371 \begin{center} |
| 372 \extrarowsep=5pt | |
| 373 \begin{tabu}to .8\textwidth{r|X[c]|X[c]|X[c]|X[c]|} | |
| 374 \tabucline{2-2} | |
| 375 4 & \alt<-4>{}{$S,\ldots$} \\ \tabucline{2-3} | |
| 376 3 & \alt<-3>{}{$\emptyset$} & \alt<-3>{}{$S, A, C$} \\ \tabucline{2-4} | |
| 377 2 & \alt<-2>{}{$A$} & \alt<-2>{}{$B$} & \alt<-2>{}{$B$} \\ \tabucline{2-5} | |
| 378 1 & \alt<-1>{}{$B$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} & \alt<1>{}{$A,C$} \\ \tabucline{2-5} | |
| 379 \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{1}{c}{\alert{b}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} & \multicolumn{1}{c}{\alert{a}} \\ | |
| 380 \end{tabu} | |
| 381 \end{center} | |
| 382 \end{frame} | |
| 383 } | |
| 384 | |
| 385 \defineUnit{pda}{% | |
| 386 \begin{frame} | |
| 387 \frametitle{Kellerautomaten} | |
| 388 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 389 | |
| 390 \begin{definition}[Kellerautomat] | |
| 391 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem | |
| 392 \begin{itemize} | |
| 393 \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$ | |
| 394 \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$ | |
| 395 \item endlichen \alert{Kelleralphabet} $\Gamma$ | |
| 396 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ | |
| 397 \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$ | |
| 398 \item \alert{Kellerinitialisierung} $Z_0 \in \Gamma$ | |
| 399 \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$ | |
| 400 \end{itemize} | |
| 401 \end{definition} | |
| 402 | |
| 403 \begin{center} | |
| 404 \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=4cm] | |
| 405 \node[state] (q0) {$q_i$}; | |
| 406 \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_j$}; | |
| 407 | |
| 408 \draw[every edge] (q0) edge node {$a, X/\gamma$} (q1); | |
| 409 \end{tikzpicture} | |
| 410 \end{center} | |
| 411 \end{frame} | |
| 412 } | |
| 413 | |
| 414 \defineUnit{pdaakzeptanz}{% | |
| 415 \begin{frame} | |
| 416 \frametitle{Kellerautomaten} | |
| 417 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 418 | |
| 419 \begin{definition}[Kellerautomat] | |
| 420 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem | |
| 421 \begin{itemize} | |
| 422 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ | |
| 423 \end{itemize} | |
| 424 \end{definition} | |
| 425 | |
| 426 \vfill | |
| 427 | |
| 428 \begin{definition}[Akzeptanz] | |
| 429 Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit Endzustand} gdw | |
| 430 \[ \exists \alert{f \in F}, \gamma \in \Gamma^*.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (\alert{f}, \epsilon, \gamma) \] | |
| 431 Ein PDA $P$ akzeptiert $w \in \Sigma^*$ \alert{mit leerem Keller} gdw | |
| 432 \[ \exists q \in Q.(q_0, w, Z_0) \rightarrow_P^* (q, \epsilon, \alert{\epsilon}) \] | |
| 433 \end{definition} | |
| 434 \end{frame} | |
| 435 } | |
| 436 | |
| 437 \defineUnit{pdabeispiel}{% | |
| 438 \begin{frame} | |
| 439 \frametitle{Kellerautomaten} | |
| 440 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 441 | |
| 442 \begin{definition}[Kellerautomat] | |
| 443 Ein \alert{PDA} (Push-Down-Automaton) ist ein Tupel $P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ aus einer/einem | |
| 444 \begin{itemize} | |
| 445 | |
| 446 \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \times \Gamma \to P(Q \times \Gamma^*)$ | |
| 447 \end{itemize} | |
| 448 \end{definition} | |
| 449 | |
| 450 \vfill | |
| 451 | |
| 452 \begin{example}[] | |
| 453 PDA akzeptierend \alert{mit leerem Keller} zu $L = \left\{ a^nb^n \mid n \in \N \right\}$. | |
| 454 | |
| 455 \centering | |
| 456 \begin{tikzpicture}[automaton] | |
| 457 | |
| 458 \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; | |
| 459 \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; | |
| 460 | |
| 461 \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$\epsilon, A/A$} (q1); | |
| 462 \draw[->] (q0) edge [bend right] node [below] {$\epsilon, Z_0/Z_0$} (q1); | |
| 463 | |
| 464 \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$a, Z_0/AZ_0$} (q0); | |
| 465 \draw[->] (q0) edge [loop below] node {$a, A/AA$} (q0); | |
| 466 | |
| 467 \draw[->] (q1) edge [loop above] node {$b, A/\epsilon$} (q1); | |
| 468 \draw[->] (q1) edge [loop below] node {$\epsilon, Z_0/\epsilon$} (q1); | |
| 469 \end{tikzpicture} | |
| 470 \end{example} | |
| 471 \end{frame} | |
| 472 } | |
| 473 | |
| 474 \defineUnit{kontextfreiesprachen}{% | |
| 475 \begin{frame} | |
| 476 \frametitle{Kontextfreie Sprachen} | |
| 477 \setbeamercovered{dynamic} | |
| 478 | |
| 479 \begin{center} | |
| 480 \begin{tikzpicture}[node distance=3cm] | |
| 481 \node (CFG) {CFG}; | |
| 482 \node (CNF) [right of = CFG] {CNF}; | |
| 483 \node (PDAe) [right of = CNF] {PDA$_\epsilon$}; | |
| 484 \node (PDAf) [right of = PDAe] {PDA$_F$}; | |
| 485 | |
| 486 \draw [every edge, <->] (CFG) -- (CNF); | |
| 487 \draw [every edge, <->] (CNF) -- (PDAe); | |
| 488 \draw [every edge, <->] (PDAe) -- (PDAf); | |
| 489 \end{tikzpicture} | |
| 490 \end{center} | |
| 491 | |
| 492 \vfill | |
| 493 | |
| 494 \begin{itemize} | |
| 495 \item \alert{Abschlusseigenschaften} | |
| 496 \end{itemize} | |
| 497 \begin{table} | |
| 498 \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|ccccc} | |
| 499 & Schnitt & Vereinigung & Komplement & Produkt & Stern \\ \tabucline{} | |
| 500 REG & ja & ja & ja & ja & ja\\ | |
| 501 CFL & nein & ja & nein & ja & ja | |
| 502 \end{tabu} | |
| 503 \end{table} | |
| 504 | |
| 505 \begin{itemize} | |
| 506 \item \alert{Entscheidbarkeit} | |
| 507 \end{itemize} | |
| 508 \begin{table} | |
| 509 \begin{tabu}to \textwidth{X[c]|cccc} | |
| 510 & Wortproblem & Leerheit & Äquivalenz & Schnittproblem\\ \tabucline{} | |
| 511 DFA & $\Oh(n)$ & ja & ja & ja \\ | |
| 512 CFG & $\Oh(n^3)$ & ja & nein & nein | |
| 513 \end{tabu} | |
| 514 \end{table} | |
| 515 \end{frame} | |
| 516 } |