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author | Markus Kaiser <markus.kaiser@in.tum.de> |
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date | Mon, 14 Apr 2014 12:11:00 +0200 |
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\defineUnit{alphabet}{% \begin{frame} \frametitle{Alphabete} \begin{definition} \begin{itemize} \item Ein \structure{Alphabet} $\Sigma$ ist eine endliche Menge. \item Ein \structure{Wort} über $\Sigma$ ist eine endliche Folge von Zeichen. \item Eine Teilmenge $L \subseteq \Sigma^*$ ist eine \structure{formale Sprache} \end{itemize} \end{definition} \vfill \begin{definition}[Operationen auf Sprachen] \begin{itemize} \item $\structure{AB} \defeq \left\{ uv \mid u \in A \wedge v \in B \right\}$ \item $\structure{A^{n+1}} \defeq A^nA $,\qquad\qquad $\structure{A^0} \defeq \{\epsilon\}$ \item $\structure{A^*} \defeq \bigcup_{n \in \N_0} A^n$ \end{itemize} \end{definition} \end{frame} } \defineUnit{dfa}{% \begin{frame} \frametitle{DFA} \begin{definition}[Deterministischer endlicher Automat] Ein \alert{DFA} ist ein Tupel $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ aus einer/einem \begin{itemize} \item endlichen Menge von \alert{Zuständen} $Q$ \item endlichen \alert{Eingabealphabet} $\Sigma$ \item totalen \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \to Q$ \item \alert{Startzustand} $q_0 \in Q$ \item Menge von \alert{Endzuständen} $F \subseteq Q$ \end{itemize} \end{definition} \vfill \pause \begin{center} \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=] \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$}; \draw[->] (q0) edge [loop above] node {0} (q0); \draw[->] (q2) edge [loop above] node {1} (q2); \draw[->] (q0) edge [bend left] node {1} (q1); \draw[->] (q1) edge [bend left] node {1} (q0); \draw[->] (q1) edge [bend left] node {0} (q2); \draw[->] (q2) edge [bend left] node {0} (q1); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{nfa}{% \begin{frame} \frametitle{NFA} \begin{definition}[Nicht-Deterministischer endlicher Automat] Ein \alert{NFA} ist ein Tupel $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ mit \begin{itemize} \item $Q, \Sigma, q_0, F$ wie ein DFA \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \Sigma \to P(Q)$ \end{itemize} \end{definition} \vfill \pause \begin{center} \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=20, initial text=] \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \draw[->] (q0) edge [loop above] node {0,1} (q0); \draw[->] (q0) edge node {1} (q1); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{enfa}{% \begin{frame} \frametitle{$\epsilon$-NFA} \begin{definition}[NFA mit $\epsilon$-Übergängen] Ein \alert{$\epsilon$-NFA} ist ein Tupel $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ mit \begin{itemize} \item $Q, \Sigma, q_0, F$ wie ein DFA \item \alert{Übergangsfunktion} $\delta : Q \times \left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right) \to P(Q)$ \end{itemize} \end{definition} \vfill \pause \begin{center} \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt, node distance = 3cm, auto, bend angle=30, initial text=] \node[state] (q1) {$q_1$}; \node[state, initial] (q0) [left of = q1] {$q_0$}; \node[state, accepting] (q2) [right of = q1] {$q_2$}; \draw[->] (q0) edge [red] node {$\epsilon$} (q1); \draw[->] (q1) edge [loop above] node {0,1} (q1); \draw[->] (q1) edge node {1} (q2); \draw[->] (q0) edge [bend right, red] node {$\epsilon$} (q2); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{endlicheautomaten}{% \begin{frame} \frametitle{Endliche Automaten} \begin{block}{Übergangsfunktionen} Die Automaten $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ unterscheiden sich nur durch ihre Übergangsfunktionen. \begin{description} \item[DFA] $\delta : Q \times \Sigma \to Q$ \item[NFA] $\delta : Q \times \Sigma \to \alert{P(Q)}$ \item[$\epsilon$-NFA] $\delta : Q \times \alert{\left( \Sigma \cup \{\epsilon\} \right)} \to \alert{P(Q)}$ \end{description} \end{block} \vfill \begin{theorem} \alert{DFA}, \alert{NFA} und \alert{$\epsilon$-NFA} sind gleich mächtig und lassen sich ineinander umwandeln. \end{theorem} \end{frame} } \defineUnit{regex}{% \begin{frame} \frametitle{Reguläre Ausdrücke} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Regulärer Ausdruck] \alert{Reguläre Ausdrücke} sind induktiv definiert \begin{itemize} \item \alert{$\emptyset$} ist ein regulärer Ausdruck \item \alert{$\epsilon$} ist ein regulärer Ausdruck \item Für alle $a \in \Sigma$ ist \alert{$a$} ein regulärer Ausdruck \item Sind $\alpha$ und $\beta$ reguläre Ausdrücke, dann auch \begin{description} \item[Konkatenation] \alert{$\alpha\beta$} \item[Veroderung] \alert{$\alpha \mid \beta$} \item[Wiederholung] \alert{$\alpha^*$} \end{description} \end{itemize} Analoge Sprachdefinition, z.b. $L(\alpha\beta) = L(\alpha)L(\beta)$ \end{definition} \begin{example} $\alpha = (0|1)^*00$ \hfill $L(\alpha) = \left\{x \mid x \text{ Binärzahl}, x \mod 4 = 0 \right\}$ \end{example} \end{frame} } \defineUnit{automatenkonversionen}{% \begin{frame}[c] \frametitle{Konversionen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{center} \begin{tikzpicture}[node distance=2cm] \node (nfa) {NFA}; \node (dfa) [left of=nfa] {DFA}; \node (enfa) [right of=nfa] {$\epsilon$-NFA}; \node (re) [below of=nfa] {RE}; \draw [every edge, tumred] (nfa) -- (dfa); \draw [every edge, tumred] (enfa) -- (nfa); \draw [every edge] (dfa) -- (re); \draw [every edge] (nfa) -- (re); \draw [every edge, tumred] (re) -- (enfa); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{rezuenfa}{% \begin{frame} \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee (Kleene)} Für einen Ausdruck \alert{$\gamma$} wird rekursiv mit struktureller Induktion ein $\epsilon$-NFA konstruiert. \end{block} \begin{tabu} to \linewidth {XXX} \alert{$\gamma = \emptyset$} & \alert{$\gamma = \epsilon$} & \alert{$\gamma = a \in \Sigma$} \\ \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)] \node[state, initial] () {}; \end{tikzpicture} & \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)] \node[state, initial, accepting] () {}; \end{tikzpicture} & \begin{tikzpicture}[automaton, small, baseline=(current bounding box.north)] \node[state, initial] (i) {}; \node[state, accepting] (j) [right of=i] {}; \draw[->] (i) edge node {$a$} (j); \end{tikzpicture} \\ \vspace{2em} \alert{$\gamma = \alpha\beta$} \\ \multicolumn3{c}{ \begin{tikzpicture}[automaton, small] \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (-0.3, 1) rectangle (1.8, -1); \node[tumgreen] () at (0.75, -1.2) {$N_\alpha$}; \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (3.7, 1) rectangle (5.8, -1); \node[tumgreen] () at (4.75, -1.2) {$N_\beta$}; \node[state, initial] (i) at (0, 0) {}; \node[state] (j) at (1.5, 0.5) {}; \node[state] (k) at (1.5, -0.5) {}; \node[state] (l) at (4, 0) {}; \node[state, accepting] (m) at (5.5, 0) {}; \draw[->] (j) edge node {$\epsilon$} (l); \draw[->] (k) edge node {$\epsilon$} (l); \end{tikzpicture} }\\ \end{tabu} \end{frame} } \defineUnit{rezuenfazwei}{% \begin{frame} \frametitle{RE $\rightarrow$ $\epsilon$-NFA} \setbeamercovered{dynamic} \begin{tabu} to \linewidth {X} \alert{$\gamma = \alpha \mid \beta$} \\ \centering \begin{tikzpicture}[automaton, small] \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1.5) rectangle (4.5, 0.5); \node[tumgreen] () at (3.25, 0.3) {$N_\alpha$}; \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, -0.5) rectangle (4.5, -1.5); \node[tumgreen] () at (3.25, -1.7) {$N_\beta$}; \node[state, initial] (i) at (0, 0) {}; \node[state] (j) at (2.5, 1) {}; \node[state, accepting] (k) at (4, 1) {}; \node[state] (l) at (2.5, -1) {}; \node[state, accepting] (m) at (4, -1) {}; \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j); \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (l); \end{tikzpicture} \\ \vfill \alert{$\gamma = \alpha^*$} \\ \centering \begin{tikzpicture}[automaton, small, bend angle=70] \draw[tumgreen, fill=tumgreen!20] (2, 1) rectangle (4.5, -1); \node[tumgreen] () at (3.25, -1.2) {$N_\alpha$}; \node[state, initial, accepting] (i) at (0, 0) {}; \node[state] (j) at (2.5, 0) {}; \node[state, accepting] (k) at (4, 0.5) {}; \node[state, accepting] (m) at (4, -0.5) {}; \draw[->] (i) edge node {$\epsilon$} (j); \draw[->] (k) edge [bend right] node {$\epsilon$} (j); \draw[->] (m) edge [bend left] node[above] {$\epsilon$} (j); \end{tikzpicture} \end{tabu} \end{frame} } \defineUnit{enfazunfa}{% \begin{frame} \frametitle{$\epsilon$-NFA $\rightarrow$ NFA} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} Entferne $\epsilon$-Kanten durch das Bilden von $\epsilon$-Hüllen. \begin{enumerate} \item<1-> Entferne \alert{unnötige Knoten}. \item<1,3-> Für jeden \alert{Pfad} der Form $\epsilon\ldots\epsilon \alert{a} \epsilon\ldots\epsilon$ verbinde Anfangs- und Endknoten mit einer \alert{$a$}-Kante. \item<1,4-> Entferne alle \alert{$\epsilon$-Kanten} und unerreichbare Knoten. \item<1,5-> Wurde das leere Wort akzeptiert mache den \alert{Anfangszustand} zum Endzustand. \end{enumerate} \end{block} \vfill \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.1cm] \useasboundingbox (-1.4,2) rectangle (9, -2); \node<-4>[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node[state] (q2) [right = 3.2cm of q0] {$q_2$}; \node[state] (q3) [right of = q2] {$q_3$}; \node[state, accepting] (q4) [right of = q3] {$q_4$}; \draw[->] (q2) edge node {$0$} (q3); \draw[->] (q3) edge node {$1$} (q4); \draw<1-4>[->] (q3) edge [bend right] node [above] {$\epsilon$} (q2); \draw[->] (q4) edge [bend right] node [above] {$1$} (q3); \draw<1-4>[->] (q0) edge [bend right=20] node [below] {$\epsilon$} (q4); \node<1>[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \draw<1>[->] (q0) edge node {$\epsilon$} (q1); \draw<1>[->] (q1) edge node {$1$} (q2); \node<2>[state, fill=tumred!20] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \draw<2>[->, tumred] (q0) edge node {$\epsilon$} (q1); \draw<2>[->, tumred] (q1) edge node {$0$} (q2); \draw<2->[->, tumblue] (q0) edge [bend left] node {$0$} (q2); \draw<3,4,5>[->, tumred] (q0) edge [bend right=20] node [below] {$\epsilon$} (q4); \draw<3>[->, tumred] (q4) edge [bend right] node [above] {$1$} (q3); \draw<3,4>[->, tumred] (q3) edge [bend right] node [above] {$\epsilon$} (q2); \draw<3->[->, tumgreen] (q0) edge node {$1$} (q2); \draw<4->[->, tumgreen] (q2) edge [loop above] node [above] {$0$} (q2); \draw<4->[->, tumgreen] (q3) edge [loop above] node [above] {$0$} (q3); \draw<4->[->, tumgreen] (q0) edge [bend right=20] node [above] {$1$} (q3); \draw<4->[->, tumgreen] (q4) edge [bend right=70] node [above] {$1$} (q2); \node<5>[state, initial, accepting, fill=tumgreen!20] (q0) {$q_0$}; \node<6->[state, initial, accepting] (q0) {$q_0$}; \end{tikzpicture} \end{frame} } \defineUnit{nfazudfa}{% \begin{frame} \frametitle{NFA $\rightarrow$ DFA} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee (Potenzmengenkonstruktion)} Konstruiere aus einem NFA $N = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ einen DFA $D = (P(Q), \Sigma, \overline{\delta}, \{q_0\}, F_M)$ mit Zuständen aus \alert{$P(Q)$}. \begin{itemize} \item $\overline{\delta}: \alert{P(Q)} \times \Sigma \to P(Q)$ \\ \[\overline{\delta}(S, a) := \bigcup_{q \in S} \delta(q, a)\] \item $F_M := \left\{S \subseteq Q \mid \alert{S \cap F} \neq \emptyset\right\}$ \end{itemize} \end{block} \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=20, node distance=2.1cm] \useasboundingbox (-1.4,2) rectangle (9, -2); \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node[state, accepting] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \draw[->] (q0) edge [loop above] node {$0,1$} (q0); \draw[->] (q0) edge node {$1$} (q1); \node<2->(sep) [right of = q1] {$\rightarrow$}; \node<2->[state, initial, inner sep=1pt] (pq0) [right of = sep] {$q_{\{0\}}$}; \node<3->[state, accepting, inner sep=0pt] (pq01) [right of = pq0] {$q_{\{0,1\}}$}; \draw<3->[->] (pq0) edge [loop above] node {$0$} (pq0); \draw<3->[->] (pq0) edge [bend left] node {$1$} (pq01); \draw<4->[->] (pq01) edge [loop above] node {$1$} (pq01); \draw<4->[->] (pq01) edge [bend left] node {$0$} (pq0); \end{tikzpicture} \end{frame} } \defineUnit{produktautomat}{% \begin{frame} \frametitle{Produktautomat} \setbeamercovered{dynamic} \begin{theorem} Sind $M_1 = (Q_1, \Sigma, \delta_1, s_1, F_1)$ und $M_2 = (Q_2, \Sigma, \delta_2, s_2, F_2)$ DFAs, dann ist der \alert{Produkt-Automat} \begin{align*} M &:= (\alert{Q_1 \times Q_2}, \Sigma, \delta, (s_1, s_2), F_1 \times F_2) \\ \delta\left( (q_1, q_2), a \right) &:= \left( \alert{\delta_1}(q_1, a), \alert{\delta_2}(q_2, a) \right) \end{align*} ein DFA, der $L(M_1) \cap L(M_2)$ akzeptiert. \end{theorem} \end{frame} } \defineUnit{regexrechnen}{% \begin{frame} \frametitle{Nochmal Reguläre Ausdrücke} \setbeamercovered{dynamic} \begin{theorem} Die regulären Ausdrücke $\mathfrak{R}$ über einem Alphabet $\Sigma$ bilden mit Konkatenation $\circ$ und Veroderung $\mid$ einen \alert{Halbring} $\langle \mathfrak{R}, \mid, \circ, \emptyset, \epsilon \rangle$. \begin{itemize} \item \alert{Assoziative} Operationen \item Veroderung \alert{kommutativ} \item \alert{Distributivität}: $\alpha (\beta \mid \gamma) \equiv \alpha\beta \mid \alpha\gamma$ \item $\emptyset$ \alert{neutral} bezüglich Oder \item $\epsilon$ \alert{neutral} bezüglich Konkatenation \end{itemize} \end{theorem} \begin{example} \[ 1\psi \mid 0\phi \mid \psi \equiv 0 \phi \mid (1 \mid \epsilon) \psi \] \end{example} \end{frame} } \defineUnit{arden}{% \begin{frame} \frametitle{Ardens Lemma} \setbeamercovered{dynamic} \begin{theorem}[Ardens Lemma] Sind $A$, $B$ und $X$ Sprachen mit $\epsilon \not \in A$, dann gilt \[ X = AX \cup B \Longrightarrow X = A^* B \] Speziell gilt für reguläre Ausdrücke \[ X \equiv \alpha X \mid \beta \Longrightarrow X \equiv \alpha^* \beta \] \end{theorem} \begin{example} \[ \psi \equiv 0 \psi \mid (1 \mid \epsilon) \phi \Longrightarrow \psi \equiv 0^*(1\mid \epsilon) \phi \] \end{example} \end{frame} } \defineUnit{nfazure}{% \begin{frame} \frametitle{NFA $\rightarrow$ RE} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} Erzeuge ein Gleichungssystem aus allen Zuständen. \begin{enumerate} \item<1,2-> Ausdruck für jeden Zustand \item<1,3-> Auflösen nach $X_0$ mit Algebra und Ardens Lemma \end{enumerate} \end{block} \begin{columns}<2-> \begin{column}[b]{.65\textwidth} \begin{align*} X_0 &\equiv 1X_0 \mid 0X_1 \\ &\equiv \uncover<4->{1X_0 \mid 00^*(\epsilon \mid 1X_0)} \\ &\equiv \uncover<4->{(1 \mid 00^*1) X_0 \mid 00^*} \\ &\equiv \uncover<4->{(1 \mid 00^*1)^*(00^*)} \\ \\ X_1 &\equiv 1X_0 \mid 0X_1 \alt<3->{\mid \epsilon}{\alert{\mid \epsilon}} \\ &\equiv \uncover<3-> {0X_1 \mid (\epsilon \mid 1 X_0)}\\ &\equiv \uncover<3-> {\alt<-2,4->{0^*(\epsilon \mid 1X_0)}{\alert{0^*(\epsilon \mid 1X_0)}}} \end{align*} \end{column} \begin{column}[t]{.35\textwidth} \begin{tikzpicture}[automaton] \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node[state, accepting] (q1) [below of=q0] {$q_1$}; \draw[->] (q0) edge [bend right] node [left] {$0$} (q1); \draw[->] (q1) edge [bend right] node [right] {$1$} (q0); \draw[->] (q0) edge [loop right] node {$1$} (q0); \draw[->] (q1) edge [loop right] node {$0$} (q1); \end{tikzpicture} \end{column} \end{columns} \end{frame} } \defineUnit{rpl}{% \begin{frame} \frametitle{Pumping Lemma} \setbeamercovered{dynamic} \begin{theorem}[Pumping Lemma für reguläre Sprachen] Sei $R \subseteq \Sigma^*$ regulär. Dann gibt es ein $n > 0$, so dass sich \alert{jedes} $z \in R$ mit $|z| \geq n$ so in $z = uvw$ zerlegen lässt, dass \begin{itemize} \item $v \neq \epsilon$ \item $|uv| \alert{\leq n}$ \item $\forall i \alert{\geq 0}. uv^iw \in R$ \end{itemize} \end{theorem} \vfill \begin{center} \begin{tikzpicture}[automaton] \node[state, initial] (q0) {}; \node[state, fill=tumred!20] (q1) [right of=q0] {}; \node[state, accepting] (q2) [right of=q1] {}; \draw[->, densely dashed] (q0) edge node {$u$} (q1); \draw[->, tumred] (q1) edge [loop above] node {$v$} (q1); \draw[->, densely dashed] (q1) edge node {$w$} (q2); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} } \defineUnit{rplanwenden}{% \begin{frame} \frametitle{Nichtregularität beweisen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} Gegenbeispiel fürs Pumpinglemma suchen. \[ \alert{\forall} n \in \N_0 \alert{\exists} z \in L. |z| \geq n \ \alert{\forall} u,v,w. \ z = uvw \ \text{\alert{nicht} pumpbar} \] \end{block} \vfill \begin{example}<2-> Ist $L = \left\{ a^ib^i \mid i \in \N_0 \right\}$ regulär? \begin{enumerate} \item \alert{Sei $n$} PL-Zahl \item \alert{Wähle} $\alert{z} = a^nb^n$ \item Dann ist \alert{$z = uvw$} mit \alert{$|uv| \leq n$}, hier: $v=a^k$ mit $k > 0$ \item Dann ist $uv^0w \not \in L$ \item Damit ist L \alert{nicht} regulär. \end{enumerate} \end{example} \end{frame} } \defineUnit{aequivalentezustaende}{% \begin{frame} \frametitle{Äquivalenzen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Äquivalente Worte] Jede Sprache $L \subseteq \Sigma^*$ induziert eine Äquivalenzrelation $\alert{\equiv_L \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*}$: \[ u \alert{\equiv_L} v \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{uw} \in L \Leftrightarrow \alert{vw} \in L\right) \] \end{definition} \vfill \pause \begin{definition}[Äquivalente Zustände] Zwei Zustände im DFA $A$ sind \alert{äquivalent} wenn sie die selbe Sprache akzeptieren. \[ p \alert{\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^*. \alert{\hat{\delta}(p, w)} \in F \Leftrightarrow \alert{\hat{\delta}(q, w)} \in F \right) \] \end{definition} \end{frame} } \defineUnit{unterscheidbarezustaende}{% \begin{frame} \frametitle{Unterscheidbare Zustände} \setbeamercovered{dynamic} \begin{definition}[Unterscheidbarkeit] Zwei Zustände sind \alert{unterscheidbar}, wenn sie unterschiedliche Sprachen akzeptieren. \[ p \alert{\not\equiv_A} q \Longleftrightarrow \left( \exists w \in \Sigma^*. \hat{\delta}(p, w) \alert{\in} F \wedge \hat{\delta}(q, w) \alert{\not\in} F \right) \] \end{definition} \begin{theorem} Sind $\delta(p, a)$ und $\delta(q, a)$ unterscheidbar, dann auch $p$ und $q$. \end{theorem} \pause \begin{tikzpicture}[automaton, bend angle=40, node distance=2.5cm] \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \node[state] (q2) [right of = q1] {$q_2$}; \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$}; \draw[->] (q0) edge node {$a$} (q1); \draw[->] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2); \draw[->] (q1) edge node {$a$} (q2); \draw[->] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3); \draw[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3); \draw[->] (q3) edge [loop right] node {$a,b$} (q3); \node<3>[state, fill=tumred!35] () at (q2) {$q_2$}; \node<3->[state, accepting, fill=tumgreen!35] () at (q3) {$q_3$}; \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q0) {$q_0$}; \node<4>[state, fill=tumred!35] () at (q1) {$q_1$}; \draw<4>[->, tumred] (q0) edge [bend left] node {$b$} (q2); \draw<4>[->, tumgreen] (q1) edge [bend right] node {$b$} (q3); \end{tikzpicture} \end{frame} } \defineUnit{quotientenautomat}{% \begin{frame}[t] \frametitle{DFA minimieren} \setbeamercovered{dynamic} \begin{block}{Idee} Erzeuge den \alert{Quotientenautomaten}. \begin{enumerate} \item Entferne alle von $q_0$ \alert{nicht erreichbaren} Zustände \item<1, 3-> Berechne die \alert{unterscheidbaren} Zustände \item<1, 6-> \alert{Kollabiere} die äquivalenten Zustände \end{enumerate} \end{block} \vfill \begin{columns}[c]<2-> \begin{column}{.5\textwidth}<3-> \begin{center} \begin{tabu}to .8\textwidth{|X[c]|X[c]|X[c]|X} \multicolumn{2}{l}{0} \\ \tabucline{1-1} \alt<-4>{}{\textcolor{tumgreen}{$1/a$}} & \multicolumn{2}{l}{1} \\ \tabucline{1-2} \alt<-4>{}{\textcolor{tumgreen}{$1/a$}} & & \multicolumn{2}{l}{2} \\ \tabucline{1-3} \alt<-3>{}{\textcolor{tumred}{$\times$}} & \alt<-3>{}{\textcolor{tumred}{$\times$}}& \alt<-3>{} {\textcolor{tumred}{$\times$}}& 3 \\ \tabucline{1-3} \end{tabu} \end{center} \end{column} \begin{column}{.5\textwidth} \begin{tikzpicture}[automaton, node distance=2.5cm] \useasboundingbox (-0.5, -0.5) rectangle (2, -2); \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; \node<-5>[state] (q1) [right of = q0] {$q_1$}; \node<-5>[state] (q2) [below of = q0] {$q_2$}; \node<6>[state, fill=tumred!40] (q12) [right of = q0] {$q_{12}$}; \node[state, accepting] (q3) [right of = q2] {$q_3$}; \draw<-5>[->] (q0) edge node {$a$} (q1); \draw<-5>[->] (q0) edge node {$b$} (q2); \draw<-5>[->] (q1) edge node {$a,b$} (q3); \draw<-5>[->] (q2) edge node {$a,b$} (q3); \draw[->] (q3) edge [loop right] node [above] {$a,b$} (q3); \draw<6>[->] (q12) edge node {$a,b$} (q3); \draw<6>[->] (q0) edge node {$a,b$} (q12); \end{tikzpicture} \end{column} \end{columns} \end{frame} } \defineUnit{regulaeresprachen}{% \begin{frame} \frametitle{Reguläre Sprachen} \setbeamercovered{dynamic} \begin{center} \begin{tikzpicture}[node distance=2cm] \node (nfa) {NFA}; \node (dfa) [left of=nfa] {DFA}; \node (enfa) [right of=nfa] {$\epsilon$-NFA}; \node (re) [below of=nfa] {RE}; \draw [every edge] (nfa) -- (dfa); \draw [every edge] (enfa) -- (nfa); \draw [every edge] (dfa) -- (re); \draw [every edge] (nfa) -- (re); \draw [every edge] (re) -- (enfa); \end{tikzpicture} \end{center} \vfill \begin{theorem} Für eine Darstellung $D$ einer regulären Sprache ist \alert{entscheidbar}: \vspace{1em} \begin{description} \item[Wortproblem] Gegeben $w$, gilt $w \in L(D)$? \item[Leerheitsproblem] Ist $L(D) = \emptyset$? \item[Endlichkeitsproblem] Ist $|L(D)| < \infty$? \item[Äquivalenzproblem] Gilt $L(D_1) = L(D_2)$? \end{description} \end{theorem} \end{frame} }